最新数理统计试卷及答案

1、安徽大学20112012学年第一学期数理统计考试试卷(B卷)(闭卷时间120分钟)题号一四五总分得分院/系年级 专姓名学号得分一、选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)1、设总体XN(1,9)，(X, X2,L , X9)是X的样本，则(1(A) p N(0, 1)；1(C) -9-N(0, 1)；(B)(D).X 1-3-N(0, 1)；X 1N (0, 1).2、设X1，X2，., X为取自总体XN(目,b 2)的样本，X为样本均值，1 S2 = (X. - X)2，”.=1则服从自由度为n -1的t分布的统计量为)。(A)牍(X 羽)(B)(C)Tn 1(X -口)3、Sn其中b

2、2已知(D) *n(X -()Sn则H的置信区间(当样本容量n保持不变时如果置信度1-a减(A)长度变大；在假设检验中，分别用a , P表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容 量n 一定时，下列说法中正确的是().(A) a减小时P也减小；(B) a增大时P也增大；(C) a, P其中一个减小，另一个会增大；(D) (A)和(B)同时成立.， 、一人_ 人 一一5、在多兀线性回归分析中，设B是B的最小二乘估计， = Y X 8是残差向量，则 ().(A)4、(B)长度变小;a ,(C)长度不变;(D)前述都有可能.(C)E饵)=0 ；n是b 2的无偏估计;n p 1(B) Cov()

3、= b2 I X (X X )-1 X1；(D) (A)、(B)、(C)都对.二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)得分6、设总体X和r相互独立，且都服从正态分布N(0, 32)，而(X , X L , X )和(Y, YL , Y) TOC o 1-5 h z 129129是分别来自X和Y的样本，则U = X1 +L + X9服从的分布是_.Y 2 + L + Y 2* 197、设0与e都是总体未知参数9的估计，且0比e有效，则8与e的期望与方差满足1212128、设总体X N(pq2)，a 2已知，n为样本容量，总体均值日的置信水平为1-a的置信区间为(X-人,X +人)，则人

4、的值为9、设X 1；X2,.,Xn为取自总体XN(p,b2)的一个样本，对于给定的显著性水平a，己 知关于a 2检验的拒绝域为X 2 ,其中未知参数e 0 , 其它(X1,X ,l ,X )为取自总体的一个样本，求e的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计 量.12、设X1, X2,A , X是来自总体XP(X)的样本，人0未知，求人的最大似然估计量.13、已知两个总体 X与Y独立，X(打,*)， Y(气,b2)，b 2(X ,X ,L ,X )和(Y,Y ,L ,Y )分别是来自X和Y的样本，求一12q12 勺b 22 区间.日,日,b 2,。2未知，1212的置信度为1 -的置信14、合格苹果

5、的重量标准差应小于0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重，得 其样本修正标准差为S = 0.007公斤，试问：(1)在显著性水平a = 0.05下，可否认为该批 苹果重量标准差达到要求？ (2)如果调整显著性水平a= 0.025,结果会怎样？ (%2 (9) = 19.023,%2 (9) = 16.919 ,*2 (8) = 17.535,*2 (8) = 15.507 ) TOC o 1-5 h z 0.0250.050.0250.0515、设总体XN(a,1)，a为未知参数，a e R，XX2,A ,X为来自于X的简单随机 样本，现考虑假设：1 2”H : a = a，H : a

6、。a (a 为已知数) 00100取a =0.05，试用广义似然比检验法检验此假设(写出拒绝域即可).(。025 = 1.96，u = 1.65，% 2 (1) = 5.024，% 2 (1) = 3.841)0.050.0250.05(本大题共2小题，每小题10分，共20分)四、证明题16、设总体X服从B(1,p)分布，(X,X2,L X )为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVUE.”17、设X ,L , X是来自两参数指数分布1p（x;0, g） = e-（x-g）/0, x g,0 0 0的样本，证明（X, X（1）是（g,0）充分统计量.得分五、综合分析题（本大题共10分）18、现

7、收集了 16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据，求得x = 0.125, y = 45.788,E(x - x )2 = 0.3024, ii=1E(y y )2 = 2432.4566.i(xi - x)(yi - y) = 25.5218, i=1(1)建立Y关于X的一元线性回归方程y = P 0对Y与X的线性关系做显著性检验(a= 0.05, F (1,14) = 4.60, t (14) = 2.1448,10 05(14) = 1.7613).I=1+ P x ;1安徽大学2011-2012学年第一学期数理统计(B卷)考试试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题2分，共10分)I、A

8、 2、D3、C 4、C5、B二、填空题(每小题2分，共10分)6、t(9)7、E(6) = E(6 ),必6) 必6 )8、华四1212即叫29、Q 2 Q 2 10、Cov(0 ) = b 2 (X X )-1 0三、计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)II、解：(1)v = E(X )=xf (x)dx =! xe-ldx = 6，用 $ = - Ex = X 代替，所以1-80 615分6 =1 Ex. = X.n .110(2) E(6) = E(X) =1 e E(X) = E(X) =6，所以该估计量是无偏估计.=1X x12、解：总体 X 的分布律为 p(x,X) =

9、 P x = x = e-X, x = 1,2,L x!设(x ,x ,L ,x )为样本(X , X ,L , X )的一个观察值，似然函数12n12nL(X) = P(X= x ) = HXle-x=e-nxHXl,4分i=1，i=1 号i=1 % !对数似然函数In L(X) = 一nX + E x In X - ln(x !)，i=1d (In L(X) = 0, - n +1 Ex = 0, X=1 Exd XX , 1 in . 1 i (In L(X)= - -E x = -， 0， TOC o 1-5 h z d X 2、 X 2i xX=xi=1所以X= x是X的最大似然估计

10、值，X的最大似然估计量为八一.一八X = X .10 分 13、解：设52, *分别表示总体X，y的样本方差，由抽样分布定理知P f(n 1, n 1) F F(n 1, n 1) = 1a ,bb22S 2 / S 2 12- j , k F (n 1,n 1) 1a/21-S2 /S2b2 S2 / S2)1 2 1 2(n 1, n 1) b 2 F (n 1, n 1) /2 的置信区间为F (n 1,n 1) Ja/2 12a/2110分14、解：(1) b2 x 2 (8)= 0.005, nx 2 (8) = 15.507 ,0.050.05X 2 = 8000072 = 15.

11、68 15.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要5分(2)新设 H0:b 2 0.005,由 /2025 = 17.535,nx2 = 8/了 =戚68X | a = a ) = P (n( X a )2 2ln 人)，1n 00000因为当H成立时，n(X-a )2x 2(1)，此即%2 (1) = 3.84 = 2ln人, 000.050_从而上述问题的拒绝域是W = n( X - a )2 3.84.10 分四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)16、证明：X的分布律为f 3； p) = px (1-p)1-x, x = 0,1 .容易验证f (x;

12、p)满足正则条件，于是I (p) = E8 iIn f (x; p) cpp (1-p )另一方面Var(X) =1 Var(X) = p(1-p) =， nnnl (p)即X得方差达到C-R下界的无偏估计量，故X是p的一个UMVUE.分17、证明样本的联合密度函数为101E %_四)P(x,L ,x ;9,日)=(1)戏-I= (1)I1 nUx(1)次Ux次5 分量.取 t = (x, x),g (t ;U)=(备)故由因子分解定理，(*,X 1)是(土0)充分统计 10分e 3 I, h(x ,L , x ) = 1,x(1 四1 n五、综合分析题(本大题共10分)18、解：(1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为E( x厂 x)(y厂 y) =4=11E(X - X)2i=y -皆 x = 45.788 - 84.3975 x 0.125 = 35.2389. 01对 X 的