大一高数总复习资料

1、高等数学期末复习资料第|页（共9页）高等数学期末复习资料第|页（共9页）切U （,） = xlO|x-cz X时,始终有成立,U!=0S3oof g(x)高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数。函数基础（高中函数部分相关知识）（）。邻域（去心邻域）（）U （, J） =xl|x-tz| 由xn-a 0, 胴=榜（）,当nN时,始终 有不等式xn-ax0时函数极限的证明（）【题型小例】己知函数/（x）,证明lim /（a）=4XT。【证明示例】e-3语言由f（x）-AE 化简得 O|x-xo|0 , m（y = g（fj,当0|x-x0| J时, 始终有不等式f（x）-A00【证明

2、示例】E-X语言由f（x）-Ag（功，X =g（E）即对Vf0, 3X =g（）,当 不等式|/W-A /. lim f（x）= AAT8第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（） 函数/（x）无穷小=lim/（A-） = O 函数J*）无穷大。lim/（x） = ooO无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理二）假没f（x）为有界函数，g（x）为无穷小， 则 limy（x）-（x）_（定理四）在tl变量的某个变化过程中，若,/（.r）为 无穷大，则厂 为无穷小；反之，若为无 穷小，且/（x）*0,则为无穷大【题型小例】计算：liDg（x）（或XT8）1.|j（x）|WM二函数在x = x

3、0的任一去心邻域。（与,5）内是有界的；,.函数|/（x）|在。上有界；）2. lim g（x） = 0即函数g（x）是x 玉）时的无穷小；（lim g（x） = 0即函数g（x）是x t 8时的无穷小;）KT8由定理可知 lim /（x） g（x） = O（四/（*）*（*）=。）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乗除法则关于多项式p（x）、q（x）商式的极限运算J p(x) = il0X，n +*+. + q(x)= bxn +. + /?n mg（吒）=。，/（吒”0 血）=/（工（）=。（特别地，当脸斗4=9 （不定型）时，通常分 fbg（x） 0了

4、分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值四W高等数学期末复习资料.第2页（共9页）高等数学期末复习资料.第2页（共9页）【求解示例】解：因为xt3，从而可得工。3,所以原 式=lim 匕 3 = iim = lim =-Er -9 I5 （x+3）（x-3） 13工+3 6 其中x = 3为函数/（%） = 三，的可去冋断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 初 1-工一3 S （x-3） I I 解：lim= lim= hm=i3 工-9 i3（工2 _9 j 3 2工 6。连续函数穿越定理（复含函数的极限求解）（） （定理/I.）

5、若函数/（X）是定义域上的连续函数，那 lim 凡。3） = .f Iini9（x）么,XT心【题型示例】求值:r 一9.x-3 T V611 m =一宀 9 V6【求解示例】limxt3第六节 极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则（P53） （）tin y第一个重要极限：lim= 10，f,sinxj2 + 3、2x +1)【求解小例】解：liniA Toe2x +12ilTg=limAT8lim2ilT82x1 2 , H亍2、.Elim I l+ 2x+l;2x+l土心）第七节 无穷小景的阶（无穷小的比较）。等价无穷小（）U sin（7 tan arcsin6/ arctanU ln（l

6、+t/） 宀）2. t/2l cos2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求： |imn（l + x）+xln（l+x）10 x2 + 3x【求解示例】解：因为xtO,即XO0,所以原式=1而讪+）二?同+ 一） 人项+ 3xx（x + 3） ；京 x（x + 3）:蜀 x + 3 3第八节函数的连续性。函数连续的定义（）lim f（x）= lim /（x） = /（x0）XT 与XT%。间断点的分类（P67） （）跳越间断点（不等）可去冋断点（相等）=Hm 冬些R = 1而也M = 1而立第类间断点（左右极限存在）第二类间断点无穷间断点（极限为8）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

7、 【题型示例】设函数/（x） = f,、应该怎样选a + x x0择数“，使得f（x）成为在R上的连续函数？【求解示例】1 7 J/(oJ = fl+O,=f (0) 二 02.由连续函数定义 lim /(x)= lim /(x)= /(0)= e*t(t高等数学期末复习资料 第3页(共9页)高等数学期末复习资料 第3页(共9页)第九节闭区间上连续函数的性质。零点定理()【题型示例】证明：方程J (x) = g (x) + C至少有一个根 介于与b之冋【证明示例】1.【题型示例】求函数/-(X)的导数【求解小例】由题可得f(x)为直接函数，其在定于域。 上单调、可导，且广(、)。0; ./-(

8、)=币(建立辅助函数)函数(p(x) = f(x)-g(x)-C在 闭区间R可上连续；(p(a)(p(b)0 (端点异号):,由零点定理，在开区间(。力)内至少有一点&,使 得讽3 = 0,即y(月-g(身-C = 0 (0vl) 这等式说明方程/ (x) = g (x) + C在升I乂间(M) 内至少有一个根& 第二章导数与微分第一节导数概念O高等数学屮导数的定义及几何意义(X , 1【题型示例】己知函数f(x)=,ax + b。殳合函数的求导法则( _【題型示例】设后疽)，求)，【求解示例】2.3.4.(P83) () x0解戸FL+E)即届+&+/)arznf 后.+ (y)Jl-(j-

9、l) 2y/x2+a2art sun J宀I1 丨 小./ 十=V2-.r2j./+“2处可导，求。，b【求解示例】严皿局+J./+2、I/x2 - -y/2-x2 y/x2 +U1 /(0J = +1=/ + 1 = 2./(0+)= J (0) = eJ +1 = 22.由函数可导定义户)、=期si/(0-) = /(0+) = /(0)= /7 = 2/. d = 1,/? = 2【题型示例】求y = /(a)在x =。处的切线与法线方程 (或：过y = /(x)图像上点,/ (“)处的切线与法线 方程)【求解示例】1 y = fx), yxsa= f(a)2.切线方程：y-/(。) =

10、法线力程:v_y(w) = _(x_d)f (“)第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则 。函数和(差)、积与商的求导法则()线性组合(定理-)：(au = au + ftv 特别地,当 a = P = 时，有(v) = y函数积的求导法则(定理二)：(t/v) = uv + uv1.卩.(O) = e = lU()=aU!第四节高阶导数3.函数商的求导法则(定理三):E丿第三节 反函数和复會函数的求导法则。反函数的求导法则()uv-uvr1广I* ) ()dxnl) _【题型示例】求函数y = ln(l + x)的阶导数【求解示例】v = 一 = (l+x)T,1 + x/=(1+*门=(

11、一1).(1+須,(_l).(l+x 门=(_).(_2).(1 + 須y()=(_|)”T.(_l)!.(|+X)F第五节隐函数及参数方程型函数的导数 。隐函数的求导(等式两边对X求导)() 【题型不例】试求：方程y = x + ”所给定的曲线C： y = y(x)在点(|-,|)的切线方程与法线方程【求解示例】由y = x + e-两边对4求导/，+()化简得 y=+eyy. ， I 1 , V =r =1一41-。.切线方程：V 1 =(X 1 +时 I -e即 y = X +9r高等数学期末复习资料 第4页（共9页）高等数学期末复习资料 第4页（共9页）求只 如 dx 虹也2.旦=dx

12、 （p（t） dx2 （pU）变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 听数的微分【求解示例】in(l + x)0 x-sinxx sin x =limi0 x-sinxHmSiiKy = 0 x-o 2法线方程：y - 1 =-（l -eXx-1 + e）。参数方程型函数的求导x = （pt）【题型不例】设参数方程7，y = 7（n第六节 第七节。基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dy = fx） - dx第三章 中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理（费马引理）（）。罗尔定理（）【题型不例】现假设函数J（x）在0,硏上连续，在（0,勿）上可导，试证明：为（0,尤）,使得丿沽）cosg

13、 + /（S）sinf = 0成立 【证明示例】1（建立辅助函数）令9（x） = /（x）sinx显然函数9（x）在闭区冋0,几上连续，在开区间（0,）上可导；2.又V（O）= /（0）sin0 = 09（勿）=f（Tr）sinTr = 0即 9（0）=。（勿）=03.由罗尔定理知mgc （0,），使得/（f）cos + J（）sinS = 0成立。拉格朗廿中值定理（）【题型示例】证明不等式：当工1时，Se x 【证明示例】（建立辅助函数）令函数f（x） = e，则对Vxl, 显然函数/（X）在闭区间盘上连续,在开区间 （1,力上可导,并且广（x） = b；由拉格朗廿屮值定理可得，为cl,x使

14、得等式 ex-el =（x-l） 成立，XV e4 e. ex-e （x-l）e-1 =e x-e , 化简得即证得：当xl时，/ 【题型示例】证明不等式：当x（）时，ln（l + x）vx 【证明示例】I.（建立辅助函数）令函数/（x） = ln（1 + x）,则对Vx（）,函数/（x）在闭区间0,x上连续，在开区 冋（0,几）上可导，并且/（）=丄；1+X2.由拉格朗日屮值定理可得，36 0,x使得等式ln（l + .r）-ln（l+0） = -（x-0）成立，化简得ln（l + x） = x,又.兵0,对，广（沪/即证得：当xl时，ex e x 第二节罗比达法则。运用罗比达法则进行极限运

15、算的基木步骤（） I. 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否満足运用罗比 达法则的三个前提条件Q OO属于两大基木不定型（一,一）且満足条件，0 8f （%） /lx）则进行还算：liE丄X =宀“ g （幻g（X）（再进行1、2步骤，反殳直到结果得出）不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0.8型（转乘为除，构造分式）【题型小例】求值：limx-lnxxtO【求解示例】/解：limx Inx = lim .x-oatu 1 r io / I z jtf a xa ibJ *二- lim.vrz = 0(一般地,limx (lnx) =0,其中 a. Be R )

16、io 、/（2）00 - 00型（通分构造分式，观察分母）I_丄、sinx x ；【求解示例】解：lim I loEsinx/工/、(x-sinx)1-cosx (1-cosx)=hm= Inn= lim( 2)2x io (2ij（3）（）。型（对数求极限法）【题型示例】求值:limx1 x-0【求解示例】解：设y = V,两边取对数得：In） = In扌=xlnx =牛8nx 8对对数取xtO时的极限岫In） = I理丁泡(mx)X)=lim= -limx = 0 从而仃lim v = lim/ =e，xtO I i0iO * itOX2(4)r型(对数求极限法)I【题型示例】求值：lim

17、（cosx+sinxx-0、/【求解示例】解：令），=（cos,v + sinA-p，西边取对数得Iny = *+、心）x】，心 ln(cosx + sinjv)对 In yjc t 0时的极限，hni In y = limxtO x-OXo ln(cosx + sinx)= lim = lim丄、项(xjcosx + sinxlim),= limeAT。 I。cosx-sinx _0 t N 宀小奇=L从而财Inn In v n（5）8。型（对数求极限法）【题型不例】求值：limf-X）v-0lanx求解示例】tan a解：令、，=- X，两边取对数得In y = lanx-ln对In y求

18、X 闱寸的极限,lim In y = lim tan a-In I XT。= -lim/Inx 8 (Inx)x=_ lim = -lim L atO / , 、夕 x-0 sec_ X tan2 xoo0. sin2 x =JimVian x 丿r（sina） 2sinx-cosx= lim；=lim= （）,X IX XT。从而可得lim =1讪丿”=咿、io i0。运用罗比达法则进行极限运算的基木思路（）08_8 6 OoM00时，exx+【证明示例】（构建辅助函数）设（p（x） = ex -x-, （ x0 ）（x） = e -1 0, （ x0 ）, p（x）9（0） = 0既证：当

19、x0时，exx+l【题型示例】证明：当x（）时，ln（l + x）0 ）伊（x） =1 0 ）I + x（x） v 伊（0）= 0既证：当x0时，ln（14-x）x。连续函数凹凸性（）【题型不例】试讨论函数y = +3x2- x3的単调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料 第3页(共9页)高等数学期末复习资料 第3页(共9页)X(-00,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+oo)/ V0+匕0V+zdV1J(L3)r52.令U!3.(四行表)ssIV解得：X|=-l,七. = 13.，(三行表)X-i(T，l)1(1,3也)0+0地)极小值极大值!1!I yf = -3x

20、+6x = -3x(x-2)I y* = -6x + 6 = 6(x 1)”-3亦-2)二。解得：卩=。,2 y =-6(x-l) = 0 x = I4.函数y = l + 3尸单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递増区冋为(一8, (),(2,+8):函数V = 1 + 3x2 -x3的极小值在x = 0时取到, 为山0)=1，极大值在x = 2时取到，为/(2) = 5；函数v = l + 3x2-x3在区间(一8,0),(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2,+8)上凸；函数y = l + 3x2- X3的拐点坐标为(1,3)第五节函数的极值和最大、最小值。函数的极值与最值的关系

21、()设函数.(X)的定义域为D,如果*的某个邻域UguD,使得对Vxe(/(xM),都适合不 等式/ ()/(X/M),我们则称函数f (x)在点&./ (xm)处任极小值 /(初；令与6编，乌2，&3，则函数/()在闭区间可上的最小值m满足: m = min(/(n),xm),xm2,xm3,.,xmzi,/(/?)： 【题型示例】求函数Z(x) = 3x-x3在一 1,3上的最值【求解示例】I. .函数/(X)在其定义域-1,3上连续，且可导/.广(x) = _3b+32.令/(x) = -3(x-l)(x+l) = 0 ,4,又 V/(-1) = -2,/(1) = 2,/(3) = -

22、18(xLx=f(l)= 2J(x)血 2(3) = -18第六节 函数图形的描绘(不作要求) 第七节曲率(不作要求) 第八节方程的近似解(不作要求) 第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原函数与不定积分的概念() 原函数的概念：假设在定义区间/上，可导函数F(x)的导函数为F(x).即当|变量xe /时，有F(x) = / (或 dF(x) = f(x) dx成立,则称F为,(x)的一 个原函数原函数存在定理：()如果函数/(X)在定义区冋/上连续，则在/上 必存在可导函数F(x)使得Fz(x) = /(x),也就是 说：连续函数一定存在原函数(可导必连续) 不定积分的概念()在定义I

23、乂冋/上，函数/(%)的带有任意常数项C的原函数称为/(X)在定义区冋/上的不定积分,即表示为：J/(x/.r = F(x) + C(J称为积分小J(x)称为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，X则称为积分变量)。基木积分表()O不定积分的线性性质(分项积分公式)()第二节换元积分法O第一类换元法(凑微分)()(dy = fx)dx的逆向应用)J f 伊伊亦=J凡伊d 们IJr【题型示例】求-dxJ cr +r【求解示例】解：f t 7= f W+x- J1 +一 住IX 八=arclan + Ca a【题型示例】求f=dxJ J2x+I【求解示例】： f y!dx = fj m+i 2m+

24、i =m+i+cO第二类换元法(去根式)()ax + h ,于是 x =,a 则原式可化为，对于根号卜平方和的形式(】0 )：i 。； A/ 丸7Cyjcr +%:令 x = a tan t (v，v ),22x于是t = arctan-,则原式可化为。sec/； a对于根号下平方差的形式(。0)：a. /a2 -x2 :令 x = isin, ( Z ),22r于是t = arcsin，则原式可化为a cos t ；ab. yjx2 -cr :令x = osec/ ()/-tdt= f dt = t + C = j2x+CJ m+i-r 4 t dxtdtlcr -x2dx (三角换元)【题

25、型示例】求【求解示例】解:J后由亠土丄E cos2 tdt-/+ sin2/ I + C2+ sin/cos/) + Cf=atvsjn a dr-a cos/Ev第三节分部积分法。分部积分法()(I)设函数U = f(x)t v = g(x)具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为：jLidv = z/v-j vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、慕、三、扌旨” 。运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 邂照分部积分法函数排序次序对被积函数排序： 就近凑徹分:(v-Jx = Jv)使用分部积分公式：j adv - uv- j vdu 展开尾项J vdu = v Li dx ,判断若j v

26、udx是容易求解的不定积分，则宜接计 算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果)；若v udx依旧是相当复杂，无法通过a中方 法求解的不定积分，则重复、(3),宜至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环, 则联立方汁求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求j- xhlx【求解示例】解:J ex - xdx = j x2exdx = Jx2de = x2ex - JeW(x2) =x2ex-2jx- exdx = * 一 2 J 司(六) =x2ex - 2xex + 2J exdx = x2ex - 2xex + 2矿 + C 【题型示例】求j s

27、inAz/x【求解示例】解:J e sin xdx = -jed (cosx) = -e cos x + jcos xd (ex) =-ex cos x + Jex cosxdx = -ex cos x + Jed (sin x) =-ex cosx + e sinx-jsin xd(ex) =-ex cosx + e sin x-Jex sin xdx 即:Jex -sin xdx = -ex cosx + ex sin x- jsin 必(ex) :,Je sin azZt = (sinx-cosx) + C第四节有理函数的不定积分。有理函数()设.-(X)= p(x) = W+W+.+%

28、Q(x) q(x) = bux +Z?iy, 1 +.+bn p(x对于有理函数0苗，当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，有理函数一是真分式；当P(x)的次数 e(x)高等数学期末复习资料 第3页(共9页)高等数学期末复习资料 第4页（共9页）P（x大于Q（x）的次数时，有理函数一只是假分式 ew。有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数 W 的分母Q（x）分拆成两个没冇 公因式的多项式的乘积：具中个多项式可以表示 为一次因我（x-t）L而另一个牛项式可以表示为 二次质因式（%2 + px + q）, （ p2 -4 Zx = O（3）J 烦（工）协=外 f （x）cLx（线性性质）仏J（ x） +顷（同诉=* J： / （以女+ * J： g （灿（5）（积分区间的可加性） f（xlx = J f （x）cix + J： f （玖女（6）若函数/（x）在积分区间陽上满足f（x） 0 , 则J /（x）f0；（推论一）若函数f （x）、函数g（x）在积分区间可上满 足/（x）（x）,则r f（xLx:0【求解示例】e dt ?解：lim = lime1CO”f e-d