随机变量及其概率分布

1、一花一叶第八章随机变量及其概率分布 8.1离散型随机变量及其分布律一.随机变量我们注意到这样的现象：(1)随机试验的结果往往表现为数量，如： 击中次数、潮位数值、投掷骰子等。(2)若不表现为数量，可使其数量化，如： 抽牌时，将牌张编号等。以X表示试验的数值结果，则 X是随机变量。(解释“随机”)即取值是随 机的变量叫随机变量。举例：(1)掷币： X为“出现正面的次数” ，X的可能取值为1、0。即X = 1= 正面朝上，X = 0= 反面朝上”，并且PX = 1= PX = 1= 0.5(2)抽牌： X为“抽得牌张编号“，X的可能取值为1, 2, 3,，52。14X 26= 抽到红心”随机变量用

2、大写字母 X、Y、Z等表示。特别注意：随机变量的取值或取值范围表示随机事件， 而我们研究 随机变量最主要的就是随机变量的取值或在某个范围内取值的概率 (随 机变量X本身不是事件)。即PX =k或 Pa W X b二.离散型随机变量如果X的取值(可以有限也可以无限)可以一一列出，即可以排队的，则 称X是离散型的随机变量。设X的可能取值为xk( k = 1,2,，n),并且相应的概率 PX = xk = pk 都知道，则该随机变量的规律就完全搞清楚了。X的规律是指弄清可能取值知道概率。写成矩阵形式：X X2 川 Xk nrX L . LL i ,Pi P2 III Pk III J这个表格称为分布

3、律(分布列)。分布律应满足以下条件(性质)：(1) 1 之 Pk 之0 (k =1,2,|) ； (2)工 Pk =1 k分别叫做概率的 非负性和概率的完备性。求a的值，使X的分布律为P：X(k =1,2,|1)。100 口水一解：Z 3a - = 3 a 2 = 1搀 22)1 11 一2【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本质都是以概率为函数值的一种 特殊的函数，仅仅是表示的形式不同而已。7一叶一世界一花一叶例2现有10件产品中，其中有 3件次品，现任取两件产品，记X是“抽得的次品数”，求X的分布律。 TOC o 1-5 h z 解 X可能取值为0, 1, 2,（这是关键步骤，常被忽视而

4、致思维受阻）。概率为px =01=02/012）, px =1）=0307/012）, px =2=官/第012、则分布律为X 7711151515，【注】求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。例3 一种有奖储蓄，20万户为一开奖组。设特等奖 20名，奖金4000元； 一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金 4元。求一户得奖额 X的分布律。解 X的可能取值为4000, 400, 40, 4, 0 （最后一值易漏，要特别注意， 绝大多数是不中奖的），易求分布律4 40004004040）X0.0001 0.0006 0.006 0.2 0.793

5、3,以下讨论三种常见的分布：两点分布、二项分布、泊松分布三.两点分布X的可能取值仅两点0和1,且PX =1= p,则分布律为其中q =1 - p ,则称X服从参数为p的两点分布（0-1分布）。X为“取得白球数”，求X的，10l0.6 0.4/例4 袋中装6只白球和4只红球，任取一只, 分布律。解PX = 1 = 0.6 ,则X的分布律为X【注】 任何随机试验都可与两点分布相联系：设 A是试验中某一事件， X是 “一次试验中 A出现的次数”，若P（A）= p,则X的分布律为（X = 0表示A未 出现）1p0、q;四.二项分布.贝努里（Bernoulli）试验将随机试验在相同条件下独立地重复n次，

6、观察事件A出现的次数，称为贝努里试验，或n次重复独立试验。如：射击n次，中几次？有放回的抽样（ 抽牌、模球、检验产品）。事件 A 出现k次的概率记为 Pn（k）o例5 产品次品率为0.2,有放回地抽5次，求出现2次次品的概率（可见贝 努里试验Flash动画演示）。8一叶一世界一花一叶解 即求P5(2),出现次品为 A, 5次抽样情况可以是 AAAAA , AAaAA , AAaAA ,这样的情况共有 C52种，互不相容，其概率都是0.22父0.83,所以由加法定理得 2_23P5(2) =C；0.220.83。一般地，在贝努里试验中，A出现的概率是p, q=1- p ,则这种概率模型称为贝努里

7、概型。.二项分布X是n次重复独立试验中 A事件出现的次数，P(A) = p,则_ kk n kP(X =k)=Cn(1-p ) q (0 k 1。 但直接求很繁，可先求不多于一个次品的概率(可以查表计算)。所以退货率为 1- 0.9139 = 0.0861 = 8.6 %。五.泊松(Poisson)分布若X的可能取值为0,1,2|,k,川(无穷)且则称X服从参数为K的泊松分布，记为X P (Z)o利用哥级数知识可以证明二二，k二，kP(X =k) =、 e =e八 一 =e- e =1k 0k=0 k!k=D k!泊松分布来自于“排队现象”，刻画稀有事件出现的概率。如某时间段内的电话呼叫、纱线

8、断头、顾客到来、车辆通过等 。当n很大时，二项分布近似于泊松分布，即9一叶一世界一花一叶 8.2一.连续型随机变量1.概率密度X的取值连成一片（成为一些区间） 寿命、降雨量等。P aXb 是连续和，应是定积分（a, b可不同，但被积函数相同）bP：a X 0(2) jf(x)dx=1.joC例1设下列函数是概率密度，求 k及P1 WXW 3, P X 1 解：由完备性（注意分段函数的积分处理）.单点概率这说明单点概率为零。概率为零的事件不一定是不可能事件。于是进一步的考虑是当 Ax很小时即单点概率是和密度函数值成正比的无穷小量。10一叶一世界一花一叶.概率的几何意义表明(1)概率的几何意义是曲

9、线y= f(x)下方的面积。(2)并且整个曲线下方的面积等于1。又说明密度f ( x)本身并不是概率，但它表示各点概率(无穷小)之间的比例。以下讨论三种常见的分布：均匀分布、指数分布、正态分布。二.均匀分布各点的概率(比仞0相同，即 f (x)恒等于常数。若 X的概率密度为则称X服从区间a, b上的均匀分布，记为XU( a, b )。(见图4)均匀分布是最简单的连续型分布。问：(1)常数为何是区间长度的倒数？(2)均匀(概率)分布的概率如何简单求得？三.指数分布Lq-x x 0若x的密度为f (x)=e x 0 (% a 0)则称x服从参数为0 x :二 0九的指数分布。显然有-bo-bof(

10、x)之0 并且 J f (x)dx = ( eJxdx =e.x 0%=10指数分布也来自于“排队现象”，与泊松分布紧密联系。四.正态分布最重要的分布，在后面着重讨论。分布函数与函数的分布一.分布函数.概念设X是随机变量，x是一个数，则P Xwx与x有关，随x的变化而变化， 从而是x的函数。称f (x) = PXWx为X的分布函数。F(x)是在区间(-8, x)内的“累积概率”，不要与单点概率混淆。.性质0 F(x) 1F(x)单调不减11 一叶一世界一花一叶F() = lim F(x)=1 lim F(x)=F(-)=0 x J ： .x:二二Pa a = 1 F(a)这是累积概率之差额。可

11、见利用分布函数计算概率也很方便。.求法注意对于离散型，F(x)是概率之和；对于连续型，F(x)是积分。计算公式分x别是F (x)= pkF (x) = f (x)dxx分布函数对于连续型随机变量比较有用：F(x)连续，且F (x) = f (x)在连续点成立。例1,设XU( a, b )(均匀分布)求分布函数F(x)o解：当xe ( a, b )时，利用概率的几何意义(面积)得(见图5)F(x)的图形连续，尖点处无导数，恰为f ( x)的间断点。二.函数的分布1 O已知X的分布，求 Y = g( X )的分布。如动能对速度 Y =3 mX2 ,面积对半径丫 = nX 2。X为离散型随机变量。例

12、2,已知X的分布律如下，求 Y=X2 Y = X 2的分布律。10125 )X01 0.2 0.3 0.1 0.3解：事件y=4X =2,概率也相等，但“=1上所以广 01425)Y2 0.4 0.1 0.3,即Y = g( X )的可能取值为 yk=g(xk) (k =1,2,3,)，概率不变。X为连续型随机变量已知X的分布密度 设fX(x),求Y = g( X )的密度fY(y)o先要求出Y的分布函数FY(y)=P&Ey,(与y有关)，再通过求导得到 fY(y) =FY(y),由于计算比较复杂，此处从略。12一叶一世界一花一叶正态分布.正态分布的定义与性质.定义若X的概率密度为 Gauss

13、函数则称X服从参数为 此。的正态分布，记为 XN（N,。2）。正态分布是最重要的分布。一方面在自然界中，取值受众多微小独立因素综合影响的随机变量一般都服从正态分布，如测量的误差、质量指数、农作物的收获量、身高体重、用电量、考试成绩、炮弹落点的分布等。因此大量的随机变量都服从正态分布；另一方面，许多分布又可以用正态分布来近似或导出，无论在 理论上还是在生产实践中，正态分布有着极其广泛的应用。正态曲线：正态密度函数的图象，是钟形曲线（见图6）。.正态曲线的性质（1）关于直线x = N对称（偶函数 平移）；，一 一一，八1x = N时，达取大值,2二二（最高点），两侧逐渐降低，有渐近线y=0（x轴）

14、，x = R 仃 对应拐点；（3）曲线之下的面积为1,即（计算过程略）。这个积分称为概率积分，又称高斯积分（高斯曲线）（4）注意到x = R 仃对应拐点，所以 仃固定而N变动时，曲线左、右平 移，形状不变； N不变而O变动时，因面积恒定为 1,故仃越大（小）,曲线越 平坦（陡峭）。3.标准正态分布X N( 0, 1 ),概率密度为当N=0,。=1时，称为标准正态分布，记为 （中（x）是专用记号）对称性、最高点、拐点、渐近线、面积（积分）情况见上。二.正态分布的概率计算.标准正态分布 X N（ 0, 1 ）,其分布函数的图形见图7,表示曲线下方、x左侧的面积，其函数表达式为13一叶一世界一花一叶

15、已编制了数值表(附表1),但表中只有xt0的数值。利用图形的对称性和完备性，即；，(_x) =1 中(x)，可以查表求出各种概率。例1,设XN(0,1),求以下概率(1) P1 X 父2 ； (2) P -1 21(4) PX|1)； (5) PX 2.5； (6) PX -1.3解：(1) P1 X2 =0(2) -0(1) = 0.9772-0.8413 = 0.1359(2) P1 ：二 X 三2;-中(2) -(1 一中(1) =0.9772 0.8413 1 = 0.8185(3 ) PqX| 1 = p-1 X a=0.05 ,求 a。由 PX a=0.025 倒查表得 a =1.96.。2. 一般正态分布的概率计算对于非标准正态分布，可通过线性变换化为标准正态分布来处理。设XN(2,n2),则有重要结论X - 1Y =N(0,1)a这个公式很重要，应牢记。例2设XN( 0, 4 )，求以下概率，这里 卜=1,仃=2。PfX 父3(2) P0 X 2卜(4) PfX 1解：(1) PX =G 3s1=6(1)=0.8413,2P(0 :二 X ；1.6)-；： 16 10s122P1X 2)=1 =i2s1 =1-力(0.5)=1 -0.6915 =0.3085 ,2) P(x| i = px a1 + PfX c-114 一叶一