随机变量及其数字特征复习与综合练习05春

1、期望：随机变量的期望记为E(X)八 xi PiE(X) = xf(x)dxE(X),定义为(离散型随机变量,(连续型随机变量, r 是X的概率分布)*)是*的概率密度)计算机数学基础(A)第5章随机变量及其数字特征复习与综合练习中央电大顾静相复习重点：概念部分：概率分布、概率密度、分布函数等的概念和性质，常见的几种分布，期望、 方差与标准差的概念及性质，两个随机变量的期望与方差及其性质等.解答部分：二项分布、一般正态分布等的概率计算，求随机变量期望、方差.复习要求：.理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机 变量的概率计算.常见的随机变量有离散型和连续型两种类型

2、.离散型随机变量用概率分布 pj来刻画，pj满足： RA0,Z Pi=1.连续型随机变量用概率密度函数f(x)来刻画，f(x)满足：f(x)之0,J f (x)dx = 1 .随机变量X的分布函数F(x)定义为：F(x)=P(Xx).对于离散型随机变量 X有F(x) = Z Pi ;x, xx对于连续型随机变量 X有F (x) =f (t)dt . 方差：随机变量的方差记为 D(X),定义为D(X) = xi -E(X) 了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法. Pi(离散型随机变量)*boD(X) = fjx -E(X)2 f (x)dx(连续型随机变量)由此可得方差的

3、简单计算公式：D(X) -E(X2) - E(X)2随机变量函数的期望：随机变量 存在，则在两种形式下分别表示为：E(Y)=g(xi ) PiE(Y) = 一 g(x)f(x)dxY是随机变量X的函数，即Y = g(X),若E(Y)(离散型随机变量,(连续型随机变量, Pi是X的概率分布)f (x)是X的概率密度)(4)期望与方差的性质若c为常数，则E(c) = c, D(c)若 k为常数，则 E(kX) =kE(X), D(kX) =k2D(X)若 a, b为常数，则 E(aX +b) =aE(X) + b, D(aX +b) = a2D(X)3.掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及

4、它们的期望与方差.熟练掌握正 态分布的概率计算，会查正态分布表(见附表).二项分布XB(n, p)的概率分布为Pk =P(X =k) =C：pk(1 p)n4(k=0,1,2,n;0：二 p：二 1)特别地，当n = 1时，XB(1, p),叫做两点分布. 正态分布 XN(巴。 4 4 42 4 8 16)的密度函数为Xf(x) ： e 20(-二：x ：二):，2 二特别地，当N = 0,仃=1时，XN(0,1),表示X是服从标准正态分布的随机变量.将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：人 X 若XN (N,仃)，令Y =，则YN(0,1),且Y的留度函数为a,、1 4 , 一 一、g

5、(x) : e (-二 二 x ：9)J2n服从标准正态分布的随机变量YN (0, 1)的概率为x 12P(Y x) = e 2dt = ：，(x)二 2 二那么一般正态分布的随机变量XN(N,仃2)的概率可以通过下列公式再查表求出a _ X - 1 b - b - a -P(a :二 X ()CTCTtTCTCT常见分布的期望与方差：二项分布 X B(n,p)： E(X) =np, D(X) = np(1-p)正态分布 X N(，。2)： E(X)=，D(X) - ；.-2. 了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质.对于随机变量 X , Y ,若对任意x, y有P(X

6、 二 x,Y 二 y) = P(X ：x) P(Y 二 y)则称X与Y相互独立.对随机变量Xi , X2，Xn ,有E(Xi - X2 Xn) = E(Xi) E(X2) - E(Xn)若X1 , X2，Xn相互独立,则有D(X1 X2，Xn) =D(Xi) D(X2)4+D(Xn)综合练习、单项选择题1.A.C.卜列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是(4_5x , 0 x 1 f(x) =0, 其它工sinx , 0 _ x _ 二B. f(x) =0,其它f (x)=12x,0 x -20,其它D. f (x) = 1 ,0,10三x三一2其它.下列数组中，()中的数组可以作为离散

7、型随机变量的概率分布.11111111A. _B. TOC o 1-5 h z 11131131C.d. _2 4 16 162 4 88.设X的分布列为P 0.1 0.3 0.4 0.2贝U P (X(-a) - :(a)6.设 X N(0,1),令 Y =(B.二2B.中(-x) *(x) = 1D. P(x ：二 a) =2：，(a)-1，则 Y N(2, o2).C. XD.0X-J.已知 X N(2,22)，若 aX +b N(0,1)，那么()A. a = 2,b - -2B. a - -2,b - -1,1 , cC. a= ,b-1d. a= ,b=2228.若随机变量X的期望

8、和方差分别为 E(X)和D(X),则等式()成立.A. D(X) = EX -E(X)B. D(X) = E(X2) E(X)2C. D(X)=E(X2)D. D(X) = E(X2)-E(X)2.如果随机变量 X B(10,0.3),则E(X), D(X)分别为().A. E(X) =3,D(X) =2.1B. E(X) =3, D(X) =0.9C. E(X) =0.3,D(X) =3D. E(X) =0.3,D(X) =21.设X B(n, p) , E(X) =2, D(X) =1.2,则 n, p分别是().A. 10, 0.2B. 5,0.4C. 4,0.5D. 8,0.25.若随

9、机变量X与Y相互独立，则方差 D(2X 3Y)=().A. 2D(X) -3D(Y)B, 2D(X)+3D(Y)C. 4D(X) -9D(Y)D , 4D(X) 9D(Y)12.设X的期望和方差分别为 E(X), D(X), Y=()，则E(Y) =0, D(Y) = 1 .A.B.X -E(X) D(X)X -E(X) C.D(X)D. X - E(X)二、填空题.设随机变量.设随机变量1 1 0.25X的密度函数asin x,0 x n什，贝U a =。，其它.设随机变量.设随机变量0121.3 0.2 0.5_,则 P(X =1) =X的概率密度函数为3x2 0 x11c 甘，则P(X=

10、) =0 其它2、-1025.已知随机变量X|，那么E(X) =p.2 0.3 0.3 0.2_f2x, 0 x1.若连续型随机变量 X的密度函数的是 f (x)=，则0, 其它E(X) =.设随机变量 X B(100,0.15),则 E(X)=.设随机变量 X的期望存在，则 E(XE(X)=.随机变量X的方差D(X)是随机变量 的期望.2.设随机变量 X ,若 D(X) =2, E(X ) = 5,则 E(X)=.2一 .如果随机变量 X的期望E(X)=2, E(X )=9,那么D(2X)=.设X为随机变量，已知 D(-X +3) =1 ,此时D(3X -2) =.设有两个随机变量 X与Y相

11、互独立，且 D(X) =2,D(Y) = 3,则D(2X -Y) =三、计算题1. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球.今从中有放回地抽取，每次取 1个, 共取5次.求：(1)恰有2次取到黑球的概率;(2)至少有1次取到白球的概率.2.设连续型随机变量2Ax2 , f (x)=0,X的密度函数为0 : x ： 1其它试求(1) A;3.设Xf(x)1P( X42ex4).x _0_，求P(1 X M4); (2) P(X -3); (3)x : 0P(X - -10).4.设X00.40.30.23 一，求(1) E(X); (2) P(X 2)；(2)若 P(X k) = 0.9332

12、,求 k 的值. (已知 (2) =0.9775,(1) =0.8413，(1.5) = 0.9332 ).设 X N(3,4)，试求 P(X 1)； P(5 X 8); P(5 X 14).(已知 6(1) =0.8413,6(2) =0.9772 ,(3) =0.9987 ).设 X N(3,22),求 P(X 5)和 P(X -1 1).(其中(0.5) = 0.6915, 9(1) =0.8413,6(1.5) =0.9332，(2) =0.9772).设随机变量X具有概率密度f(x)2 3x2,，0MxM 1其它求 E(X), D(X).参考答案、单项选择题1 . A 2, C 3.

13、 B 4. D12. B二、填空题11 . 0.4523. 0.8229. (X -E(X)210.35. C 6.A7. C8. D 9. A 10. B 11 . D4. 15. 1.46.-8311. 2012. 913. 117. 158. 0三、计算题1 .解：(1)5次抽取中取到黑球的次数XB(5, 0.3)，设A: “恰有2次取到黑球”则有P(A) =P(X =2)=C；0.32 0.73 = 0.3087(2) 5次抽取中取到白球的次数 XB(5, 0.7),设B: “至少有1次取到白球”， 则有P(B) =P(X _1)=1 - P(X ：1) =1 - P(X =0) =1

14、 -C；0.35 =0.99757.解：(1)由密度函数的性质有(Xf(x)dx=1,即-OO一二13 TOC o 1-5 h z 12 A 3Ax dx = 一 x03解得A = 3_ 14123 1163(2)P(1X 2) = 1- P(X -4 2)=1- P(-2X -42) = 1-(2)-(-2) =2 (1 G(2) ) = 0.045.(2) P(X k)=P(X -4 k -4)=1- P(X -4 )33=1)=1_P(*1)33=1 -1(1) =1 - 08413 = 0.1587 P(5；X ：14) = P(3；q；n) = P(0;2;3) 3333=：“3) -中(0) = 0.9 9 8-0.5 = 0.4 9 8 7X -38.解：设 Y N(0,1)2X -3 5-3P(X :二 5) = P(- :二 5_)=中(1) = 0.8413 220-3 X-3 2-3P(X -1| 1) =P(0X 2