(王桃)常用的数学思想和方法

1、 -中考复习专题 宜昌22中 王 桃 常用的数学思想和方法 （1）已知点P在x 轴上，且与原点的距离为2，那么点P 坐标是 ；（2）函数 中，自变量x 的取值范围是 ；（3）已知点P（3，a）在函数 的图象上，则a = ；（4）点P（a, b）在第二象限，则直线 不经过第 象限.小测验:(2,0)或(-2,0) x3且x42三常用的数学思想分类讨论思想化归转化思想函数方程思想数形结合思想特殊化思想整体思想类比思想统计思想建模思想换元法配方法待定系数法消元降次法公式法赋值法反证法几何变换法常用的数学方法例1.（08扬州）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为2

2、4，第2次得到的结果为12，请你探索第2009次得到的结果为_.输入xx+5输出分类讨论思想点评：此类程序操作题题型新颖，能力立意，渗透分类讨论思想. x为奇数时x为偶数时8例2（06济宁）如图，将一等边三角形剪去一个角后， 等于（ ） A B CD 12化归转化思想12ABC点评:在几何问题中“化归”的思想是一种常用的重要思想方法，三角形是大量几何问题的重要化归目标.四边形的问题常常转化为三角形来解决，相反地，三角形通过裁剪或拼合也可以得到四边形.特殊与一般思想变式A=60B函数方程思想例3.（08北京）在平面直角坐标系xoy中，反比例函数 的图象与 的图象关于x轴对称，又与直线 交于点A（

3、m，3），试确定a的值.点评：此题综合一次函数与反比例函数的有关知识，运用数形结合思想理解题目，运用方程思想求出待定系数k，从而确定a的值.a=-1例4.（08南京）南京至上海的沪宁高速公路长约300千米.甲、乙两车同时分别从距南京240千米、60千米的入口行驶上沪宁高速上正常行驶.甲车驶往南京、乙车驶往上海.甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车离南京（沪宁高速公路南京起点）的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示.（1）求出甲车离南京的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数表达式；（2）乙车若以60千米/时的速度匀速行驶，1小时后两车相距多少千米？（3）乙车按（2）中状态行

4、驶与甲车相遇后，速度改为a千米/时，结果两车同时到达沪宁高速南京、上海起点，求乙车变化后的速度a;并在如图所示的直角坐标系中，画出乙离南京的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象.数形结合思想点评：数形结合 ：“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而优化解题途径.巧妙地运用数形结合的方法解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果.数形结合思想例5.（07丽水）为了开展阳光体育运动，坚持让中小学生“每天锻炼一小时”，某地教研室体育组搞了一个随机调查，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及锻炼未超过1小时的原因”，他们随机调查了720名学生，所得的数据制成了如

5、下的扇形统计图和频数分布直方图根据图示，请你回答以下问题： （1）“没时间”的人数是 ，并补全频数分布直方图； （2）2006年丽水市中小学生约32万人，按此调查，可以估计2006年全市中小学生每天锻炼未超过1小时约有 万人； （3）如果计划2008年丽水市中小学生每天锻炼未超过1小时的人数降到3.84 万人，求2006年至2008年锻炼未超过1小时人数的年平均降低的百分率是多少？不喜欢没时间其它原因锻炼未超过1小时频数分布直方图人数统计思想建模思想400270超过1小时未超过1小时点评：常见模型有函数模型、方程模型、不等式模式、几何模型、三角模型、图表模型等. 40024点评：近年中考试题范

6、围不仅包括数轴、直观图和轴对称图形等应用，也包括几何变换和统计图等应用，此题渗透统计思想、数形结合思想和建模思想.1.（08扬州）如图,已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小C线段EF的长不变 D线段EF的长与点的位置有关运动变化思想点评:本题是一道非常简单的动态几何问题，要体会运动之中有不变，向学生渗透运动变化的思想.C2.（08宜昌）如图，将三角尺ABC（其中ABC60，C90）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A

7、，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A120 B90 C60 D30变换思想A特殊与一般思想3.将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕P点旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点,图1、2、3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.（1）三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图形2加以证明;ABCPDE图1ABCPDE图2ABCPDE图3特殊与一般思想3.将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕P点旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点,图1、2、3是旋转三角板得到的图形中的3种情况

8、.（1）三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图形2加以证明;ABCPDE图1ABCPDE图2ABCPDE图3点评：这是“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想在数学中的具体体现.有些特殊问题，需要研究一般性规律；而对于一般性问题，也常常通过考察其特殊情况（如特殊图形、特殊位置、特殊取值等）来揭示其本质规律.4.（2008宜昌）用煤燃烧发电时，所说的标准煤是指含热量为7 000大卡/千克的煤生产实际中，一般根据含热量相等，把所需标准煤的用煤量折合成含相同热量的实际用煤量来计算（“大卡/千克”为一种热值单位） 光明电厂生产中每发一度电需用标准煤0.36千克，现有煤矸石和

9、大同煤两种可选为生产实际用煤，这两种煤的基本情况见下表： （1）求生产中只用大同煤每发一度电的用煤量（即表中m的值）；（2）根据环保要求，光明电厂在大同煤中掺混煤矸石形成含热量为5 000大卡/千克的混合煤来燃烧发电，若使用这种混合煤比全部使用大同煤每发1 000度电的生产成本增加了5.04元，求表中a的值（生产成本购煤费用其它费用）煤的品种含热量（大卡/千克）只用本种煤每发一度电的用煤量（千克/度）平均每燃烧一吨煤发电的生产成本购煤费用（元/吨）其他费用（元/吨）煤矸石1 0002.52150a（a0）大同煤6 000m600a2 建模思想点评：数学模型常见的有函数模型、方程模型、不等式模式

10、、几何模型、三角模型、图表模型等. 1、复习基础，把握核心，形成体系.2、注重数学思想方法的运用. 初中阶段常见的数学思想与方法有： 数形结合思想 函数方程思想 分类讨论思想 化归转化思想 变换思想 整体思想 类比思想 建模思想 估算与猜想思想等小结归纳 感悟体验:消元法降次法配方法换元法反证法构造法赋值法待定系数法几何变换法等. “数学思想方法是数学的灵魂!”结语：让我们把握灵魂，提高数学文化素质!1（基础题）(改编)抛物线 的顶点坐标是 .分层练习题:2.（基础题）如图，已知直线 经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标 图2M-2O1xy13.（基础题）初三数学课本上，用“描点法”画二次

11、函数 的图象时列了如下表格： 根据表格上的信息回答问题：该二次函数 当x=3时，y= 点评:本题要求考生对二次函数的性质有较高层次的理解，渗透着数形结合研究函数的重要思想.4.（基础题）用换元法解方程 : ，令 代入原方程后，变形为 . 点评：换元法是非常重要的数学方法，整体思想是中考中考查的难点之一.5.（中档题）当 时，代数式 的值为 6.(中档题)如图，在矩形ABCD中， AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，使点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF= .7.（提高题）已知甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲车到B地后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.（1）求甲车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了 小时，求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间.甲乙甲y(千米)300 x（小时）3 O8.(选做题)如图1，点A是直线ykx（k0，且k