复变函数级数(2)

1、复变函数的级数 (2)第一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月主 要 内 容 本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.第二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月1 复数列的极限 2 复数项级数概念 4.1 复数项级数第三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月1 复数列的极限称 为复数列, 简称 为数列, 记为 定义4.1设 是数列， 是常数. 如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 成立, 则称当n时, 收敛于 或称 是 的极限, 记作第四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月复数列收敛与实数列收敛的关系

2、定理一 的充分必要条件是 此定理说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.第五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月即同理证明 如果 则 存在正整数N,从而有使得当nN 时, 第六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月从而有反之, 如果 那么存在正整数N, 使得当nN 时, 所以第七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2 复数项级数的概念为无穷级数.称为该级数的部分和.设 是复数列, 则称 第八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数 的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛, 这时称S为级数的和, 并记

3、做 如果 不收敛，则称级数发散. 第九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月复数项级数与实数项级数收敛的关系定理二 级数 收敛的充要条件是 都收敛, 并且 说明 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题 推 论如果级数 收敛, 则 第十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月证明由记 于是由定理一知 收敛的充要条件是 与 皆收敛, 此时显然有第十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月解 因为级数收敛, 所以原复数项级数发散. 练习 级数 是否收敛?发散, 而级数第十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月证明由定理二知，再由实数项级数收敛的级数 收敛的充要条

4、件是 都收敛必要条件知第十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 定义4.3设 是复数项级数, 如果正项级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 绝对收敛级数的性质并且 定理三若级数 绝对收敛, 则 也收敛, 收敛 第十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月证明 由于 而级数 收敛, 由正项级数收敛的比较判别法,知 和 收敛. 从而 和 绝对 收敛, 故收敛. 因此级数 收敛.因为 所以第十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月补充 因为 所以综上可得:因此, 如果 和 都绝对收敛时, 也 绝对收敛. 绝对收敛 和 都绝对收敛. 第

5、十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限. 第十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛. 第十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月定理4.4设 是收敛数列，则其有界, 即 存在M0, 使得 第十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月1 幂级数的概念2 收敛圆与收敛半径 3 收敛半径的求法 4.2 幂 级 数4 幂级数的运算和性质 第二十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月为复变函数项级数. 为该级数的部分和.设 是定义在区域D上的复变函数列,称1 幂级数的

6、概念第二十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月称为该级数在区域D上的和函数.如果对 下述极限存在则称级数 在 点收敛, 且 是级数和. 如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 区域D内收敛. 此时级数的和是函数第二十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月这类函数项级数称为幂级数.当 或 时,或 的特殊情形函数项级数的形式为第二十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月定理一 (Abel定理)若级数 在 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 发散. 第二十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月因而存在正数M, 使得当 时

7、, 记 于是,由正项级数的比较判别法知, 收敛, 因此证明 若级数 收敛, 则 级数 绝对收敛. 其余的结论用反证法易得.第二十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2 收敛圆与收敛半径 (1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:由 , 幂级数 收敛情况有三种:第二十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月.收敛圆 收敛半径 幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.第二十七张，PPT共一百一十二页

8、，创作于2022年6月 幂级数的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以 为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.第二十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月解级数收敛,级数发散.绝对收敛, 且有在 内, 级数 例 1 求级数 的收敛半径与和函数.所以收敛半径第二十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月3 收敛半径的求法 (3) 当 时, 收敛半径 (1) 当 时, 收敛半径 (2) 当 时, 收敛半径 定理二 (比值法)设级数 如果则形式上可以

9、记为第三十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月证明：由于故知当 时， 收敛。根据上节的定理三，级数 在圆 内收敛。正项级数达朗贝尔判别法第三十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月当 时。 假设在圆 外有一点z0, 使级数 收敛。反证法 在圆外再取一点z1，使 ，那么根据Abel 定理，级数 必收敛。然而所以这与 收敛相矛盾。在圆 外发散。由z0的任意性知级数第三十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月(3) 当 时, 收敛半径 (1) 当 时, 收敛半径 (2) 当 时, 收敛半径 定理三 (根值法)设级数 如果 则形式上可以记为第三十三张，PPT共一百一十二页

10、，创作于2022年6月例 2 求下列幂级数的收敛半径（并且讨论在收敛圆周上的情形）；(并讨论z=0,2时的情形)第三十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此 可得出下面几个定理. 定 理(1) 设级数 和 的收敛 半径分别为 和 则在 内, 4 幂级数的运算和性质第三十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 例 3 设有幂级数 与求 的收敛半径第三十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月(2) 设级数 的收敛半径为 r.如果在 内, 函数 解析, 并且则当 时,前面关于级数 的性质, 如果将 换成之后, 对于级数 当然也成立.

11、 说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.第三十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月例 4 把函数 表示成形如的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .代数变形 , 使其分母中出现 凑出 把函数 写成如下的形式:第三十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月当 即 时,所以第三十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月补 例 把函数 在 的 范围表示成形如 的幂级数。 第四十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月定理四 设幂级数 的收敛半径为R，那么是收敛圆： 内的解析函数。 在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即1）它的和函数f (z), 即第四

12、十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月补 例 把函数 在 的 范围表示成形如 的幂级数。 第四十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月3）f (z)在收敛圆内可以逐项积分，即或第四十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月4.3 泰勒级数第四十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数。 函数是否能够展开成幂级数。 解析能第四十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 R为 到D边界的最短距离 定 理 (Taylor展开定理) 设 在区域D内解析,为D内的一点,.R(D是全平面时, R=+), 则 在 内可展开为幂级

13、数 其中系数cn按上述表示的幂级数称为在 点的Taylor级数. 第四十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月.C.R证明 对 内任意一点z,存在 r0, 使得 并且 以z0为圆心, r为半径作正向圆周由 第四十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月因为当 时,.C.R第四十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月从而实际上积分号下的级数可在C上逐项积分. 第四十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月50第五十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 R为 到D边界的最短距离 定 理 (Taylor展开定理) 设 在区域D内解析,为D内的一点,.R(

14、D是全平面时, R=+), 则 在 内可展开为幂级数 其中系数cn按上述表示的幂级数称为在 点的Taylor级数. 第五十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月此定理给出了函数在 z0点的邻域内展开成Taylor级数的公式, 同时给出了展开式的收敛半 径R=|z0-a|, 其中a 是离z0最近的 f (z)的奇点.第五十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月Taylor展开式的唯一性定理 定 理设 是 D上的解析函数, 是 D内的点，且在 内可展成幂级数则这个幂级数是 在点的Taylor级数，即注 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数。第五十三张，PPT共一百一十二页

15、，创作于2022年6月证明因为在 内，绝对收敛.取则由收敛， 得于是有界, 即存在 使得则 其中所以是收敛的正项级数. 第五十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月则由 ,级数在上 可以逐项积分. 又因为 将上式在上逐项积分，利用 以及 因此, 解析函数在一点展开成幂级数的结果唯一.第五十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月考虑f (z)的任意展开式 显然又所以第五十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月显然又所以又第五十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月即第五十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月将函数展开为Taylor级数的方法:

16、1. 直接方法; 2. 间接方法.1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.第五十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 例 求在的Taylor展开式.所以它在 处的Taylor级数为并且收敛半径 因为在复平面上解析，且 第六十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor展开式.间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更

17、为广泛 .第六十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月例利用 并且收敛半径同理本例利用直接方法也很简单以及上节 可得 第六十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 例 1求 在点邻域内 的Taylor级数. 解是的唯一奇点, 且 故收敛半径在 中，用z替换-z, 则 逐项求导，得 第六十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 例 2 求对数函数的主值 在z=0点的Taylor级数. 负实轴向左的射线的区域内解析. 因为 并且由 有 函数 在复平面中割去从点-1沿 第六十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月所以根据 ，把上式逐项积分，得第六十五张，PPT

18、共一百一十二页，创作于2022年6月 例 3求幂函数 (a为复数)的主值支 在z=0点的Taylor展开式. 第六十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 解法一 待定系数法由于 可知f (z)满足微分方程 设 （） （ ） 第六十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月将（ ） 带入（ ） 得即比较上式的系数第六十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月第六十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月所以所求得展开式为第七十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月实轴向左的射线的区域内解析. 因此在 内, 可展开为z的幂级数. 根据复合函数求导法则, 按

19、照直接方法展开如下: 显然, 在复平面中割去从点-1沿负 解法二 第七十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月令z=0, 有 第七十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月于是第七十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月附: 常见函数的Taylor展开式第七十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月第七十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月1 Laurent级数的概念2 函数的Laurent级数展开3 典型例题3.4 Laurent级数第七十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月1 Laurent 级数的概念本节将引进一种在圆环域收敛的

20、双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数中起重要作用.问题：解析函数能否在奇点处展开成幂级数？ 如果能应为何种形式？ 第七十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月负幂项部分正幂项部分这种双边幂级数的形式为同时收敛Laurent级数收敛主要部分解析部分第七十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分第七十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月结论:.常见的特殊圆环域:.第八十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析.

21、(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于Laurent级数，已经知道： Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:第八十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2 函数的Laurent 级数展开定理3.15(Laurent展开定理) 设 函数f (z)在圆环域 内解析, 则函数f (z) 在此环域内可展开为Laurent级数 其中C是圆 周 的正向. 第八十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月证明设z在圆环域 内, 取 正数r和R, 使得 作圆周

22、 和 当z 在K2上变化时， 根据 和Rr.z.第八十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月于是所以与 的证明方法相同,可以逐项积分. Rr.z.第八十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月当z 在K1上变化时， 类似有 因为f (z)在K1上有界, 即存在 使得z K1时, Rr.z.第八十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月所以其中 由于是收敛的正项级数， 根据 , 可以逐项积分. 根据 , Rr.z.第八十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月因此，第八十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月注 函数f (z)展开成Laurent级数的

23、系数 与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同。 当 f (z)在圆环域 内解析, 如果函数 f (z)在内解析，则根据所以Laurent级数包含了Taylor级数.cn不能写为 第八十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月Laurent展开式的唯一性定理定理3.16 设函数f (z)在圆环域内解析, 并且可以展开成双边幂级数则 其中C的正向. 是圆周注 函数在圆环域内Laurent展开式是唯一的. 因此为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.第八十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月方法, 可以证明双边幂级数也可以在C上逐项积 分. 设 是函数 f (

24、z)在 内的双边幂级数展开式，则在 上, 证明利用证明 的 第九十张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月于是在C上取积分得 根据所以第九十一张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月(1) 直接方法 直接计算展开式系数然后写出Laurent展开式这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是 说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.将函数展开为Laurent级数的方法: 1. 直接方法; 2. 间接方法.第九十二张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 根据解析函数 Laurent 级数展开式的唯一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成Lauren

25、t 级数.(2) 间接方法这是将函数展开成Laurent 级数的常用方法. 给定函数与复平面内的一点以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式(包括Taylor展开式作为特例). 这与Laurent展开式的唯一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式唯一.第九十三张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月内展开成Laurent级数. 例 1 将函数在圆环域处都解析, 并且可分解为 3.4.3 典型例题函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点第九十四张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月oxy1(1) 在 内, 有 则 于是在 内， 第九十五张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月12oxy(2) 在 内, 有 第九十六张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2oxy于是在 内, (3) 在 内, 有 第九十七张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月于是在 内, 第九十八张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月2oxy.1(4) 由 知, 展开的级数形式应为 所以在 内, 第九十九张，PPT共一百一十二页，创作于2022年6月 例 2 将 在 内展开 为Laurent级数. 解除z=0点之外, f (z)在复平面内处处解析,对任何复数z , 于是在 内, 第一百张，PPT共一百一十二