空间点、直线、平面之间的位置关系专题

1、空间点、直线、平面之间的位置关系专题A组基础题组 TOC o 1-5 h z .已知异面直线a,b分别在平面a , 3内，且a n 3 =c,那么直线c 一定（）A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且/ ABC4 BCD那么直线 AB与CD的位置关系是（）A.AB / CDB.AB与 CM面C.AB与CD相交D.AB/ CD或AB与CD异面或AB与CD相交.已知P是 ABC所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点，若MN=BC=4,PA=43,则异面直线 PA与MN 所成角的大小是（）A.30

2、B.45C.60D.90.如图所示，平面a A平面3 =l,A C a ,B C a ,AB A l=D,C 6 , ,C?l,则平面 ABC平面3白交线是（）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC5.直三棱柱 ABC-AB1G中，/ BCA=90 ,M,N分别是AiB,AiCi的中点，BC=CA=CC则BM与AN所成角的余弦B.C.V3010D. 6.如图，平行六面体ABCD-ABiCD中，既与AB共面又与 CC共面的棱有条.如图为正方体表面展开图的一种，则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有.已知三棱锥 A-BCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD

3、所成的角为60 ,点M,N分别是BC,AD的中点，则异面直线AB和MN/f成的角为.已知空间四边形 ABCM ,E、H分别是边AB，AD的中点，F、G分别是边BC CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线；(2)求证:EG与FH相交.在正方体 ABCD-ABGD中：(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E,F分别为AB,AD的中点，求AC与EF所成角的大小B组提升题组1.在棱长为1的正方体 ABCD-ABQDi中,E、F分别是DD、AB的中点，平面BEF交棱AD于点P,则PE=( )B.C.dT2ab为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜

4、边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB与a成60角时，AB与b成30角;当直线 AB与a成60角时，AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45 ;直线AB与a所成角的最大值为60。.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号).如图，在二棱锥 P-ABC中,PA，底面 ABC,D是 PC的中点.已知 / BAC=,AB=2,AC=2 v3,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形 ABCM在的平面垂直，AD，CD,ADL ED,AF/ DE,AB/CD,CD=2AB=2AD=2ED=x

5、AF.若四点F、B C、E共面,AB=a,求x的值;(2)求证：平面CBEL平面 EDB.答案精解精析A组基础题组.C 若c与a,b者B不相交，则c与a,b都平行，此时a / b,与a,b异面矛盾.D 若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若三条线段不共面，则直线AB与CD是异面直线.1_ _1.A 取AC的中点 O,连接OM,ON则ON APQNAPQM/ BC,OM=BC,所以异面直线 PA与MNI成的角为 / ONM或其补角），在 ONMfr ,OM=2,ON=2v3,MN=4,由勾股定理的逆定理得 OML ON,则/ ONM=30 .故选 A.C 由题意知，D C l,l ? 3

6、 ,所以DC 3 ,又DC AB,所以DC平面ABC,所以点D在平面ABC与平面3的交线上.又 CC 平面 ABC,CC 3 ,所以点C在平面ABC与平面3的交线上，所以平面AB6平面3 =CD.C 取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM/ QN,则/ ANQ域其补角）即为所求，设 BC=CA=CC2,贝U AQ=/5,AN=v5,QN= v6,/ .？?？+N?2-A?2 cos/ ANQ=? 2? ?5+6-56v302V5-xv6 2v3q 10 ,故选C.答案 5嚷解析 与AB和CC都相交的棱有 BC;与AB相交且与CC平行的棱有 AA,BBi；与AB平行且与CC相交的棱有CD,CD

7、.故符合条件的有 5条.。答案 3嚷解析 将展开图还原为正方体，如图所示，显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GHffi交,CD与EF平行,故互为异 面直线的有3 X.。答案 60或30。解析如图，取AC的中点P,连接PM,PN,11 .则PM/ AB,且PM=1AB,PN/ CD,且PNCD,所以/ MPN或其补角）为异面直线 AB与CD所成的角，则/ MPN=60 或/ MPN=120 .因为PM/ AB,所以/ PMN或其补角）是异面直线AB与MN所成白角.若/ MPN=60 ,因为AB=CD所以PM=PN,则 PMN等边三角形，所以/ PMN=

8、60 ,即AB与MN所成的角为60 .若/ MPN=120，则易知 PMN等腰三角形，所以/ PMN=30，即AB与MN所成的角为30 .综上，异面直线AB和MN/f成的角为60或30 .9.。证明（1）假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为a ,则B,C,A,D a , 所以四边形 ABC阴平面图形，这与四边形ABCM空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线.（2）如图，连接 AC,BD,EF,FG,GH,EH,则 EF/ AC,HG/ AC,因此 EF/ HG,同理,EH II FG,则四边形 EFGHW行 四边形.又EG FH是平行四边形 EFGH勺对角线，则EG与FH相交.10.2

9、解析（1）如图所示，连接BC,AB1,由ABCD-AB1C1Di是正方体，易知AD/ B1C,从而/ B1CA（或其补角）就是AC与A1D所成的角. AB=AC=EBC,/ BCA=60 .即AD与AC所成的角为60(2)如图所示，连接BD,在正方体 ABCD-ABiCD中,AC，BD,AC/ AC,BD AG, E,F分别为AB,AD的中点,EF/ BD,EF AC,EF AG,即AC与EF所成的角为90 .B组提升题组.D 过点C作CiG/ BF,交直线CD于点G,过点E作HQ/ CG,分别交CD的延长线、CD于点H、Q,连接1，故选D. 6BiQ,HF,交AD于点P,易知HQ/ BiF,

10、所以Q H F、Bi四点共面，易求得HD=DQ=1,由 PDH PAF可得 4? ?1,两=两=2,则 PD=3, 在 RtPED中，PE=. *答案爆解析 过点C作直线ai / a,b i / b,则直线AG ai、bi两两垂直.不妨分别以ai、bi、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，取ni=(i,0,0)为ai的方向向量，n2=(0,i,0)为bi的方向向量，令A(0,0,i).可设1B(cos 0 ,sin 0 ,0),则？?？?(cos 0 ,sin 0 ,-1).当直线 ABj a成 60 角时，|cos|=空 /. |cos 0|= t，|sln0 |=2,|cosn

11、2, ?|=2,即 AB与 b 所成角也是 60 . / |cosn 1, ?=覃，咚?1w,直线AB与a所成角的最小值为 45。.综上，和是正确的，和是错误的.故填.。解析 （1）因为PA1底面ABC,所以PA是三锥P-ABC的高.又Saab=2x 2X 2v3=2v3,所以三棱锥P-ABC的体积为 V犷ABC- P*X23X Z中.（2）如图，取PB的中点E,连接DE,AE,则ED/ BC,所以/ ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角易知 PB=2v2,PC=4,BC=4,贝在 ADE中,DE=2,AE=扬,AD=2,所以 cos / AdJ/yM2= 32X2X2 4故异面直线BC与AD所成角的余弦值为3. 士角军析 （1） AF/ DE,AB/ DC,AFA AB=A,DEH DC=D,平面 ABF/平面 DCE.又四点F,B,C,E共面，FB/ CE,可知 ABF DCE. AB=a, ED=a,CD=2a,AF写?2? ?由相似三角形对应边之比相等得晟市?即盛加所以x=4.（2）证明：不妨设AB=1,则AD=AB=1,CD=2在BAD中,BD=S,取CD中点M,则MDW