大学微积分课件(幻灯片版)

1、定积分第一节 定积分的概念与性质1abxyoA ?曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、 x轴与两条直线x a 、 x b所围成.实例1 （求曲边梯形的面积）一、问题的提出y f ( x)2abxyxoabyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）3曲边梯形如图所示，在区间a,b内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,oaxi 1i xixn1 bxyx1把区间a,b 分成 n 个小区间 xi 1 , xi ， 长度为 xi xi xi 1;在每个小区间 xi 1 , xi 上任取一点

2、 ，i以 xi1 , xi 为底，f (i ) 为高的小矩形面积为Aif (i )xi4nA f (i )xii1当分割无限加细, 记小区间的最大长度 或者( x )x maxx1 , x2 ,xn 趋近于零 ( x 0或者 0) 时，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为 A lim f (i )xin 0 i 15实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时间间隔 T1 ,T2 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通

3、过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值6（1）分割T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2ti ti ti1si v( i )ti部分路程值某时刻的速度（2）求和ns v( i )tii 1 maxt1 , t2 , tn （3）取极限s limv( i )tin 0 i 1路程的精确值7定义 设函数 f ( x) 在a, b上有界，在a, b中任意插入记 x maxx1, x2 , xn，如果不论对a, b若干个分点a x x x x x b012n1n把区间a, b分成n个小区间，各小区间的长度依次为xi xi xi 1 ，(i 1,2,)，在各小区间上任取一点i （i xi ），作乘

4、积 f (i )xin并作和S f (i )xi ，i 1(i 1,2,)二、定积分的定义8怎样的分法， 也不论在小区间 xi1 , xi 上a积分下限f ( x)dx I lim f (i )xibn 0 i1被 积 函 数被 积 表 达 式积 分 变 量a,b 积分区间点i 怎样的取法，只要当 x 0 时，和S 总趋于确定的极限I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x)在区间a, b上的定积分， 记为积分上限积分和9注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.abbf ( x)dx af (t )dt af (u)dub（2）定义中区间的分法和i 的取法是任

5、意的.（3）当函数 f ( x) 在区间a, b上的定积分存在时，称 f ( x)在区间a, b上可积.10当函数 f ( x) 在区间a, b上连续时，称 f ( x)在区间a, b上可积.定理1定理2设函数 f ( x) 在区间a, b 上有界，且只有有限个第一类的 间断点，则 f ( x)在区间a, b上可积.三、存在定理11f ( x) 0,af ( x)dx Ab曲边梯形的面积f ( x) 0,af ( x)dx A曲边梯形的面积的负值bA1A2A3A4A4A2 A3f ( x)dx A1ba四、定积分的几何意义12几何意义：它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线

6、x a, x b 之间的各部分面积的代数和 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号13例1 利用定义计算定积分xdx.102解 将0,1n等分，分点为x i ，(i 1,2, n)ni小区间 xi1 , xi 的长度xi取i xi ，(i 1,2, n)，(i 1,2, n)n1n f (i )xii 1 ixii 1n2xx ,i 12i in14ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n xdx102xiin 0 i1 lim2n lim 1 1 1 2 1 1 .n n 6 315五

7、、定积分 的性质16证a f ( x) g( x)dxnb lim f (i ) g(i )xi 0 i1 lim f (i )xi lim g(i )xinn 0 i1 0 i 1 af ( x)dx a g( x)dx.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）bbbbb性质1 a f ( x) g( x)dx af ( x)dx a g( x)dx.17a kf ( x)dx k af ( x)dxk(bb为常数).证a kf ( x)dx lim kf (i )xibn 0 i 1 lim k f (i )xinni1 0 k lim f (i )xi 0 i 1 k af ( x)d

8、x.b性质218abcbf ( x)dx af ( x)dx cf ( x)dx .补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.例 若a则a b c,cf ( x)dx af ( x)dx b f ( x)dxcbabf ( x)dx af ( x)dx b f ( x)dxcccb af ( x)dx cf ( x)dx.（定积分对于积分区间具有可加性）性质3假设a c b19性质4 1 dx badx b a .ba则af ( x)dx 0.b(a b)证f ( x) 0,f (i ) 0,(i 1,2, n) xi 0,n f (i )xi 0,i 1 maxx1 , x2 ,

9、xn i in 0 i1f ( )x limf ( x)dx 0.ba性质5如果在区间a, b上 f ( x) 0，20例 1比较积分值edx 和x20 xdx 的大小.20解令 f ( x) ex x,x 2, 0f ( x) 0,(ex x)dx 0,02edxx20 xdx,02于是 edxx20 xdx.20可以直接作出答案21性质5的推论：（1）如果在区间a, b上 f ( x) g( x)，证f ( x) g( x),g( x) f ( x) 0,a g( x) f ( x)dx 0,a g( x)dx af ( x)dx 0,bbb于是f ( x)dx bbag( x)dx .a

10、则f ( x)dxg( x)dx .(a b)bbaa22f ( x)dx f ( x)dx.(a b)baab证 f ( x) f ( x) f ( x),f ( x)dx,f ( x)dx f ( x)dx babbaa 即f ( x)dx f ( x)dx.baab说明： | f ( x)|在区间a, b上的可积性是显然的.性质5的推论：（2）23设M 及m分别是函数证a m f ( x) M ,a mdx af ( x)dx a Mdx,bbbm(b a) f ( x)dx M (b a).ba（此性质可用于估计积分值的大致范围）曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间则m(b a) f (

11、x)dx M (b a).bf ( x)在区间a, b上的最大值及最小值，性质624解f ( x) ,sin xxx2x2f (x) x cos x sin x cos x( x tan x) 0 x , 42f ( x)在,上单调下降,42故 x 为极大点， x 为极小点,42例2不计算定积分 估计 的大小dxx sin x242424Mf ( ) 2 2 ,m f () 2 ,42b a ,244 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2 .x 2x25证性质7（Th5.1 定积分第一中值定理）如果函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，则在积分区间a, b上至少存在一

12、个点 ，f ( x)dx Mb am ba1 m(b a) f ( x)dx M (b a)ba由闭区间上连续函数的介值定理知使af ( x)dx f ( )(b a).(a b)积分中值公式b26在区间a, b上至少存在一个点 ，使f ( x)dx, 1 f () b abaf ( x)dx f ( )(b a).ba(a b)积分中值公式的几何解释：在区间a, b上至少存在一xoab个点 ，使得以区间a, b为即yf ( )以曲线 y f ( x)底边，为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形的面积。27Th5.2(推广的积分第一中值定理）如果函数 f ( x),

13、g(x)在闭区间a, b上连续，且 g(x)在闭区间a,b上可积且不变号,则在积分区间a, b上至少存在一个点 ，使f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx当g(x) 1时,即为Th5.1bbaa28六、积分上限函数及其导数设函数 f ( x) 在区间a, b上连续，并且设x 为a, b上的一点， 考察定积分ax xf ( x)dx af (t )dt记 ( x) af (t )dt.x积分上限函数如果上限x 在区间a, b上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在a, b上定义了一个函数，29ax xbxyf (t )dto定理 如果 f ( x) 在a,

14、 b上连续，则积分上限的函数( x) f (t )dt 在a, b上具有导数，且它的导xa数是f (t )dt f ( x)(a x b) ( x) dx d xa证 ( x x) xxa ( x x) ( x) af (t )dt af (t )dtxx x( x)x( x) af (t )dt.x30 x x xbf (t )dtf (t )dt f (t )dt xaxxxxa xf (t )dt,xx由积分中值定理得 f ( )xx 0, x f ( ),xlim limf ( )x0 x0 x( x) f ( x).o x, x x,axy( x)31计算下列导数t 2etttcos

15、xxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)32补充如果 f (t ) 连续，a( x) 、b( x) 可导，则F ( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为b( x )a ( x )证F ( x) f (t )dta( x )b( x )00f (t )dt 0b( x ) 0f (t )dt,a ( x )F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)f (t )dtf b( x)b( x) f a( x)a( x)F ( x) dxb( x )a( x )d33例1求 limx0.21cos x2xedtt解et d 1cos x2

16、dt dxdt,cos xt 21edx d (cos x)cos2 x e, sin x ecos2 xx21cos xlimx02dtet2x2sin x ecosx limx0. 1 2e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.34定理2（原函数存在定理）如果 f ( x) 在a, b上连续，则积分上限的函数( x) 原函数.f (t )dt 就是 f ( x) 在a, b上的一个xa定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.35定理 3（微积分基本公式）如果F ( x)是连续函数 f ( x) 在区间a, b上b的一个原函

17、数，则f ( x)dx F (b) F (a).a又( x) f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,xa已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数， F ( x) ( x) Cx a,b证七 牛顿莱布尼茨公式36令x aF (a) (a) C , (a) af (t )dt 0aF (a) C ,f (t )dt F ( x) F (a),xa F ( x) f (t )dt C ,xa令 x bf ( x)dx F (b) F (a).ba牛顿莱布尼茨公式37f ( x)dx F (b) F (a) F ( x)ba微积分基本公式表明：一个连续函数在区间a, b上的定积分等

18、于 它的任意一个原函数在区间a, b上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.b a注意当a b时，f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.ba38例4求2 (2cos x sin x 1)dx.0原式202sin x cos x x 3 .2f ( x)dx.例5设 f ( x) , 求 2 x0 x 151 x 220解解12f ( x)dx 0f ( x)dx 1f ( x)dx02在1,2上规定当 x 1时， f ( x) 5 ,原式 0 2 xdx 1512dx 6.xyo1239例6求maxx, x2 dx.22解由图形可知f ( x) maxx, x2 x2 2 x 0

19、 x0 x 1,1 x 22xdx 0 xdx 1x dx原式 0 x22122.2 112xyoy x2y x1 240设 f (x) Ca,b, 且 F(x) f (x),则有1. 微积分基本公式a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a)b积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式41定理假设（1） f ( x) 在a, b上连续；（2）函数 x (t )在 , 上是单值的且有连续 导数；（3）当t 在区间 , 上变化时， x (t ) 的值 在a, b上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，则 有f (t ) (t )dt .f ( x)d

20、x ba八、换元公式42证设F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，f ( x)dx F (b) F (a),ba(t ) F(t ),(t ) dF dxf ( x)(t )f (t )(t ),dxdt(t )是 f (t ) (t )的一个原函数.f (t )(t )dt () (),43 ( ) a、 ( ) b ,( ) ( ) F ( ) F ( ) F (b) F (a),f ( x)dx F (b) F (a) ( ) ( )ba f (t ) (t )dt.注意当 时，换元公式仍成立.44应用换元公式时应注意:（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也 相

21、应的改变.（2）求出 f (t ) (t )的一个原函数(t )后，不 必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.452cos5 x sin xdx.0例1计算.xln xe 43edx例2计算46例1计算cos5 x sin xdx.202225cos5 xd (cos x)00cos6 x0cosx sin xdx (0 1) 1 .666 解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。473 1 )42 2( 2ln xln xd ln xxln xe 4e 4ee dx 例2

22、计算 解原式3e 4e33.xln xe 43edx48例3 计算 3解2xdx49三角代换和根式代换50例4计算解12x1 x122dx.1令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt dt cot t (cot cot ) (0 3) 3 2 6 明显换元51例 5 当 f ( x)在a, a上连续，且有 f ( x)为偶函数，则af ( x)dx 20f ( x)dx；aa f ( x)为奇函数，则af ( x)dx 0.a证f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,0a0aa

23、a在a0f ( x)dx 中令x t ,52af ( x)dx af (t )dt 0f (t )dt,00a f ( x)为偶函数，则f (t ) f (t ),af ( x)dx 0f ( x)dxf (t )dt;f ( x)dx aa 0a 20a f ( x)为奇函数，则 f (t ) f (t ),af ( x)dx af ( x)dx 0f ( x)dx 0.a 0a在a0f ( x)dx 中令x t ,53奇函数例6计算解2 x x cos x dx.1 1 x2112原式 11 1 x2122 xdx 11 1 x21x cos x dx偶函数 40dx1 1 x2 40(1

24、 12 x 01 (1 x2 ) 41x (1 1 x ) dx221 x)dx 4 4121 xdx102 4 .单位圆的面积54总结：1、定积分公式2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换 元要换上下限4、 介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数55例 7若 f ( x) 在0,1上连续，证明（1）f (sin x)dx f (cos x)dx;2200（2） 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx .20由此计算0 1 cos2 x x sin x dx .证（1）设 x t2 dx dt,x

25、 0 t ,2x t 0,25620f (sin x)dx fsin t dt 02220f (cos t )dtf (cos x)dx;20 x t257（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0,0 xf (sin x)dx ( t) f sin( t)dt0( t) f (sin t)dt,0由此计算 0 1 cos2 x2 00 xf (sin x)dx f (sin x)dx x sin x dx设58xf (sin x)dx 0f (sin t)dt0 tf (sin t)dt 0f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,f (sin x)dx.2 0 xf (

26、sin x)dx 00 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2 x 1 d(cos x) arctan(cos x)02.42) ( 244059avdu.定积分的分部积分公式九、分部积分公式设函数u( x) 、v( x) 在区间a, b上具有连续导数，则有udv uvb abb a推导uv uv uv, (uv)dx uv ,baba uvdx uvdx,baabb auv udv uv vdu.bababa60例计算解ln xdx.1e61例2计算arcsin xdx.120解令u arcsin x,dv dx,du dx ,

27、1 x2v x,120arcsin xdx x arcsin x120 xdx 1 x2120261 1 d (1 x2 )1 x120212 1 x121202 1.122 3则62例3计算解xe dxx10例4 计算 x cos xdx1063例5计算解1edxx2ln x64一、无穷限的广义积分定义 1设函数 f ( x) 在区间a,) 上连续，取b a，如果极限 limbb af ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无穷区间a,) 上的广义积分，记作af ( x)dx .af ( x)dx limbb af ( x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，

28、称广义积分发散.第四节 广义积分65类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b 上连续，取a b，如果极限 limabaf ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无穷区间(, b 上的广义积 分，记作f ( x)dx .bbf ( x)dxlimab af ( x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.66设函数 f ( x) 在区间(,) 上连续,如果0广义积分 f ( x)dx 和 0f ( x)dx 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间(,)上的广义积分，记作f ( x)dx .0f ( x)dx f ( x)dx

29、 0f ( x)dxablim0af ( x)dx limb0f ( x)dx极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.67例1 计算广义积分解 1 sin 1 dx.22x x2 1 sin 1 dxx x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0 0 12 limcos 1 cosxxlimF (x) F (a)x F () F (a)f (x)dx F (x)aa简记为68例1 计算广义积分.1 x2dx解 1 x2dx 1 x20dx 01 x2dx1 x0 1 limdx lima2a0 1 x2bb 1 dxarctan x0limaabarctan xb0li

30、m lim arctana lim arctanb ab .2 2 69例 3 证明广义积分11dx 当 p 1时收敛，x p当 p 1时发散.证(1)p 1,1 1 dx x p1 1dx ln xx1 , ,p 1(2)p 1,1 1 dx xp1 p1 x 1 1 p, p 1 p 1因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ；p 1当 p 1时广义积分发散.70 o, iiJy$y()dbbo+cb/(z)dz71,y( d .:i a.aJ(z) dz-J-J(z) dz72Acr BUX if. 4STJ1. i*J1 I;-,;y,pJb/(,)dp2 z 4z 731 11 2

31、1174f= o i l y r-s jk.r yG& GT *fJ 5.7pa l e*dx( o0)75ti5.8e 2z176回顾曲边梯形求面积的问题A af ( x)dxb第五节、定积分应用曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b所围成。abxyoy f ( x)771、几何上的应用78面积79ax x dxbxyoy f ( x)A lim f (i )xi n 0 i 1abf ( x)dx a f ( x)dx.bdA面积元 素80一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积

32、为 A ,则dA f (x) dxA f (x) dxbaOaxbxyy f (x)x dxyby f2 (x)xay f1(x)Oxx d x f (x) f(x) dxA 右图所示图形，面积元素为dA f1(x) f2 (x)dxba1281xyoy f ( x)axx xbxyoy f1 ( x)y f( x)2ab曲边梯形的面积A abf ( x)dx曲边梯形的面积A a f2 ( x) f1 ( x)dxbxx82f1 (x) f2 (x) dxA baybxa x x d xy f2 (x)y f1(x)Oc f (x) f(x)dxca12 f(x) f (x)dxbc21A (

33、 y) ( y) dydcy d yyOx ( y)xy d x ( y)cdA | f1(x) f2 (x) | dx有时也会选 y 为积分变量dA | ( y) ( y) | dy83例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和y x2 所围成的 图形的面积.解（1）作图（2）求出两曲线的交点(0,0)(1,1)（3） 选 x 为积分变量x 0,1A (x x2 )dx 101x3 3 03223x.13y x2x y2（4）代公式 A a f2 ( x) f1 ( x)dxb84例 2计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积.解两曲线的交点 y2 2 x y x 4 (2,2), (8,4).选 y 为积分变量y 2, 4dA y 4 y dy22 A dA 18.42y2 2xy x 485解题步骤：(1)画出草图；(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。86Ox x d x ayb例3. 求椭圆解: 利用对称性 ,有 d A y dx所围图形的面积 .A 40y d x 4b0a利用椭圆的参数方程x a cos t(0 t 2 )y b sin t应用定积分换元法得 4ab 202sint dt 4ab 2 2 ab1 当 a = b 时得圆面积公式x1 aaxd x287二、