数字信号处理离散时间与系统

1、第一章离散(lsn)时间信号与系统共八十六页 一.序列1.信号及其分类(1).信号 信号是传递信息的函数,它可表示成 一 个或几个(j )独立变量的函数。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。(2). 连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。 1-1 离散时间信号(xnho)-序列共八十六页(3). 离散(lsn)时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012共八十六页2.序列 离散时间信号又

2、称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以(ky)用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就表示一序列数,即序列：x(n)。 为了方便，通常用x(n)表示序列x(n)。共八十六页二. 序列的运算(yn sun) 1.移位 当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。共八十六页-1012x(n)11/21/41/8.-2n例：共八十六页1/21/41/81x(n+1)n0-1-21共八十六页 2.翻褶(折迭(sh di) 如果有x(n),则x(-n)是

3、以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。共八十六页例：.-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8.-2n共八十六页3.和 两序列的和是指同序号(n) 的序列值逐项对应(duyng)相加得一新序 列。共八十六页例：x(n)11/21/41/8n-2-1012y(n)1231/21/4-2-1012n 共八十六页-2-10121/43/23/29/425/8Z(n).共八十六页共八十六页4. 乘积 是指同序号(n)的序列值逐项对应(duyng)相乘。共八十六页5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为 即表示(biosh)n

4、以前的所有x(n)的和。共八十六页6.差分(ch fn) 前向差分（先左移后相减）： 后向差分（先右移后相减） ：共八十六页7.尺度变换 （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点(y din)；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n共八十六页（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常(tngchng)，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-10

5、12n。共八十六页8.卷积和 设序列x(n),h(n),它们(t men)的卷积和y(n)定义为 卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。共八十六页例：求：共八十六页解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移(wiy)一个单元，对应序号相乘， 相加 得 y(1)； 3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。 共八十六页x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亚变量(binling)坐标m上作出x(m),h(m)共八十六页01231/213/2m0mh(-m)=h(0-

6、m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移(wiy)1对应(duyng)相乘，逐个相加。共八十六页共八十六页-1012345y(n)n1/23/235/23/2共八十六页三.几种常用(chn yn)序1.单位抽样序列(单位冲激) 1-2-1012n1-2-101mn共八十六页2.单位(dnwi)阶跃序列 u（n）.0123-1nu(n)共八十六页3.矩形(jxng)序列共八十六页4.实指数(zhsh)序列 a为实数，当共八十六页5.复指数(zhsh)序列共八十六页6.正弦(zhngxin)型序列 其中，0为数字频率。共八十六页四.序列

7、的周期性 如果(rgu)存在一个最小的正整数N, 满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期 性序列,N为周期。共八十六页五. 用单位抽样序列表示(biosh)任意序列 1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.共八十六页 例:-3-2-1012345x(n)n共八十六页位移(wiy)加权和n0n0n0(n+3)(n-2)(n-6)共八十六页m01m0 x(m)2. x(n)亦可看成(kn chn)x(n)和(n)的卷积和共八十六页六. 序列的能量(nngling) x(n)的能量定义为 共八十六页1-2 线性移不变系统(xtng)一.线性系统 系统实际上表示对输入(shr)信号的一

8、种运算，所以离散时间系统就表示对输入(shr)序列的运算，即x(n)离散时间系统 Tx(n)y(n)y(n)=Tx(n)共八十六页 设系统具有： 那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。 *加权信号和的响应(xingyng)=响应(xingyng)的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。共八十六页二.移不变系统 如Tx(n)=y(n),则Tx(n-m)=y(n-m), 满足这样(zhyng)性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即 输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。 *移（时）不变共八十六页例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统.解

9、：因为 Tx(n)=y(n)=3x(n)+4 所以 Tx(n-m)=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 Tx(n-m)=y(n-m) 因此(ync)， y(n)=3x(n)+4是移不变系统. *系统操作=函数操作共八十六页三.单位抽样(chu yn)响应与卷积和 1.线性移不变系统 具有移不变特性的线性系统。 2.单位抽样响应h(n) 当线性移不变系统的输入为(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T(n)(n)h(n)T(n)共八十六页线性移不变系统(xtng) h(n)x(n)y(n)3.卷积和 y(n)=x(n)* h(n)共八十六页共八十六页

10、四.线性移不变系统(xtng)的性质1.交换律 2.结合律共八十六页3.对加法(jif)的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)共八十六页例：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样(chu yn)响应分别为 h1(n)=(n)- (n-4); h2(n)=an u(n),|a|1,当输入x(n)=u(n) 时，求输出。解：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)* h1(n)=x(m) h1(n-m)= u(m) h1(n-m) = u(m) (n-m)- (n-m-4)=u(n)-u(n-4) = (n)+(n-1)+(n-2)

11、+ (n-3)y(n)= w(n)* h2(n)=(n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3) * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)共八十六页五.因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以 前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际(shj)系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平 均处理的系统不是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统,因n0的输入; *不计其他函数，y(n)=x(n)sin(n+2). 线性移不变因果系统的充要条件为

12、h(n)=0，n 0。共八十六页六.稳定系统(xtng) 有界的输入产生有界的输出系统。 线性移不变稳定系统的充要条件是共八十六页1-3 常系数(xsh)线性差分方程 离散变量n的函数x(n)及其位移(wiy)函数x(n-m) 线性叠加而构成的方程.一.表示法与解法 1.表示法 离散时间线性移不变系统(n)y(n)共八十六页 * 常系数：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常数（不含n）. *阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0. *线性：y(n-k),x(n-m)各项只有(zhyu)一次幂,不含它们的乘积项。2.解法 时域：迭代法，卷积和法; 变换域：Z变换

13、法.共八十六页二.用迭代法求解(qi ji)差分方程1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统 用的较多，其输出就是 。 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必须(bx)知道h(n)的求法.共八十六页2.迭代法（以求h(n)为例） 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样 响应h(n). 解：因果(yngu)系统有h(n)=0,n0 ; 方程可写 作: y(n)=ay(n-1)+x(n)共八十六页共八十六页 共八十六页1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系

14、统都假定(jidng)：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意(zh y)：共八十六页1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述(bio sh)方法。2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1) 用表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延时单元。三.系统结构共八十六页x(n) b0 -a1y(n-1)y(n)-a1y(n-1)b0 x(n)-a1y(n-1)b0 x(n)例：差分(ch fn)方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：共八十六页 1-4 连续时间(shjin)信号的抽样一.抽样(chu y

15、n)器与抽样(chu yn) 1.抽样器P(t)T共八十六页共八十六页2.实际抽样(chu yn)与理想抽样(chu yn)0t共八十六页实际(shj)抽样：tp(t)0tTp(t)为脉冲序列共八十六页理想(lxing)抽样：tt（冲激(chn j)序列）共八十六页二.抽样定理 1.预备知识 （1）冲激信号(xnho)及其抽样特性 定义：t(1)0共八十六页取样(qyng)特性：共八十六页(2)频域卷积定理 若共八十六页(3)冲激函数序列(xli)的傅氏变换.0Tt共八十六页共八十六页0冲激序列(xli)的傅氏变换仍为冲激序列(xli)。共八十六页2.抽样(chu yn)信号的频谱共八十六页共

16、八十六页*可见，该频谱为周期性信号(xnho)，其周期为共八十六页0 , 共八十六页h为最高频率(pnl)分量共八十六页3.取样定理 由上图可知，用一截止频率为 的 低通滤器对 滤波可以得 因此(ync)，要想抽样后能不失真的还原出 原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信 号最高频率分量。即 这就是奈 奎斯特取样定理。共八十六页共八十六页三.抽样的恢复(huf) 如果抽样信号 或 通过一 理想低通滤波器 就可恢复信号 或 。下面证明：共八十六页1.低通滤波器 的冲激响应h(t) h(t) H(j )共八十六页T ,0 ,T0共八十六页共八十六页2.低通滤波器(filter)的输出(shch)*输

17、出=原信号抽样点的值与内插函数(hnsh)乘积和。共八十六页3.内插函数(hnsh) 的特性： 在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)T1共八十六页（1）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函 数波形(b xn)的延伸叠加而成。共八十六页T2T3T共八十六页四.实际抽样 1 . 取样(qyng)定理仍有效共八十六页内容摘要第一章离散时间信号与系统(xtng)。x(n-m)表示依次右移m位。x(n+m)表示依次左移m位。后向差分（先右移后相减） ：。卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。得到h(-m)，对应序号相乘，相加。2. 位移一个单元，对应序号相乘，。