数值分析实验题( 华科)

1、数值分析实验作业专业: 姓名: 学号:实验2.1多项式插值的振荡现象问题提出:考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数， 次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时， 是极著名并富有启发性的，设区间-1,1上函数显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的Ln(x)是否也更加靠近逼近的函数，Runge给出的例子f (x)=1 + 25 x 2实验内容:考虑区间-1，1的一个等距离划分，分点为i = 0,1,2,., nx =-1 + 生,i n则拉格朗日插值多项式为其中，I.(x)， i=0,1,2,.,n 是 n 次 Lagrange 插值函数。实验要求:选择不断增大的分点数目n

2、=2, 3, .画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在-1，1上的图像， 比较并分析实验结果。选择其他的函数，例如定义在区间-5, 5上的函数，h( x) = x, g (x) = arctan x1 + x 4重复上述的实验看其结果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的为插值点用“*”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的 拉格朗日拟合可以看到，随着插值点的增加，产生Rung现象。(1) f(x)x(3) g(x)+g(x).ajaige（*）rTJJL1多项式求值的振荡现象n=321.50.50-0.5-1-1.5-2-5-4-3-2-1012345xx实验3

3、.1最小二乘法拟合=j最编制以函数xk n为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项 k=0式最小二乘拟合。xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数三1,求拟合曲线甲*=况a*xk中的参数a ，平方误差5 2，并作离散数据x ,y ikki ik = 0的拟合函数y=中*(x)的图形。解：三次多项式的拟合曲线为:y =9 (x) = a + a x + a x2 + a x30123此题中权函数 (x) = 1，即 W=(1,1,1,1,1,1,1)利用法方程ATAa = AtY求解

4、这个方程组，就可以得到系数a。解之得：a0 = 0.54912,% =-3.9683x10-5,a2 =2.9977,a3 = 1.9991故拟合的函数为:y = 0.54912 - 3.9683 x 10-5 x - 2.9977 x 2 + 1.9991x 3,平方误差为：2.176191667187105e-05拟合的函数图像如下：y3次多项式拟合，平方误差=2.1762e-05-1-0.5011.520.5 x实验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性试验试验目的:考察下面的微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响(它可使方程为好条 件的或坏条件的)和研究计算步长对R-K法计算稳

5、定性的影响。实验题目：常微分方程初值问题(y =ay-Ox +1, 0 x 1ty (0) = 1 ,其中，-50a 50。其精确解为y(x) = ex + x实验要求:对于参数a，分别去四个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对 值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长h = 0.01，分别用经典R-K法计算，将四组计 算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。对于参数a为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数ah在经 典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典的R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并 比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明

6、。解:对于4阶R-K法绝对稳定区为：-2.785 X h 0 这里人=a，所以绝对稳定区为：-2.785ah0(1)对于h = 0.01，绝对稳定区：-278.5a 0a21-1-2h0.010.010.010.01(2)对于 a =20，稳定区 0 h 0.1391a-20-20h0.010.15xy （精确解）数值解y1 (a=-20,h=0.01)y1-y数值解y2 (a=-20,h=0.15)y1-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.

7、4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可见h=0.01时，数值解稳定h=0.15时，数值解不稳定。程序源代码function testCharpt2_1%对数值分析实验题第2章第1题进行分析promps=输入f为选择地)；输入h为选择h(x)；输入g为选择g(x);result=inputdlg(

8、promps,请选择实验函数);chooseFunction=char(result);switch chooseFunctioncase ff=inline(1./(1+25*x.A2);a=-1;b=1;nameFuc=f(x);case hf=inline(x./(1+x.A4);a=-5;b=5nameFuc=h(x)case gf=inline(atan(x);a=-5;b=5nameFuc=g(x)end% promps2=n=;% nNumble=inputdlg(promps2，请输入分点数 n);nNumble=2:11for i=1:length(nNumble)x=lin

9、space(a,b,nNumble(i)+1);y=feval(f,x);xx=a:0.1:b;yy=lagrange(x,y,xx)figurefplot(f,a,b,*)hold onplot(xx,yy,LineWidth,2)xlabel(x)ylabel(y)legend(nameFuc,lagrange(x)nameTitle=多项式求值的振荡现象,n=,num2str(nNumble(i)title(nameTitle,FontSize,14);grid on endfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s实现拉格朗日插值%输入参数x, y分别为已知插值点的自

10、变量和因变量%输入参数xx为拟合点的自变量值%输出参数yy为对应自变量xx的拟合值 xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLengthyy(i1)=0;for i2=1:xLengthp=1;for i3=1:xLengthif(i2=i3)p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3);endendyy(i1)=yy(i1)+p*y(i2);endendfunction testCharpt3_1()%对数值分析实验题第3章第1题进行分析%输入参数：自变量x,因变量y%输入参数：多项式拟合次数nclcclearform

11、at longx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x)A=A;1 x(i) x(i)A2 x(i)A3endA2=A*A;a=inv(A2)*A*y%多项式的系数% a=roundn(a,-6)yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3;r=(y-yy)*(y-yy) % 平方误差clfhold onplot(x,y,or);x2=-1:0.01:2;y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.A2+a(4

12、)*x2.A3;plot(x2,y2,LineWidth,2);legend(离散值,拟合曲线)xlabel(x);ylabel(y);title(3 次多项式拟合，平方误差=,num2str(r),FontSize,14);gridonfunction testCharpt5_1%对数值分析实验题第3章第1题进行分析%输入参数：参数a,步长h%精确解和数值解图形对比%第1问输入a=2 1 -1 -2%输入a的取值h=0.01 0.01 0.01 0.01%输入 h 的取值%第2问输入% a=-20 -20% 输入a的取值% h=0.01 0.15%输入h的取值%func=inline(1+(y-x).*a);% 定义函数for i=1:length(a)x=0:h(i):1;%求解区间y=x;N=length(x);y(1)=1;for n=1:N-1k1=func(a(i),x(n),y(n);k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2);k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2);k4=func(a(i),x(n)+h(i),y(n)+k3*h(i);y(n+1)=y(n)+h(i)*(k1