九年级数学解直角三角形的应用2讲稿资料

1、解 直 角 三 角 形 的 应 用江宁高级中学 刁一建中考专题复习 一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角； 2 方向角； 3 坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图，根据条件求解。 二、解实际问题常用的两种思维方法： （1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合； （2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。D15例1 要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作RtABC，使C=90，斜边AB=2，直角边AC=1，

2、那么BC= ，tan30= . 在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15的值。请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值。 ACB1230解：延长CB至D，使BD=AB，连结AD，则D=15，tan15= 。ACB1230DEx2例2 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建 _ 阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算； 取1.732） ACB30解：在RtACB中，C=90， BC=ACtan30=9 =3 =5.196 此阶梯的阶数= 26（阶）。 故填上26。 9米AOFBC例3 某市在“旧城改造”中计划在市

3、内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元 h30米20米150解：如图所示，作出此三角形的高h。 则S= ACBDsin（180150） = 3020 =150（平方米） 购买这种草皮至少需要150a元。故选（C）。ABCD例4 在生活中需测量一些球（如足球、篮球）的直径.某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5c

4、m，ABC=37.请你计算出球的直径. (精确到1cm,可用数据:sin37=0.6,cos37=0.8).DEFACB37G解：过A作AGCB,垂足为G,则AG=EF.在RtABG中, sinB= ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.50.6=24.9 25(cm),即EF25cm.答：球的直径约为25cm.例5 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60，树的底部B点的俯角为30。问距离 B点8米远的保护物是否在危险

5、区内？CDBE3060A解：过点C作CEAB于E.在RtCBE中,tan30=BE=CE tan30=在RtCAE中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米） 8(米）距离 B点8米远的保护物不在危险区.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30方向，相距60里的D港驶去。为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数， ）？ 北东DAB30例6 如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的

6、速度由南向北移动，距台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100里。解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则有AC2+AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=10040t，EC=20

7、 ，在RtAEC中，由勾股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。 解得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为1小时。ACEB北南西东解题点拨： 先求出台风抵达D港的时间t，因AD=60，则60t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。 解： 设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。 过D作DFAB，垂足为F，连结DM。 在RtADF中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理

8、，得4t2-26t+39=0 解之，得 台风抵达D港的时间为 小时。 轮船从A处用 小时到达D港的速度为60 25.5。为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时。 DAMB30北东F例7 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米，（1）假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 解题点拨 （1） 作ABMN于B，求出AB，若AB100米，则受影响，若AB100米，则不受影响

9、.MPQNAB30160解（1）作ABMN，B为垂足。 在RtABP中 ABP=90，APB=30， AP=160米， AB= AP=80米 点A到直线MN的距离小于100米。 这所中学会受到噪声的影响。MPQNACDB（2）如图，如果以点A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连结AC、AD，那么AC=AD=100（米）。 根据勾股定理和垂径定理，CB=DB = =60（米）， CD=120（米） 学校受噪声影响的时间t=120米18千米/时= 时=24秒。 解题点拨 （2） 既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪声影响时

10、拖拉机行驶的路程，即以A为圆心，100米为半径画圆A，则A交MN于C、D两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理可求CD。小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决。作业：如图，有一位同学用一个有30角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米。 （1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米， ）； （2）请你设计出一种更简便的估测方

11、法。 30CDBEA如图，客轮沿折线ABC，从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线ABC上的某点E处，已知AB=BC=200海里，ABC=90，客轮速度是货轮速度的2倍。 选择：两船相遇之处E点（ ） （A）在线段AB上 （B）在线段BC上 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)ABCD祝同学们学习进步！ 再见！深圳办公家具厂 深圳办公家具厂 mqv83hnp 谢！耿老爹接着说：“众乡亲们不惜出大力气帮助俺实现这个美好的梦想，俺们不会让大家伙儿白白出力的。大家伙儿谁出了多少工，都做了些什么，俺长女耿英会详细地记载下来的。等咱们的学堂和

12、戏台修建好了以后，俺们就会把所有的工钱，以优惠于常规佣工费用的额度交付给大家伙儿！或者谁想提前支付也行”耿老爹的话还没有说完，耿憨就急着插话了。他大声说：“大哥啊，这造福乡里，有益于子孙后人的大好事儿，你就不要说交付工钱的事情啦！没有人是奔工钱来的啊！”大家伙儿七嘴八舌地说：“就是哇，就是哇，付什么工钱啊，这样的大好事儿，俺们巴不得多干点儿呢！”“就是哇，不要再说付工钱的事情了，只给大家伙儿安排活计就妥了嘛！”耿老爹摆摆手，诚恳地说“不不不，工钱是一定要付的！放心哇，这是修建计划之内的事情，有这一部分银子呢！下面让耿正也说几句哇！”说着话，耿老爹把八仙桌前的讲话位置让给耿正。耿正上前来转着圈儿

13、连连拱手，热情洋溢地对大伙儿说：“该说的话俺爹都说了，俺就不再重复了。这今后哇，就仰仗各位乡亲们多多光照，多多出力了！俺今儿个就在这里，代表全家人先谢过大家伙儿了！”一阵热烈的掌声过后，耿正说：“今儿个是黄道吉日，咱们就来一个简单的破土动工仪式哇！是这样，咱们学堂的大门准备开在大院儿的西南角上。现在啊，大家伙儿只要在咱这周围已经划下的双条围墙线框内随便挖几锨，刨几镐就行了！然后哇，大家伙儿就来这里，把自己家眼下可以抽调出来的人手，让俺大妹妹耿英登记一下，俺好根据咱们现在的人手，组织下一步要做的事儿！”“好嘞！”众乡亲们一声呼应，就四下里散开了，每个人都激动地在围墙线框内挖下了第一锨，刨下了第一镐还有不少人，在挖了和刨了一会儿以后，还意犹未尽地将围墙线框内那些不太平整的地方修整一番董家成和耿憨嘀咕了几句以后，俩人就拿着铁锹在围墙线框内靠近西南角大门位置的一侧比划着挖开了一圈长方形的地基。耿老爹、耿正和耿直陪着设计师傅们在场地周围慢慢地转了一圈，互相交换了一些开始下一步工程的想法以后，就请老师傅们回家去了。父子仨转回身来，耿老爹