2015年湖南省高中数学竞赛试卷A 【含答案】

1、2015年湖南省高中数学竞赛（A卷）（2015-06-27）选择题（每个5分，共6题）将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C.36D. SKIPIF 1 0 半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 已知数列an和bn对任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1

2、0 ，当 SKIPIF 1 0 时，数列an和bn的极限分别是A和B，则A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D.A和B的大小关系不确定对所有满足 SKIPIF 1 0 的m,n,极坐标方程 SKIPIF 1 0 表示的不同双曲线条数为A.6B.9C.12D. 15使关于x的不等式 SKIPIF 1 0 有解的实数k的最大值是A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素的数为A

3、.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3填空题（每个8分，共6题）已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 对任一实数序列 SKIPIF 1 0 ，定义A为序列 SKIPIF 1 0 ，它的第n项是 SKIPIF 1 0 ，假定序列（A）的所有项都是1，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的值为： 满足使 SKIPIF 1 0 为纯虚数的最小正整数n= .，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 记集合 SKIPIF 1 0 ，将M中的元素按从大到

4、小顺序排列，则第2015年数是： 设直线系 SKIPIF 1 0 ，对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点存在定点P不在M中的任一条直线上对于任意整数 SKIPIF 1 0 存在正n边形，其所有边均在M中的直线上M中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）解答题（共4题，满分72分）（本小题满分16分）如图所示，AB为RtABC的斜边，I为其内心，若IAB的外接圆的半径为R，RtABC的内切圆半径为r，求证： SKIPIF 1 0 .（本小题满分16分）如图，A，B为椭圆 SKIPIF 1 b0)和双曲线 SKIPIF 1 0 的公共顶点，P、Q分别

5、为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足 SKIPIF 1 0 求证：（）三点O、P、Q在同一直线上；（）若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4是定值。（本小题满分20分）已知整数列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，对于正整数n，定义函数 SKIPIF 1 0 ，证明：若存在某个 SKIPIF 1 0 有两个整数零点，则必有无穷多个 SKIPIF 1 0 有两个整数零点。（本小题满分20分）已知 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 。（）经过原点分别作曲线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 。已知两切线的斜率互为倒数，求证： SKIPIF 1 0 （）设 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立，试求