多元随机变量以及其分布(2)

1、关于多元随机变量及其分布 (2)1第一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月二元随机变量 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。问题的提出第二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月3例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。第三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月定义： 设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)

2、是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二元随机变量或二维随机变量。Se第四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月1 二元离散型随机变量定义：若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。（一）联合概率分布第五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月6y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示：离散型随机变量的联合概率分布律：第六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月分布律的性质第七张，PPT共一百二十五页，创作于

3、2022年6月8例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。第八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月9 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。第九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月10YX12344000120300即(X,Y)的联合概率分布为：第十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月12第十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月13对于离散型随机变量(X,Y)，分

4、布律为X,Y的边际（边缘）分布律为：（二）边际分布第十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1注意：第十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月16X0210.050.800.15p 0 1 0120.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.8875 0.11251第十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月17第十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月（三）

5、条件分布第十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月19由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。第十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的 ，第二十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月21同样，对于固定的 ，第二十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月求：(1)a,b的值； (2)X=2条件下Y的条件分布律； (3)X+Y=2条件下X的条件分布律。 YX-1 1 0 0.2 a0.2120.1 0.1 b例4：(X,Y)的联合分布律为第二十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022

6、年6月23解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4第二十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月24第二十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。第二十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月26解：第二十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月27第二十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月29第二十九张，PPT

7、共一百二十五页，创作于2022年6月0称为二元随机变量(X,Y)的分布函数。2 二元随机变量的分布函数（一） 分布函数定义：设(X,Y)是二元随机变量,对于任意实数x,y，二元函数第三十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)第三十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月x2y1x1y2第三十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月二元随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数, 记为： 称为边际分布函数。（二） 边际（边缘）分布函数第三十三张，PPT共

8、一百二十五页，创作于2022年6月34事实上，第三十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 定义：条件分布函数（三） 条件分布函数第三十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月36第三十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月3 二元连续型随机变量（一） 联合概率密度第三十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月39第三十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例1：设二元随机变量(X,Y)具有概率密度： 第四十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月41第四十一张，PPT共一百二十五页，创作

9、于2022年6月第四十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月43第四十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为（二） 边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为：对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为第四十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月45事实上，同理：第四十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 例3：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 第四十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月47第四十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 定义：条件概率密度（三） 条件概率密度第四十八张，

10、PPT共一百二十五页，创作于2022年6月49第四十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 第五十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月51第五十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过30分钟。设甲先干了X分钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若XU(0, 30)，在X=x条件下，YU(x, 30)。(1) 求(X, Y)的联合概率密度以及条件概率密度 ；(2) 当已知两人共花了25分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过10分钟的概率。第五十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月53第五十三张，PPT共一

11、百二十五页，创作于2022年6月54第五十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月55第五十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月二元均匀分布与二元正态分布（1）若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域D上取值，且具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布。第五十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月57第五十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例5：设二元随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布，求条件概率密度第五十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月59解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为：Y的边际概率密度为：第五十九张，PPT共一百二十

12、五页，创作于2022年6月60于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布第六十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月66第六十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月67第六十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第六十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月

13、694 随机变量的独立性第六十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第七十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 例1：3例1中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度第七十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月72解：计算得，X和Y的边际概率密度分别为：第七十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月73 请问：连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？第七十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月XY01P(X=j)12P(Y=i)第七十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月75XY01P(X=j)12P(Y=i)第七十五张，

14、PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第七十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第七十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月78第七十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第八十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月81第八十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月一般n元随机变量的一些概念和结果 第八十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 第八十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 边际分布第八十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月85 第八十五张，P

15、PT共一百二十五页，创作于2022年6月86相互独立第八十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 第八十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 定理1： 定理2：第八十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月895 两个随机变量的函数的分布第八十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第九十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第九十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月92第九十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第九十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月94第九十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第

16、九十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月96第九十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第九十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月98第九十八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第九十九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月100第一百张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例4：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。第一百零一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月102解：由卷积公式：第一百零二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月103一般：设X,Y相互独立，第一百零三张，PPT共一百二十五页，创作于

17、2022年6月 例5：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。第一百零四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月105xx=zz120 x=z-1解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：第一百零五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例6：设随机变量（X,Y）的联合概率密度为记Z=X+Y，求Z的概率密度。第一百零六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月107x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：第一百零七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金

18、YN(15,4).设X,Y相互独立，记一天的酬金总数为Z，Z=X+Y。求(1)Z的概率密度；(2)求一天酬金多于30元的概率。第一百零八张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月109解: (1)先求Z的分布函数，利用全概率公式第一百零九张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月110第一百一十张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第一百一十一张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月112第一百一十二张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：推广到n个相互独立的随机变量的情况第一百一十三张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月114第一百一十四张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月第一百一十五张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月116第一百一十六张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月117第一百一十七张，PPT共一百二十五页，创作于2022年6月例9：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联