2022年函数与三角函数

1、函数与三角函数一、填空题3 sin x1.将函数 f x ( ) = 的图像按向量 n ( a,0) （a 0）平移，所得图像对应的函数1 cos x为偶函数，则 a 的最小值为 . 2. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数， 且 f ( 1 ) 2，则 f (2011) (2012) f _03.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点，定义点 A 到点 B 的 曼哈顿 距离2L A B ) x 1 x 2 y 1 y . 若点 A(-1,1),B 在 2 y x 上，则 L A B 的最小值为4.设 f x (

2、) 为定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f ( ) 2 x2 x b（b为常数） ，则f ( 1) .5. 已 知 函 数 f ( x ) x 2ax b ( a , b R ) 的 值 域 为 ( , 0 ， 若 关 于 x 的 不 等 式f ( x ) c 1 的解集为 ( m 4 , m 1 )，则实数 c 的值为 .6.设 a 为非零实数，偶函数 f x ( ) x 2a x m 1( x R 在区间 (2,3) 上存在唯一零点，则实数 a 的取值范围是 .7.给出定义：若 m 1x m 1 (其中 m 为整数 )，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作2 2 x ，即 m .

3、 在此基础上给出下列关于函数 f x x x 的四个命题：函数 y f x 的定义域是 R ，值域是 0, 1；2函数 y f x 的图像关于直线 x = k( k Z )对称；2函数 y f x 是周期函数，最小正周期是 1；函数 y f x 在 1 1 , 上是增函数 .2 2则其中真命题是 (写出所有真命题的序号 ).8. 设函数 f x x为奇函数，则 a _x 1 x sin ax9.已知 f x ( ) m x 2 )( m x m 3) , g x ( ) 2 2，若同时满足条件： 对于任意 x R ， ( ) 0或 g x ( ) 0 成立； 存在 x ( , 4)，使得 f

4、x ( ) g x ( ) 0 成立则 m 的取值范围是 .10.设函数fx的反函数是f1x，且f1 x1过点,12，则yfx1经过点_11.若函数f x ( )log (x1)a在区间1,2内有零点，则实数a 的取值范围是x2_12. 已 知 函 数f( )是 (,) 上 的 偶 函 数 ，gx是 (,) 上 的 奇 函 数 ，F DCgxfx1，g32013，则f2014的值为 _13. 设 定 义 在 R 上 的 函 数f( x)是 最 小 正 周 期 为 2的 偶 函 数 ， 当x0,时 ，0f(x)1， 且 在0 ,2上 单 调 递 减 ， 在2,上 单 调 递 增 ， 则 函 数y

5、f(x)sinx在10,10上的零点个数为；14.已知函数f(x )log2x(x0)，且函数F x ( )f x ( )xa 有且仅有两个零点， 则实数 a3x(x0)的取值范围是；15.已知函数f x ( )x a (a0且a1)满足f(2)f(3)，若 yf1( ) x 是yf x 的反函数，则关于 x 的不等式f1(11)1的解集是x16.设函数f(x)x2x,xx0 ,则方程f(x)x21的实数解的2sin2 x ,0 .个数为；8 米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE4米，A MEP17.如图，已知边长为CD6米为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM

6、，使点 P 在边 DE 上则矩形 BNPM 面积的最大值为平方米；BN18. 已知函数fxlog2x21 ,x0，若函数gxfxm有 3 个零点，则实数2 xx,x0m 的取值范围是 _19.函数f x ( )min2x x2，其中mina ba ab，若动直线ym与函数b abyf x 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x x2,x ，则x 1x 2x3是否存在最 大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“ 不存在”_1 x x 320.给出四个函数： f ( x ) x， g ( x ) 3 3， u ( x ) x， v ( x ) sin x，x其中满足条件： 对

7、任意实数 x 及任意正数 m ，都有 f ( x ) f x ( ) 0 及 f x m ) f x 的函数为（写出所有满足条件的函数的序号）21.在平面直角坐标系中，定义 d P Q ) x 1 x 2 y 1 y 2 为 P x y 1 ) , Q x 2 , y 2 ) 两点之间的“ 折线距离” 则原点 O ( 0 , 0 ) 与直线 x y 5 0 上一点 P ( x , y ) 的“ 折线距离” 的最小值是22.某同学对函数 f ( x ) x sin x 进行研究后，得出以下结论：函数 y f (x ) 的图像是轴对称图形；对任意实数 x ，f ( x ) x 均成立；函数 y f

8、 (x ) 的图像与直线 y x 有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；当常数 k 满足 k 1 时，函数 y f x 的图像与直线 y kx 有且仅有一个公共点 . 其中所有正确结论的序号是23.已知 y f (x ) 是定义在 R 上的增函数，且 y f x ( ) 的图像关于点 (6,0) 对称若实数2 2 2 2x, y 满足不等式 f x 6 ) f ( y 8 y 36) 0，则 x y 的取值范围是24.已知 f ( x ) ( 2x a ) x 1 , x 1满足对任意 x 1 x 2 都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )0 成立，则a , x 1 x 1 x 2

9、a 的取值范围是 _125.设x,yR，且满足x(x,4)52013(x4)34，则xy(_126.已知函数fx(y1 )52013(y1 )34a)fb)，则bf(a)的,10 x1b0，若f(x)211，设ax2取值范围是 . 27.若函数 f x 满足 f ( x 10 ) 2 f ( x 9 )，且 f ( 0 ) 1，则 f ( 10 ) . 28. 若函数 y f x x R 满足：f x +2 = f x ，且 x 1,1 时，f x = x ，函数y g x 是定义在 R 上的奇函数，且 x 0,+ 时，g x = log x ，则函数 3 y f x 的图像与函数 y g x

10、 的图像的交点个数为29.设 a 、b R，且 a 2，若定义在区间 ( b , b ) 内的函数 f ( x ) lg 1 ax是奇函数，1 2 x则 a 的取值范围是 _b30.设 m 、n R，定义在区间 m , n 上的函数 f ( x ) log 2 ( 4 | x |) 的值域是 0 , 2 ，若| t |关于 t 的方程 1 m 1 0（t R）有实数解，则 m n 的取值范围是 _ 2log 2 x ( x 0 )31.已知 f ( x )3 x ( x 0 )，且函数 F x ( ) f x ( ) x a有且仅有两个零点则实数 a 的取值范围是32.已知函数 f x ( )

11、 a ( xa 0 且 a 1 )满足 f (2) f (3)，若 f 1( ) x是 f x 的反函数， 则关于x 的不等式 f 1(1 x ) 1 的解集是33.已知命题“ 若 f x ( ) m x ，2 2g x ( ) mx 22 m ，则集合 x | f x ( ) g x ( ), 1 x 1 ”2是假命题，则实数 m 的取值范围是二、选择题1.函数f x ( )x| arcsinxa|barccosx 是奇函数的充要条件是 ( ) (A)a2b20 (B)ab0 (C)ab (D)ab0）x21, x 1,0),则下列函数的图像错误的是 （2. 已知f x ( )x1,x0,1

12、,(A)f(x1 )的图像 (B)f( x)的图像 (C)f(| x|)的图像 (D)|f(x|)的图像3.函数y=x，x(x,0)(0,b)的图象可能是下列图象中的（）a,b,c满足sinx4.定义域为 R的函数f)2 axxc(a0)有四个单调区间，则实数（）；4ac0 且a0；B b24ac0；A .b20；C .b 2aD .b0.2a6 . 若 f x ( ) 是 R 上 的 奇 函 数 ，且 f x ( ) 在 0, ) 上 单 调 递 增，则下列结论： y | f ( ) | 是偶函数； 对任意的 x R 都有 f ( x ) | f x ( ) | 0； y f ( x )在

13、( ,0 上单调递增； y f x f ( x 在 ( ,0 上单调递增其中正确结论的个数为（）A 1；B 2；C 3；D 427. 若函数 f x ( ) ax 1 在 0, 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（）xA a 0；B a 0；C a 0；D a 08. 设 f x ( ) 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R，都有 f x 2) f x 2), 且当1 xx 2,0 时，f x ( ) ( ) 1若在区间 ( 2,6 内关于 x 的方程2f x ( ) log ( x 2) 0( a 1) 恰有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（）A (1,2) ；B (2

14、, ) ；C (1, 4) ；3D 3( 4, 2) 9.已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数，数列 a n 是等差数列，a 1007 0，则 f ( a 1 ) f ( a 2 ) f ( a 3 ) f ( a 2012 ) f ( a 2013 ) 的值（）A . 恒为正数；B 恒为负数；C . 恒为 0；D . 可正可负 . 1 x10.给定方程：( ) sin x 1 0，下列命题中：2（1）该方程没有小于 0 的实数解；（2） 该方程有无数个实数解；（3）该方程在,0 内有且只有一个实数解；(x)f(x)D 4（4）若0 x 是该方程的实数解，则x01则正

15、确命题的个数是（）A 1；B 2；C 3；11.设函数yf(x)是定义在R 上以 1为周期的函数，若函数g2x在区间2,3 上的值域为2,6，则g(x)在区间12,12上的值域为（）,34A 2,6；B 24,28； C 22,32；D 20三、解答题1.经过统计分析，公路上的车流速度 v （单位：千米 / 小时）是车流密度 x （单位：辆 / 千米）的函数，当公路上的车流密度达到 200 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米 / 小时，研究表明：当 20 x 200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 . （1）当

16、0 x 200 时，求函数 v x 的表达式；（2）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/ 小时）f x ( ) x v x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/ 小时） . 2.已知函数 f x ( ) 1 x 1 x （1）求函数f x ( )的定义域和值域；F x 在a0时的最大值g a ；（2）设F x ( )af2( )2f x（ a 为实数），求2（3）对（ 2）中g(a)，若m22tm2g a 对a0所有的实数 a 及t 1,1恒成立，求实数 m 的取值范围3.设函数nf( )xnbxc(nN, , b cR . a 使得（1）

17、当n2,b1,c1时，求函数nf( ) x 在区间(1,1)内的零点；2（2）设n2,b1,c1，证明：nf( ) x 在区间(1,1)内存在唯一的零点；2（3）设n2，若对任意x x21,1，有f2(x 1)f2(x 2)4，求 b的取值范围4. 如果函数yf(x)的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数f(xa )f(x)成立，则称此函数具有“P(a)性质 ” P(a)性质 ”求出所有 a 的值；若不（1）判断函数ysinx是否具有 “P(a)性质 ”，若具有 “具有 “P(a)性质 ” ，请说明理由(xm 2)，求yf(x)在0,1（2）已知yf( x )具有 “P(0)性质 ”

18、，且当x0时f(x)上的最大值（3）设函数yg(x)具有 “P(1 )性质 ”，且当1x1时，g(x )x若yg(x)与22ymx交点个数为2013 个，求 m 的值5.对于函数 y f x 与常数 a b ，若 f (2) x af x () b 恒成立，则称 ( , ) a b 为函数 f (x ) 的一个“ P 数对” ；若 f (2 ) af x ( ) b 恒成立， 则称 ( , ) a b 为函数 f (x ) 的一个“ 类 P 数对” 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (1) 3（1）若 (1,1)是 f x 的一个“P 数对” ，求 f (2 )( n N *)；

19、（2）若 ( 2,0) 是 f x 的一个“P 数对” ，且当 x 1,2) 时 f x ( ) k 2 x 3，求 f x 在区间 1,2 ) ( n N *) 上的最大值与最小值；（3）若 f x 是增函数，且 (2, 2) 是 f x 的一个“ 类 P 数对” ，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由f(2n)与 2n +2 (nN*)；f x 与 2x2(x(0,1)6.已知函数f(x)=log2x1. g x ( )f1( )log2k 有零点的实数 k 的取x1（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（2）求f(x)的反函数f1 x)，并求使得函数值范围 .7. 我 们 把 定

20、 义 在 R 上 ， 且 满 足f(xT)af(x )（ 其 中 常 数a,T满 足a1,a,0T0）的函数叫做似周期函数且图像关于直线x1对称求证：函数f(x)（1）若某个似周期函数yf(x)满足T1是偶函数；（2）当T,1 a2时，某个似周期函数在0 x1时的解析式为f(x)x1(x)，求函数yf(x)，xn,n1,nZ的解析式；3x，试研究似周期函数函数yf(x)在区（3）对于确定的T0且0 xT时，f(x)间(0,)上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由2 ,01xx128.设函数T x ( )2(1x ),12（1）求函数yTsin(2x )和ysin

21、2T(x)的解析式；（ 2）是否存在非负实数a ，使得aT x ( )T a x 恒成立， 若存在， 求出 a 的值； 若不存在，请说明理由；（3）定义 T n 1( ) T n ( ( )，且 T x 1( ) T x ( ) n N 当 x 0, 1n 时，求 y T n ( ) x 的解析式；2已 知 下 面 正 确 的 命 题 ： 当 x in 1, in 1( i N，1 i 2 n1) 时 ， 都 有2 2iT n ( ) T n ( n-1 x 恒成立 2 对于给定的正整数 m ，若方程 T m ( ) k x 恰有 2 m个不同的实数根，确定 k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列 nx 1 n 2 m，求数列 nx 所有 2 m 项的和 9. 已知函数f x ( )loga1x(0a1). f x3)，若存在，求出)1x（1）求函数f x ( )的定义域 D ，并判断f