2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 (4)

1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式一. 两点间的距离公式 当AB时不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线BB1和AA2相交于点C。 C在直角ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2x1|，|BC|=|A2B2|=|y2y1|，C由勾股定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2，由此得到计算两点间距离的公式：d(A，B)=|AB|当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2x1|； 当AB平行于y轴时，d(A，B)=|

2、y2y1|；当B为原点时，d(A，B)=例1. 已知A(2，4)，B(2，3)，求d(A，B)。例2已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：ABC是等腰三角形。证明：因为 d(A，B)= d(A，C)= d(B，C)= 因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以ABC是等腰三角形。二. 坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点

3、的坐标，进而推导结论.例3已知ABCD，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴,建 立平面直角坐标系xOy， 依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)， 所以 AB2=a2，AD2=(ba)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).定理：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和。三. 中点坐标公

4、式 已知A(x1，y1), B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的中点，则有 （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P(2x0 x，2y0y).（3）利用中点坐标可以求得ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为例4已知ABCD的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。设D点的坐标为(x，y)，则解得

5、 所以点D的坐标是(0，4). 已知A、B的坐标分别为（1，1），（4，3），点P在x轴上，则|PA+PB|的最小值为（ ）A.20 B.12 C.5 D.4例5.求函数y= 的最小值.解：函数的解析式可化为 令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.A(0，1)关于x轴的对称点为A(0，1)， 即函数y=的最小值为练习题：1 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是1，则端点B的纵坐标是（ ） （A）3 （B）5 （C）3或5 （D）1或3C2设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得

6、|AB|=5，则B点的坐标是（ ）（A）(2，0)或(0，0) （B）( ，0) （C）( ，0) （D）( ，0)或( ，0)D3若x轴上的点M到原点及点(5，3)的距离相等，则M点的坐标是（ ） （A）(2，0) （B）(1，0) （C）(1.5，0) （D）(3.4，0)D4若点M在y轴上，且和点(4，1)， (2，3)等距离，则M点的坐标是 .5若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，则x+y的值等于 . 76已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是 。7已知ABC的两个顶点A(3，7)，B(2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是 。(2，7)或(3，5) 8 已知A(1，2)，B(3，b)两点间的距离等于4 ，则b= 。6或2 9 已知点A(1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，ACB=90，则满足条件的点C的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由ACB=90，得|AB|2=|AC|2+|BC|2， (13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12， 解得x=0或x=2,若点C在y