第04讲导数在研究函数性质中的应用及定积分

1、 TOC o 1-5 h z 导数在研究函数性质中的应用（时间：10分钟+35分钟）I基础演练1,函数v=xex的图象在点（1,e）处的切线方程为（）A.y=exB.y=x1+eC.y=2ex+3eD.y=2exe2.已知函数f（x）图象如图41所示，f（x）是f（x）的导数，则下列数值排序正确的是（）图4-1A.0f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(3)0,b0,且函数f(x)=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab最大值等于()A.2B.3C.6D.9提升训练1,函数f(x)=

2、x3+bx2+cx+d的大致图象如图43所示，则x2+x2等于()8A.9B10 16 4图432x3+3x2+1xwo,2,函数f(x)=在2,2上的最大值为2,则a的范围是(eaxx0111,cA.21n2,+8b.0,21n2c,(oo,0d.一00,21n2a2 + b2的取值范围3,已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在区间(1,0)上单调递减，则9A. 4,是()+00B.0,9C.9,+00D.0,14551.设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点2,1对称，则f(1ff(2)f，22+(2。)=.已知函数f(x)=1xex(x0),其中e为自然对数

3、的底数.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线与坐标轴围成的面积；(2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5,求a.已知函数f(x)=alnxx2+1.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4xy+b=0,求实数a和b的值；(2)求证：f(x)w(X寸任意x0恒成立的充要条件是a=2;若a0,且对任意xi、x2C(0,+8),都|f(xi)f(x2)|狗1x2|,求a的取值范围.专题限时集训(四)A【基础演练】D【解析】因为y=ex+xex,所以在点x=1处函数的导数值是yx4i=e+e=2e,所以在点(1,e)处函数图象的切线

4、方程是ye=2e(x1),即y=2exe.B【解析】根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在2,3上的平均变化率f3f2小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率.所以0f(3)3_32f(2)即0f(3f3)-f(2)0,所以f(x)在(1,+8止是增函数.x(2)f=(x2x_a(x0),当xC1,e,2x2-a2-a,2e2-a.x若awz则当xC1,e时，f(x)声所以f(x)在1,e上是增函数，又f(1)=1,故函数f(x)在1,e上的最小值为1.若ae2,则当xC1,e时，f(x)W所以f(x)在1,e上是减函数,又f(e)=e2a,所以f(x)在1,e上的最小值为e2a

5、.若2a2e2,则：当f (x)0此时f(x)是增函数.又a2a a2ln?所以f(x)在1,e上的最小值为2河.综上可知，当aW2时，f(x)在1,e上的最小值为1;当2a；;当ae2时，f(x)在1,e上的最小值为e2-a.【解答】f(x)exx2+(a+2)x+a+2当a=0时，f(x)=(x . C【解析】从函数图象上可知 x1 , x2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特 殊点求出b, c, d,根据函数图象得 d=0,且f(-1) = - 1 + b-c= 0, f(2)=8+ 4b + 2c=0,解得 b=1, c= 2,故 f (x) 3x22x2.根据韦达定理 x

6、2+x2=(x1 + x2)22x1x2=9+：=9.2. D【解析】 当xwo时，f (x)6x2+6x,函数的极大值点是 x = - 1 ,极小值点是 x=0,当x=- 1时，f(x)=2,故只要在0,2上eaxW2即可，即axn2在(0,2上恒成+2)ex,f(x)ex(x2+2x+2),f(1)=3e,f(到5e,，函数f(x)的图象在点A(1,f(1)处的切线方程为y3e=5e(x1),即5exy2e=0.(2)f=(xexx2+(a+2)x+a+2,考虑到ex0恒成立且x2系数为正，f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+20恒成立.1.(a+2)2-4(a+2)0,得x1

7、,令fx)0,得2x0,b0,ab.aba-yb2=9,当且仅当a=b=3时，ab有最大值，最大值为9,故选D.、一ln2.1立，即a在(0,2上恒成立，故agln2.X2C【解析】根据三次函数的特点，函数f(x)在(一1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f(x)=3x2+2ax+b在区间(一1,0)上小于或者等于零恒成立，即32a+bwo且b0,则所以a4.a0.设x1，x2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，则x1+x2=a,x1x2=a,因为f(x1)f(x2)=e5,所以，寸ex1c-x7aex2=e5,2,x1x2ax1+x2+a5八5/口a5即ex+x2=e5,化间得ea

8、=e5,xx2解得a=5,此时f(x)有两个极值点，所以a=5.6.【解答】(1)fa救2x(x0),f(句a 2,又f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a2)xy+2a=0,由已知得a2=4,2a=b,所以a=6,b=4.(2)证明：充分性:2当a=2时，f(x)=2lnxxa的取值范围是 8,-.8+1,此时f(x)一一2x=(x0)xx当0Vx0当x1时，f(x)0),必要性：f(/aZxna2心xxx当awo时，f(x)00f(x)在(0,故0Vx0,与f(x)+8止是减函数，而f(1)=0,w恒成立矛盾，所以awo不成立,x，一,2当a0时，f(x)2x|-x(x0),当0 x0当x一短时，(x)f(1)=0与fWO不符.所以a=2.综上，f(x)w时任意x0恒成立的充要条件是a=2;当a0时，f(x)0.-.f(x)在(0,+8止是减函数，不妨设01|xx2