无限长圆柱非稳态导热集总参数法应用

1、无限长圆柱非稳态导热集总参数法应用摘 要：圆柱体进行非稳态导热时，集总参数法只适用于Bi1时一 般采用根据解析解绘制的Heisler图线。由于前者适用范围窄，后者误差大，探讨一 个非稳态导热的实用便捷公式具有重要意义。以无限长圆柱为例,研究在0Bi3 条件下非稳态导热平均温度集总参数分析方法，定义必要的参数，建立了平均温度 瞬态响应关系式。拓展了传统的非稳态导热集总参数法应用范围.数值分析给出 了计算关系式的辅助参数表。通过推导出的公式，结合参数表来计算工程实际问 题，比通用的Heisler图解法更为简洁方便。关键词：非稳态导热;集总参数方法;温度瞬态响应;无限长圆柱Application o

2、f Lumped Parameter Analysis Method of Infinite Cylinder forUnsteady-state Heat ConductionAbstract: Lumped parameter analysis method is used when the case of Bi1. Because the former has a narrow applied range and the latter has a grave error, how to explore a practical formula of lumped parameter ana

3、lysis method of unsteady-state has important value. Under the convection boundary 0Bi 3, a mean temperature lumped parameter analysis method is studied and the mean temperature response formula is established taking an infinite cylinder as an example. In the paper, the traditional lumped parameter a

4、nalysis method of unsteady-state is extended, the numerical analysis is discussed and the table of assistant parameters is given. The method for solving the unsteady-state conduction in the paper is more convenient than the M.P. Heisler charts.Key words: unsteady-state heat conduction; lumped parame

5、ter method; temperature transient response; infinite cylinder由于非稳态导热问题本身的复杂性，难以得到既简洁又准确的求解方法，例如，无 限长圆柱在对流边界条件下的导热问题,解析解涉及到0阶和1阶第一类贝塞尔 (Bessel)函数问题以及本征函数问题，实际求解瞬时温度分布和温度响应仍然是比 较繁杂和困难的;而目前处理非稳态导热问题时的采用的集总参数方法仅适用于 Bi1时一般采用对数坐标下建立的Heisler图线法，误差较大h】。拓宽传统的非稳态导热集总参数方法,提出在0Bi0时,m仅仅是Bi的函数，当Bi 一定时，则m取值也一定 和时间

6、t无关。表面温度系数m在t =0处是不连续的。将m=T 代入式(5)，贝UpV： =hsmT- f (7)d0引进过余温度0 =T-T，则上述相应的微分方程及初始条件为0 hs mdT (8) t = 0,0 X 0时,若Bi 一定，则取值亦确定并且为一常数。因而取时间t 0 0,式(10)右端一项中j mdT=j mdT + j mdT = mt ）+t = mT + G 一 m）(11)0 % 0由式（10）和（11）求得ln 0 =i- ImT + G 一 mL （12）V或者0=0 eU+(1m)c0(13) 采用无量纲平均温度形式有0=2 = f = e-SB （mF。+ n） =

7、e -S.B.M(14)0 t t i i 0 i i e上式即为所求的平均温度集总参数关系式。式中，s i是形状因子，由hSmT = SBmF给出，对于无限大平板、无限长圆柱、圆球体，其形状因子分别为: cp i i 0VSi=1,2,3；式中:n = t 0 （1 一 m） M =mF + n （15） 对于温度分布不均匀的物体，能代表其瞬时能量水平的应当是其瞬时平均温度，而 平均温度响应是其特征温度响应,关系式(14)中的Me是这种特征温度响应的无量 纲时间数,因而本文定义Me是非稳态导热的特征无量纲时间数，简称特征时间数。 由关系式(6)可见,m是平均温度过余温度和表面温度过余温度的瞬

8、时比值,本文定 义m是非稳态导热的表面特征温度系数，简称表面温度系数。从关系式(14)可见, 表面温度系数在非稳态导热过程中起着举足轻重的作用。对于非稳态导热物体的 平均温度响应一般不能以F0为无量纲时间数，应以特征时间数Me代入.只有当B 1时,方程式(14)才退化为传统的集总参数关系式O = e-eBF。,对于B 1时, 物体的温度分布趋于均匀一致的理想化情况,m=1,n=0的物理意义是十分明显的, 传统的集总参数温度趋于一致的理想化情况是本文方法中的一种特殊情况。决定 m,n的取值规律是描述平均温度响应的关键的问题。2平均温度集总参数法辅助参数确定无限长圆柱在对流边界条件其数学模型为13

9、 区 +1 艾=1 空 G 0,0 r 0.25时,用第一项已足够精确0= 2J1J邮-uf(21)* J2 如)+ J2 如 P上式中的un由下述特征方程决定J 0 (u)= uJ1 uB i这个超越方程的J0。)和J0)同式(20)中，分别是零阶和一阶第一类衰减震荡贝 塞尔函数。利用上述平均温度定义，对于无限长圆柱其无量纲平均温度为0 = j02兀rdr = 2jX0dX(22) 兀R 2 00将式(20 )代入上式并积分求得无量纲平均温度为。=# JfeUi 书 F0(23)n=1 n 0 n 1 n由于上式是一个迅速收敛的级数，当F0 0.25时，取上述第一项已足够精确，于是简化式(2

10、3)为。=JJnK。(24)10111以 D1 = . J (/J J )简化上式为 1011 L0 = D2 J1(U1)e-u2f0 (25) u1以指数形式表达上式,则平均温度为0 = e-叱。+lnJ)(26)料2112B 一23 ii-2 Be 注意到前述关系式(14)，进一步变化式(26)为0 =对照式(14)，表面温度系数m和辅助参数n分别为m =衅,n LlnDy (28)2 B2 B 七式(28)表明表面温度系数m和辅助参数n仅仅是Bi的函数，而和时间无关。当Bi 一旦给定，则平均温度与边界面上的温度比值就唯一确定,不随时间而变。这一结 果为处理非稳态导热的平均温度集总参数分

11、析方法带来方便。本文利用计算机求 上述m, n数值,对于公式中的n数值n=-嘉in 四 2 l 24出 2 q(29) i 10111由于存在0阶和1阶第一类贝塞尔函数，求贝赛尔函数值时，当级数项震荡衰减全前n项数和的10 -6时，舍去不计，表1是计算机算出的m，n数值-6。表1无限长圆柱均温集总辅助参数值表BimnP0. 010 00. 996 90. 000 11. 005 00. 020 00. 995 00. 000 21. 010 00. 040 00. 989 80. 000 41. 020 10. 060 00. 985 00. 000 61. 030 20. 080 00. 9

12、80 10. 000 81. 040 40. 100 00. 975 50. 001 01. 050 60. 150 00. 963 40. 001 51. 076 40. 200 00. 951 70. 002 01. 102 50. 300 00. 928 80. 002 91. 155 50. 400 00. 906 50. 003 81. 209 60. 500 00. 885 10. 004 61. 264 80. 600 00. 864 30. 005 31. 320 90. 700 00. 844 40. 006 01. 378 20. 800 00. 825 10. 006 7

13、1. 436 40. 900 00. 806 40. 007 31. 495 41. 000 00. 788 50. 007 91. 555 41. 500 00. 707 50. 010 31. 866 62. 000 00. 639 50. 011 92. 194 23. 000 00. 533 20. 013 52. 885 54. 000 00. 455 10. 013 93. 608 75. 000 00. 395 90. 013 74. 352 16. 000 00. 349 90. 013 25. 10947. 000 00. 313 10. 012 75.875 88. 000

14、 00. 283 20. 012 16. 649 09. 000 00. 258 40. 011 57. 428 310. 000 00. 237 50. 010 98. 210 915. 00000. 168 90. 008 612.157 120. 000 00. 130 90. 007 116. 121 030. 000 00. 090 20. 005 124. 089 840. 000 00. 068 80. 004 032. 085 750. 000 00. 055 60. 003 340. 059 660. 000 00. 046 60. 002 848. 099 580. 000

15、 00. 035 30. 002 264. 191 3100. 000 00. 028 30. 001 780. 116 43圆柱外表面、轴心及柱体任一位置无量纲温度的确定比较式(24)和式(21),可以求得平均温度和瞬时温度分布的关系,即0 = 2 Ji DJ J R)e-畋。叩星R) i o i4曰2 J (*,C求得：0 =-i 0 (30)日J川R)01亦即： 0 = 气匕 9代)0 (31)J1呻圆柱外表面无量纲温度的确定当X=1时，即在外表面上瞬时温度为气广 J0 (32)11根据本征方程有% =已(33) 匕)B则式(32)变为0=上上0(34)X =12 Bi利用前述表面温度系

16、数的定义,此处求得表面温度系数的表达式为日2日jS )心m =1 = 1 0 1、(35)2 B2 J1 呻因而式(34)变为0 x1 = m0(36)圆柱轴心处无量纲温度的确定在轴线上，无量纲坐标X=0，轴心处的无量纲温度为。二m。X =02 J A )11利用本征方程式(21),并注意到0阶第一类贝塞尔函数J(0)= 1,因而有 00X =0= 0 =已-1 0 =+0 (37)2 J W )2 BJ 川)2 BJ W )11i 01i 011将表面温度系数代入上式,并简记JG= P，则式(37)变为 010 x 0 = p0 x 1(38)0 = mpJ(M R焰(39)01可以变换为、

17、圆柱任一位置无量纲温度的确定 将本征方程式(21)再代入式(31),则有0 = J .2mB - R&= J ( 2mB - Rpm0(40)0iR =00i其中pm为特征轴线温度系数.非稳态导热的平均温度集总参数分析方法的辅助参数值已在列表中给出。综上所 述，对于无限长圆柱，在对流边界条件进行非稳态导热时，可以利用式(14)、(36)、 (38)、(40)简洁地计算出平均温度响应，圆柱任一空间位置的瞬时温度。从表1中 可以看到表面温度函数的取值规律，当Bi增大时,m值减小,非稳态导热问题由外 部问题转化到内部问题，即变成恒定壁面的第一类边界情况。4结论提出无限长圆柱非稳态导热的平均温度集总参数分析方法，建立了平均温 度响应关系式及圆柱体特殊位置的温度分布关系；提出特征温度响应时间数，表面温度系数概念，并且给出了拓展的集总参数 法m、n、p参数值表，从而给出较为完善的计算非稳态导热的实用简洁公式；公 式的适用条件与传统的集总参数法相同，即适用于对流换热边界条件下的非稳态 导热。参考文献：Heisler M P. Temperature Charts for Induction and Constant-Temperature HeatingJ. Tr