复变函数留数与留数定理

1、复变函数留数和留数定理第一张，PPT共二十八页，创作于2022年6月设为的一个孤立奇点;内的 Laurent 级数:在.的某去心邻域包含的任一条正向简单闭曲线C.一 、留数的定义和计算第二张，PPT共二十八页，创作于2022年6月20(高阶导数公式)0 (柯西积分定理)第三张，PPT共二十八页，创作于2022年6月31. 定义 记作包含的任意一条简单闭曲线 C 的积分的值后所得的数以的一个孤立奇点, 如果(Residue)则沿内，除称为第四张，PPT共二十八页，创作于2022年6月42. 计算留数的一般公式由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环域 内Laurent级数的

2、负一次幂系数c-1(1)若z0为函数f(z) 的可去奇点, (负幂项的项数为零个), 则它在点z0的留数为零.注：当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时,若 为偶函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得第五张，PPT共二十八页，创作于2022年6月5如果 为 的一级极点, 那么规则1成Laurent级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则展开则需将第六张，PPT共二十八页，创作于2022年6月6规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 有说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则

3、1可看作规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.第七张，PPT共二十八页，创作于2022年6月7规则3 如果设及在都解析，那么为的一级极点, 且有第八张，PPT共二十八页，创作于2022年6月8为 的一级极点,的一级零点,为的一级极点，为证第九张，PPT共二十八页，创作于2022年6月93.典型例题例1 求在的留数.解第十张，PPT共二十八页，创作于2022年6月10例2 求在的留数.分析是的三级零点由规则2得计算较麻烦.第十一张，PPT共二十八页，创作于2022年6月11如果利用Laurent展开式求较方便:解第十二张，PPT共二十八页，创作于2022年6月12注意: 如 为

4、m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开Laurent级数求来计算留数 .2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取第十三张，PPT共二十八页，创作于2022年6月13例3求下列函数在指定点处的留数(1) , ;解： 是函数 的一级零点, 又是函数 的五级零点.于是它是 的四级极点,可用规则 计算其留数,其中 ,为了计算简便应当取其中 ,这时有 第十四张，PPT共二十八页，创作于2022年6月14另解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为 ,其中 的项

5、的系数为 ,从而也有 . 例3求下列函数在指定点处的留数(1) , ;第十五张，PPT共二十八页，创作于2022年6月15(2) , ; 解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为 显然 为它的本性奇点,其中 的项的系数为 ,于是得第十六张，PPT共二十八页，创作于2022年6月16(3) , . 解：显然 是 的一级极点;可是不能用规则 求其留数,由规则 得第十七张，PPT共二十八页，创作于2022年6月17思考：有关因式分解问题？1.2.第十八张，PPT共二十八页，创作于2022年6月18二、留数定理定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析，在C的内部除有限个孤立奇点z1,

6、z2,zn外解析，则有留数概念的重要性在于下面的留数定理. 它使得一些积分的计算变得十分容易.第十九张，PPT共二十八页，创作于2022年6月19例4. 计算下列积分(1) 解：被积函数 的奇点 和 都在圆 的内部,由规则1,2可得以下结果 ; 于是由留数定理得积分值为第二十张，PPT共二十八页，创作于2022年6月20(2) 解： 在圆 的内部有一个二级极点 和两个一级极点 ,于是利用留数的计算规则 和 得第二十一张，PPT共二十八页，创作于2022年6月21(2) 最后由留数定理得积分值为第二十二张，PPT共二十八页，创作于2022年6月22例5 计算积分C为正向圆周:解 被积函数有四个一

7、级极点都在圆周的内部 , 所以由规则3 第二十三张，PPT共二十八页，创作于2022年6月23例6 计算积分C为正向圆周 :解 除被积函数点外, 无其他奇点，在圆外。所以第二十四张，PPT共二十八页，创作于2022年6月24因此第二十五张，PPT共二十八页，创作于2022年6月251 若z0为函数f(z) 的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零.2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零.小结：留数的计算 3 若z0为f(z) 的一级极点，则有4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 有第二十六张，PPT共二十八页，创作于2022年6月265 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若 ，Q(z0)=0且 ，则z0为f(z) 的一级极点，且有6