随机变量及其分布数学期望方差概率例题

1、精心整理2010年优秀模拟试卷分类汇编第五部分：随机变量及其分布、数学期望、方差、概率（2010丹东一模）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜 者中考试选拔）；自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜 者才具备自主招生考试资格）；高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）.某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛 一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件、条件的顺序依次参加考 试.已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是 0.9,通过联赛一等

2、奖选拔考试 的概率是0.5,通过自主招生考试的概率是 0.8,高考分数达到一本分数线的概率是 0.6,高考分数达到该大学录取分数线的概率是 0.3.（I）求这名同学参加考试次数 的分布列及数学期望；（II）求这名同学被该大学录取的概率.（2010丹东二模）为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能 从中任选一个批号的疫苗进行接种.（I）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（II）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为，求 的数学期望.（2010抚顺模拟）精心整理精心整理某校的学

3、生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示:组别理科文科性别男生女生男生女生人数5432学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给 其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记 2分，若要求被选出的4人 中理科组、文科组的学生都有.(I)求理科组恰好记4分的概率？(H)设文科男生被选出的人数为，求随机变量 的分布列和数学期望E .(2010沈阳一模)某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购 物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所2r示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容

4、器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，Tj 最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1. 2(I )求摇奖两次，均获得一等奖的概率；(II)某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望； (田)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动(打折后不再享受摇奖)，某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算. 5. (2010沈阳三模)精心整理精心整理一个口袋中装有大小相同的n个红球(门封5且口 N)和5个白球，每次从中任取两个球

5、，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖.(I )试用n表示一次取球中奖的概率p；(II)记从口袋中三次取球(每次取球后全部放回)恰有一次中奖的概率为m,求m的最大值；(田)在(H)的条件下，当 m取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n个 红球作如下标记：记上i号的有i个(i 1,2,3,4),其余的红球记上0号，现从袋中任取 一球,X表示所取球的标号，求X的分布列、期望.(2010高.考.资.源.网预测)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是 相互独立的。(1)求进入商场的1位顾客购买甲、

6、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记 表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。(2010大连二模)某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属区间60, 110。将成绩按如下方式分成五组第一组60, 70);第二组70, 80);第三组80, 90);第四组90, 100);第五组100,部分频率分布直方图如图所示，及格(成绩不小于90分)的人数为20。(1)请补全频率分布直方图;(2)在成绩属于70, 80) U90, 100的学生中任取精心整理精心整理两人，成绩记为m,n,求|m n| 10的

7、概率；（3）在该班级中任取4人,其中及极格人数记为随机变 量X,写出X的分布列（结果只要求用组合数 表示），并求出期望E （X）。（2010东北育才、大连育明三模）单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销 售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏 转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数， 在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张 可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余 下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个 活

8、动，并且不能代替别人购买。（1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种结果的概率是多 少？（2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数的分布列及均值；（3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值。（2010东北育才、大连育明二模）ZV2由于当前学生课业负担较重，造成青少年某高中随机 抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到，嬴眇幺况的茎叶图（以 小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：（I ）指出这组数据的众数和中位数；（II）若视力测试结果不低丁 5.0,则称为“好视力”，求校医从这16人中随机 选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（田

9、）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校 （人数很多） 精心整理精心整理任选3人，记 表示抽到“好视力”学生的人数，求 的分布列及数学期望.(2010东北三省四市联考)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表： 药物效果试验列联表患病未患病总计没服用药203050服用药xy50总计MN100工作人员曾用分层抽样的方法从 50只服用药的动物中抽查10个进行重点跟踪试验.知道其中患病的有 2只.(I)求出列联表中数据x, y, M, N的值；(II)画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；(III)能够以97. 5%的把握认为药物有效吗？参

10、考数据：0. 500. 400. 250. 150. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 0010. 4550. 7081 . 3232. 0722. 7063. 8415. 2046. 6357. 87910. 828211. (2010银川一中二模)某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了 “普法知识竞赛” ，现 有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的 概率是4,甲、丙两人都回答错误的概率是乙、丙两人都回答对的概率是-.5154(1)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。(2)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。 I(2010银

11、川一中一模)有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为)上安装5 只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为 0.5,若一个侧面上至少有3只灯发 光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用 表示更换费用。(1)求号面需要更换的概率；(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；(3)写出的分布列，求的数学期望。精心整理精心整理（2010吉林市二模）道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，具检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q （简称血酒含量， 单位是毫克/100毫升），当20WQ80时，为

12、酒后驾车；当QA80时，为醉酒驾 车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人,依据上述材料回答下列问题：（I ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；（II）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并 指出所求期望的实际意义；（田）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生 交通事故的概率分别是0.1和0.25,且每位驾驶员是否发生交通事故是相 互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概 率。（精确到0.01）

13、并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议 .（2010海南五校联考）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀.每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1.两个2.两个3 一共六个数字.质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步（如由A到B）;当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步（如由A到C）,当正方体上底面出现的数字是 3,质点P前进三步（如由A到D）.在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.（I）求点P恰好返回到A点的概率；（n）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量

14、表示点p恰能返回到a点的投 DnnC 掷次数，求 的数学期望.（2010东北三校一模）| ar b 甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目B 标的环数都稳定在7, 8, 9, 10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，射击环数甲运动员精心整理精心整理7100.18100.190.451035合计1001乙运动员射击环数频 数频 率780.18120.159100.35合计801若将频率视为概率，回答下列问题，(1)求甲运动员击中10环的概率(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次， 表示这3次射击中击中9环以

15、上 (含9环)的次数，求的分布列及E .(2010东北三校三模)第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于 2009年12月24日正式开园。在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时 冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=量当坐1,假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的 25%、35% 40%, 所米冰块总数,各队采出的冰块利用率分别为 0.8, 0.6, 0.75,(1)在采出的冰块中有放回地抽取三块， 其中由甲工作队采出的冰块数记为，求的分布列及其数学期望；(2)在

16、采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。(2010大连双基测试)一个口袋中有2个白球和n个红球(n 2,且n N*),每次从袋中摸出两个球(每次 摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率 P；(2)若n 3,求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p),当n为何值时，f(p)最大。(2010吉林H-一校联考)精心整理精心整理甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩 的分布列如下：射手甲环数8910概率射手乙环数8910概率CD500600万元 万元0.80.9精

17、心整理(I)若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率;(n)若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为 ，求 的分布列和期望.(2010高.考.资.源.网模拟)为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：方案 A B300400经费 一 一万元 万元安全0.60.7系数其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每 种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保 证整个活动的安全。(I)若总经费在1200万元内(含1200万元)，如何组合实施方案可以使安全系数最高？(II)要保

18、证安全系数不小于0.99,至少需要多少经费?(2009 丹东二模)某校从参加高二年级学业水平测试 出80名学生，具数学成绩(均为整数) 直方图如图所示.精心整理（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在90, 100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过 94分.若将频率 视为概率，现用简单随机抽样的方法，从 95, 96, 97, 98, 99, 100这6个数中任 意抽取2个数，有放回地抽取了 3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成 绩的次数为，求的分布列及数学期望E .2010年优秀模拟试卷分类汇编第五部分：随机变量及其分布、数学期望、方差、概率详解答案1.解：(I)2,4

19、, ( 2 分)P( 2) (1 0.9) 0.9 0.5 0.55 ( 3 分)P( 4) 0.9 (1 0.5) 0.45 (4 分)(或 P( 4) 1 0.55 0.45)24P0.550.45E 2 0.55 4 0.45 2.9 (6 分)(II)设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是R、P2,则P 0.1 0.3 0.9 0.5 0.48 (8 分)P2 0.9 (1 0.5) 0.8 0.6 0.9 (1 0.5) (1 0.8) 0.3 0.243 (10 分) TOC o 1-5 h z 该同学被该校录取的概率P P2 0.723 （12分）2.解：（I）三个区选择疫苗

20、的批号的种数是43 64, （2分）恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是 CM： 36, （3分）三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是p坦； （6分）16（II）选择疫苗批号相同的区的个数可能的取值为0, 2, 3, （8分）31A：39C41/八、P( 0)一，P( 2)P( 3), (10 分)438164316023(或者 P( 2) 19 , P( 3) 16 , P(0)195116A分布列是38291631162116(12 分)3.解：（I）记“理科组恰好记4分”的事件为A,则A为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生” 2分共有C； C： C1 C： C52

21、260种选法，基本事件数为精心整理精心整理C； c5 C； C； C9 c53 870 2 分所以 P(A) 260 空2 分870 871628700123(H)由题意得 0,1,2,3,所以 P( 0)垩，P( 1).，P( 2)870870P( 3) -9- 2分于是的分布列为8702分(直接写出正确分布列的给 4分)c 204 , 495 c 162 c 91410123870870870870 145的数学期望为E()4.解：记“小球落入A袋中”为事件A, “小球落入B袋中”为事件B ,则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故33113P A _-PB1PA2分24

22、4(I)获得两次一等奖的概率为P PA PA 16(II) X可以取 2,3,4239P(X=2)= 416,1136 一 C2 一一 一P(X=3)=4 4 16L2 L. .P(X=4)= 416234分布列为:所以 EX =2X +3X A+4X=2.5. 10分161616(田)参加摇奖，可节省2.5元，打折优惠，可节省2.4元，当然参加摇奖.12分5. (I)每次从n 5个球中任取两个，有C25种方法.它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有cnc5种，精心整理精心整理Cc1一次取球中奖的概率为p 学 一竺nC：5 n 5 n 4（II）设每次取球中奖的概率为 p,三次取球中恰有

23、一次中奖的概率是: , 1232m P3 1 C3 p 1 p 3p 6p 3P （0p1）.m对p的导数m 9p2 12p 3因而m在0,1上为增函数，3当 p 1,即 10n13 n 5 n 43（in）由（n）知：红球共1 3p 13上为减函数.20 时，mmax 4 .20个，则记上0号的有10个红球，从中任取一球,X有20种取法，它们是等可能的.故 X的分布列是:202010A表示事件:1c1c 3,23410分1E X 0125 i- .12分进入商场的1位顾客购买甲种商品,6.【解析】记记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品,记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商

24、品中的一种,记D表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。（2分）(1)0.5 (6 分)DAB1 P D 0.8(9分):B 3,0.8 ,故的分布歹!J所以 E 3 0.8 2.4 (12 分)7.解：（1）由图得，成绩在100,110的人数为4人,所以在90,100）的人为16人,0.038 八频率/组距所以在90,100）的频率为0.32 ,0.032 一在80,90）的频率为0.38.0.016精心整理精心整理 TOC o 1-5 h z 补全的频率分布直方图如图所示. 4分(2)由题得:成绩在70,80)的有8人，在90,100)的为16人.所以|m n| 10的

25、概率为CC6 32. 6分C2469X的分布列为：012349分随机变量X服从的是 M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望E(X) 4 20 8. 12 分5058.解：(1)最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，概率为二(2分)12(2) 可能的取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,且取其中每个值的概率为312的分布列为123456789101112P1）1/ L 八、E (1 212) 6.5.(5 分)12(3)设指针所指数字为，得到优惠的钱数为Y元。购买8张代金券， TOC o 1-5 h z 即丫 80,8,（9 分）

26、24112,8.11EY 24（1 27） 112 7 80 5 24.（ 12 分）12 129.解：（I）众数：4.6和4.7;中位数：4.75 2分精心整理精心整理(n)设a表示所取3人中有i个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为 TOC o 1-5 h z 312事件 A,则 P(A) P(Ao) P(A) T -4-3 121 6分Cw -136140(m) E的可能取值为0、1、2、3 7分分布列为10分 TOC o 1-5 h z E 0.75. 12分10. (1)-202P(0) = C50 ,-2p(0) - C50 TOC o 1-5 h z 038 C：-0互CI

27、1分X 102 分M 30, N 703 分画出列联表的等高条形图4分由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效-5分(2) 取值为0, 1, 2高.考.资/源/网P(P(P(C203820) C50 245 ,C20C30120 C50 245 ,C2C3087 C50 245 ,012294245 -7 分e 9p(0) C50 245精心整理精心整理P(-c；。i)=c5oc2C4080=245156P(= C50 = 245012E)392245-9 分E说明药物有效-10分K2100(800 300)24 7630 70 50 50.11分由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有

28、效。12分11.解：(I)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C,则P(A) 4,且有5P(A)P(C)P(B)P(C)115141即P(A)1P(C)P(B)P(C)115(n)由(I) p(a)11 P(A) , P(B) 1551P(B) 8,P(C) 1 P(C) 3“甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件:ABC ABC ABC,其中概率为P12.(1)因为号面不需要更换的概率为:所以号面需要更换的概率为:(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有C3 C4 C51252P=1-1 =1222个面需要更换的概率为:2 TOC o 1-5 h

29、 z 2 1 2 1 4 C 615P6(2)=C6(3)(2) 了 鼠C352616 01-C 2“|J、/ t1 /C 61a C 62/c C 6 15(3)因为-B(6q),又 凄(0)=F 艮，围1)=了 d，因2)=7P6(3)八4八5八6C A C 615/亡、C 63C 61P6(4)=/ 艮，P6(5)=F 而，自(6)=至 的分布列为：0123456精心整理精心整理P=100 , E =100E =300焉；25%13.解:(I )(H)解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量C215/p( 0) d 1),则c2(2分)可能取到的值有0, 1,21.28酒驾车人员.(8分)(田

30、)p 1 0.96 0.752 0.70(10 分)一句话倡议：答案开放，教师酌情给分012P的两人中平均含有0.5个醉则分布列如下E 2,实际意义：在抽取2)C4C8c6 c2 3/b 7, p(12 分)14.解：(I)投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，具概率为因为只投掷一次不可能返回到 A点;若投掷两次点P就恰能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1, 3). (3, 1). (2, 2)三种结果，其概率为 P2 (；)2 3 g若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为： TOC o 1-5 h z (1, 1, 2). (1, 2, 1

31、). (2, 1, 1)三种结果，其概率为 P3 (-)3 3 - 39若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1, 1,1,1)其概率为F4 (1)4 -381所以，点P恰好返回到A点的概率为P P2 P5 P411工3 9 81817分(n)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种,331因为，P( 2) 7, P( 3) P( 4) 7精心整理精心整理所以，E 23 3： 4；19712分15.解：x 45, y 0.35,z 32(1)设“甲运动员击中10环”为事件A,P(A) 0.35甲运动员击中10环的概率为0.35. 2(2)设甲运动员击中

32、9环为事件A,击中10环为事件A则甲运动员在一次射击中击中 9环以上(含9环)的概率P P(A1 A2) P(A) P(A2) 0.45 0.35 0.8 4甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率 答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率为0.992.(3)的可能取值是0, 1, 2, 301230.010.110.40.48所以的分布列是E 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0.48 2.35 121016.解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为依题意0,123,1 TOC o 1-5 h z 且：B(3, -)1分4的分布列为0

33、1235分 13E 3 6 分4 4(2)用Ai表示事件“冰块是由甲工作队采出的 ；A2表示事件“冰块是由乙工 作队采出的；A3表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用B表示事件“采出的冰块 能被利用”，8分则 P A 0.25, P A2 0.35, P A3 0.40,PBA 0.8, P B A2 0.6, P B A3 0.75 10分答：采出的冰块能被利用的概率是 0.71. 12分17.解：(1) 一次摸球从n 2个球中任选两个，有C；2种选法，其中两球颜色相同有Cn2 c2种选法；一次摸球中奖的概率p(2)若n 3,则一次摸球中奖的概率是P C； n2 n 24分C：2n2 3n 2-,三次摸球是独立重复实验，三次摸球 5精心整理精心整理中恰有一次中奖的概率是p3(i)c3 p(i p)2%8分125(3)设一次摸球中奖的概率是p ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是1232f (p) C3 P (1 p) 3p 6p 3P , 0 p 1 ,f(p)在0是增函数，在1,1是减函数，33当p 3时,f(p)取最大值10分2,n N ),n2 n 21 /p - 一(nn2 3n 2 3n 2,故n 2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。12分18.解(I )记事件C;甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ;甲命中2次10环,乙命中1次10环，则四次射击