数系的产生与发展

1、“数学文化”课程论文数系的产生与发展（03012112 霍晓东）摘要：数系的产生与发展是一段曲折而又精彩的历史，从扳手指，刻木痕到系统 化的数基，这一发展历程中虽然遇到了智力和物质上的双重困难，然而数的表示 却逐渐趋于科学与实用。Abstract: The development of the number system is a hard but wonderful history. From using fingers to systematized number base, people met with both mental and material difficulties, bu

2、t the way to express numbers became more scientific and practical.关键词：数基，简单分群数系，乘法分群数系Keywords: number base, simple grouping system， multiplication grouping system.一、引言数的概念和计数方法在现代数学中可以说是大家的共识，它们为数学的发展奠定了必不 可少的基石，同时使得数学得以通过简明扼要的方式广泛传播。然而这些现在看来基本得不 能再基本的概念在其产生和发展过程中却经历了许许多多，对这一过程的探索是一件十分繁 琐同时也十分有趣的事情

3、。考古学家提供的证据表明，人类远在50 000年前就采用了某种记数方法，我们有相当 的理由说，人类在最原始的时代就有数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加几个或从 中取出几个时，能够辨认其多寡。或许最早的计数方法是使用简单算筹以一一对应的原则来 进行的：扳手指，集攒小石子或小木棍，在土块或石头上刻道道，在木头上刻槽，或在绳上 打结。当需要进行更广泛的记数时，就必须将记数的方法系统化，各种我们现在称之为数基的 东西便在不同的地域不同时间以不同的方式产生。五进制即以5为基的数系，是最初用的很 广泛的记数法，德国农民日历直到1800年还以5为数基；也有证据表明，在有史以前12 曾被用作数基，即采用

4、十二进制，例如，1英尺是12英寸，钟有12个小时，一年有12个 月，一打是12个，一箩是12打；二十进制也曾被广泛使用，它使人想起人类的赤脚时代， 法语中用quartevingt（四个20）代替huitante（80），英国人也常用score（20）这个词；古 代巴比伦人用六十进制，即以60为基的数系，直到现在，当以分、秒为单位计量时间和角 度时，仍被使用。除了 口头说的数以外，手指数在一个时期曾被广泛使用。手指数有超脱语言上差异的好 处，但是它和口头说的数一样，缺乏持久性，并且不宜用于计算。前文已经说过：早期用记 号或刻痕作为记数的方法，这种方法也许就是人类书写数的最初尝试。无论如何，各种各

5、样 的书写数系，就是为了把数目永久记录下来逐步发展起来的。迷自帕奇欧里的摘要c 1494 ） o前两列表示左手,后商列表示右手-二、分类现在，我们来谈谈早期数系的简单分类问题。最早发展的一类数系可能就是简单分群数系。在这样的数系中，选取某个数b作为数基； 并且，采用一些符号来代表1，b，b2, b3等。于是，任何数都可以通过把这些符号加法的 相结合来表达，而每一个符号常常更重复需要的次数。简单分群数系，还在公元前3400年 埃及象形文字中就有了，后来由此衍生出僧侣体和民用体，但它们不属于简单分群型。早期 巴比伦人通过用一支硬笔把碑文压进湿的黏土书板中形成楔形文字，再将书板晒干，使其坚 硬耐久，

6、便于长期保存。雅典人或黑罗迪人的希腊数系，是在公元前3世纪以前发展起来的， 它们构成一种由数字名称的头一个字母组成的以10为基的简单分群数系。一个简单的分群数系演变成乘法分群数系。在这样的数系中，在选定基数b之后，用一 组符号表示1，2,，b-1，再用第二组符号来表示b，b2, b3,。这两组符号用乘法结合 起来，表示需要多少个更高级的群。传统的中国-日本数系就是以10为基的乘法分群数系。在一个字码数系中，选定一个基数b以后，要采用若干组符号表示1，2,，b-1； b， 2b，（b-1）b； b2, 2b2,，（b-1）b2等。虽然，在这样一个数系中，要记许多符号，但 数的表示很紧凑。所谓爱奥

7、尼亚人的（即用字母表示）希腊数系，就是字码数系。它可以追 溯到公元前450年左右。这个数系以10为基，用了 27个文字一一24个希腊字母和表示已 作废的digamma （迪盖马）koppa （考帕）sampi （桑皮）的符号。那24个希腊字母在现代 数学中仍广泛使用，比如：a，B, Y等等。此外，埃及僧侣体和民用体用的，科普特人的， 印度婆罗门教的，希伯来人的，苏里安人的和早期阿拉伯的数系也是字码数系。后三种数系 和希腊爱奥尼亚人的数系一样，是用字码写成的数系。我们现在所用的数系就是以10为基的定位数系。这种数系，是在选定数基b之后，采 用一些基本符号来表示0, 1, 2,，b-1。因此，在该

8、数系中有b个基本符号，在我们常用 的数系中通常称为数码。任何整数N都能够唯一地写成11=君成+礼1成-1+.+林2+林+30这里，0=axb, i=0, 1，n,于是，在以b为基的数系中，数N用下列基本符号序列来 表示anan-1“a2aia0在任一给定的数字中，一个基本符号表示基的某一幂的倍数；其幂指数决定于基本符号所在 的位置。困难今天用于初等算数中的许多计算模式，例如，进行长乘法和长除法的那些计算模式，是 后来在15世纪才发展起来的。为什么进展的如此缓慢呢？通常认为有两个原因，就是在这 项工作中遇到了智力和物质上的困难。智力上的困难并不那么大，只是他们对当时的算法不很熟悉。很清楚，在一个

9、简单分群 数系中运用加法和减法，只要求能够数出各项数目符号有多少，然后把他们转化成更高次的 单位就行了;用不着记住数目的组合。在一个字码数系中，如果记住了足够的加法和乘法表， 就能像今天那样运算了。法国数学家P 唐内里能相当熟练的用希腊爱奥尼亚数系进行乘法 运算，甚至得出了结论：那个数系比起我们现在用的数系来，在某些地方有它的长处。物质上遇到的困难倒是很现实的，不能大量而方便的得到某些适用的书写材料，算术程 序的发展就必然会受到障碍。必须记住:我们常用的机制纸浆纸的历史只有一百多年。过去， 以破布做纸浆的高级纸是手工做的，因而，既昂贵又难得到，而且即使是这种纸也是直到 12世纪才传到欧洲，虽然

10、中国远在1000年前就知道怎么造纸了。四、总结数系是人类智慧伟大的结晶，我们现在所用的以10为基的定位数系虽然不一定是之前 许许多多数系的历史必然发展，但却是其逻辑上的自然产物。数学正是上科学数系的基础上 才逐渐结出灿烂的果实，没有数系，数学便无从谈起。数是数学中的基本概念，也是人类文 明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数 的认识和应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用 的数系，已经构造的如此完备和缜密，以至于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成 为基本的语言和不可或缺的工具。生活在当代的我们，一方面应感激前人对数系的发展作出 的巨大贡献，另一方面也应努力对数系作更加合理的完善和扩充，唯有如此，人类文明才能 蓬勃发展，生生不息！