逻辑与科学方法论[7]

1、科学与逻辑方法论 第六、七讲 传统词项逻辑与现代谓词逻辑1 从 “逻辑分子学” 到 “逻辑原子学”2 传统词项逻辑 对当关系 三段论3 对当关系4 什么是直言命题？ 直言命题的构成要素： 主项和谓项； 量项： 全称量项：所有（任一） 特称量项：有些（有的） 联项：肯定联项：是 否定联项：不是5 直言命题的结构 直言命题的质和量 直言命题的种类6名称 实例 结构 简写 简称全称肯定 所有的人都是 所有S都是P SAP A命题 要死的。全称否定 所有的宗教都 所有的S都不是P SEP E命题 不是科学。特称肯定 有的官员是 有的S是P SIP I命题 清廉的。特称否定 有的报导不是 有的S不是P

2、SOP O命题 真实的。7 关于单称命题 关于存在量项“有的”（“有些”） 自然语言中直言命题的规范分析8 “今天出席会议的不都是正式代表” 的规范形式是什么？9 同一素材的直言命题间的真假关系 对当关系 逻辑方阵10 SAP 反对 SEP 矛 矛 从 从 属 属 盾 盾 SIP 下反对 SOP 11 反对关系：不能同真，可以同假。 矛盾关系：不能同真，不能真假。 从属关系 = 蕴涵关系 下反对关系：可以同真，不能同假12 SAP SEP s是P s不是P SIP SOP13在某次税务检查后，四个工商管理人员有如下结论：甲：所有个体户都没纳税。乙：服装个体户陈老板没纳税。丙：有个体纳了税。丁：

3、有个体户没纳税。如果四人中只有一人断定属实，则以下哪项是真的?A.甲断定属实，陈老板没有纳税。B.丙断定属实，陈老板纳了税。C.丙断定属实，但陈老板没纳税。D.丁断定属实，陈老板未纳税。E.丁断定属实，但陈老板纳了税。14 必然P 必然P P P 可能P 可能 P15 必须P 必须P（禁止P） 应当P 应当 P 允许P 允许 P16 不可能所有的错误都能避免。 如果上述断定为真，则以下哪项必定为真？ A） 可能所有的错误都不能避免。 B） 可能有的错误不能避免。 C） 必然有的错误能避免。 D） 必然有的错误不能避免。 E） 必然所有的错误都不能避免17 不允许陈克杰这样的高官逍遥法外。 以下

4、哪项（或哪些项）能从上述断定能推出？A）禁止所有的高官逍遥法外。B）禁止陈克杰这样的高官逍遥法外。C）禁止有些高官逍遥法外。 如果把题干换成“不允许有高官逍遥法外”，则-18 三段论19 什么是三段论 三段论的结构： 项：大项（P） 中项（M） 小项（S） 大前提 小前提20所有的罪犯都有作案动机 MAP有的嫌疑人没有作案动机 SOM所以，有的嫌疑人不是罪犯 SOP所有的罪犯都有作案动机 MAP某甲有作案动机 SAM所以，某甲是罪犯 SAP21 词项周延性 全称命题主项都周延； 特称命题主项都不周延； 肯定命题谓项都不周延； 否定命题谓项都周延。 周延性概念在演绎推理中的作用22 三段论的规则

5、 5条基本规则 2条导出规则23 第七讲要点 现代谓词逻辑初步知识 多主体认知逻辑 24 现代谓词逻辑 原子命题的内部结构 谓词逻辑层次上的自然语言符号化 谓词逻辑中的不可判定性 判定谓词推理的一种方法：逻辑树25 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪 有些罪犯不是故意犯罪，- 因此，有些罪犯是过失犯罪 这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。为了更为有效和尽量不失一般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进一步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。26 原子命题的内部结构27 在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几

6、个基本成分。 谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。28 什么是谓词？ 什么是个体词？29 （1）这张桌子是方的。 在（1）中，令： F（x）表示 “ x是方的 ”， a 表示“这张桌子”。 这样，F（a）就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题（1）的表达式是F（a）。 这里，F就是谓词，表示“方”这种性质；x和a就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。其中，x称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。30（2）陈先生是贾女士的丈夫。 在（2）中，令： H（x，y）表示“ x是y的丈夫 ”

7、， a 表示“ 陈先生 ”， b表示“ 贾女士”， 这样，H（a，b）就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题（2）的表达式是H（a，b）。 这里，H是谓词，表示“某人是某人的丈夫”这种关系，x、y和a、b是个体词，同样，x和y是个体变项，a和b是个体常项。31 刻划一个个体的性质的谓词称为一元谓词； 刻划两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词； 一般地，刻划n个个体之间的关系的谓词称为n元谓词。显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。32 什么是量词？ 什么是全称量词？ 什么是存在量词？33 量词分为全称量词和存在量词。 全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系； 存在量词断定

8、存在（即至少有一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系。 表示全称量词， 表示存在量词。x F（x）表示“任一x具有F这种性质”。x F（x）表示“存在x具有F这种性质”。xy G（x，y）表示“任一x和任一y具有关系G”。xy G（x，y）表示“对任一x，存在y，x和y具有关系G”。xy G（x，y）表示“存在x，对任一y，x和y具有关系G”。xy G（x，y）表示“存在x，并且存在y，x和y具有关系G”。34例如，令x和y表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数， F（x）表示“x是偶数”， G（x，y）表示“xy”，则 x F（x）断定“任一自然数都是偶数”，这是个假命题。x F（x）断

9、定“存在自然数是偶数”，这是个真命题。xy G（x，y）断定“任一自然数x和任一自然数y，都满足xy”，这是个假命题。xy G（x，y）断定“对任一自然数x，都存在自然数y，满足xy（即没有最小的自然数）”，这是个假命题。xy G（x，y）断定“存在自然数x，对任一自然数y，满足xy （即存在最大的自然数）”，这是个假命题。xy G（x，y）断定“存在自然数x，并且存在自然数y，满足xy ”，这是个真命题。35个体域 个体域就是个体变项的取值范围。 同一个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以具有不同的真假值。例如： 令F（x）表示“x有思想”，那么，如果x的取值范围是人，则x F（x

10、）断定“所有的人都有思想”，是真命题；而如果x的取值范围是动物，则x F（x）断定“所有的动物都有思想”，就成为假命题。 个体域可根据需要作特殊的限制；如果不作特殊的限制，个体域就是指全域，即由所有能被思考的对象组成的域。36量词的辖域 在一个表达式中，量词的约束范围称为量词的辖域。约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域，其它的则不是。例如： （1） x F（x）G（x）（2） x （F（x）G（x） 在这两个表达式中，带横线的部分分别表示x的辖域。37约束个体变项和自由个体变项 在相关量词的辖域中

11、出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束个体变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。例如，在F（x）和G（x，y）中，x和y都是自由个体变项；在x F（x）和xy G（x，y）中，x和y都是约束个体变项；在x G（x，y）中，x是约束个体变项，y是自由个体变项。 再如，在上页的（1）式中： 一个体变项在它的量词的辖域中出现，称为约束出现；否则，称为自由出现。 一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。也就是说，一个体变项在一公式中可以既是自由的，又是约束的。 因此，x在上页（1）式

12、中既是自由的，又是约束的；而在（2）式中是约束的，不是自由的。38谓词逻辑层次上自然语言的符号化39例将下列命题符号化：（1）所有的商品都是有价值的。在（1）中，令： S（x）表示“x是商品”， J（x）表示“x是有价值的”， 则命题（1）的表达式是： x（S（x）J（x） 它的含义是：对任一个体x，如果x是商品，则x是有价值的。40（2）有的官员是清廉的。 在（2）中，令： G（x）表示“x是官员”， Q（x）表示“x是清廉的”， 则命题（2）的表达式是 x（G（x）Q（x） 它的含义是：存在个体x，x是官员，并且x是清廉的。41 （3）所有的迷信都不是科学。 在（3）中，令： M（x）表示

13、“x是迷信”， K（x）表示“x是科学”， 则命题（3）的表达式是 x（M（x）K（x） 它的含义是：对任一个体x，如果x是迷信，则x不是科学。42（4）有的新闻报导不是真实的。 在（4）中，令； X（x）表示“x是新闻报导”， Z（x）表示“x是真实的”， 则命题（4）的表达式是 x（X（x） Z（x） 它的含义是：存在个体x，x是新闻报导，并且x不是真实的。43例将下列命题符号化：（1）任何传染病都有某种细菌或病毒诱发。（2）任何传染病都由某种细菌或病毒诱发。 令：C（x）表示“x是传染病”，X（x）表示“x是细菌”， B（x）表示“x是病毒”，Y（x，y）表示“x诱发y”。 命题（1）的

14、表达式是：xy（C（x）（X（y）B（y）Y（y，x） 它的含义是：对任一个体x，都存在个体y，如果x是传染病，则y是细菌或病毒，并且y诱发x。 在同样的设定下，命题（2）的表达式是xy（X（x）B（x）（C（y）Y（x，y） 它的含义是：存在个体x，x是细菌或病毒，对任一个体y，如果y是传染病，则是x诱发了y。44（3）每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个素数之和。 令E（x）表示“x是偶数”，S（x）表示“x是素数”，D（x，y）表示“xy”，H（x，y，z）表示“x yz”，个体常项a表示自然数6，则命题（3）的表达式是x（E（x）D（x，a） yz（S（y）S（z）H（x，y，z）

15、 它的含义是：对任一个体x，如果x是偶数，并且x6，则存在个体y和z，y和z都是素数，并且x等于y与z之和。45 （1）没有不透风的墙 在（1）中，令Q（x）表示“x是墙”，T（x）表示“x是透风的”，则命题（1）的表达式是 x（Q（x）T（x） (2)我的矛能刺穿天下所有的盾，而我的盾天下所有的矛都不能刺穿。 在（2）中，令M（x）表示“x是矛”，D（x）表示“x是盾”，a表示“我的矛”，b表示“我的盾”，C（x，y）表示“x能刺穿y”，则命题（2）的表达式是 x（D（x）C（a，x） x（M（x）C（x，b）46(3)如果甲班有学生考试作弊，那么甲班所有学生都不能获得本年度的奖学金。 在（

16、3）中，令J（x）表示“x是甲班学生”， K（x）表示“x考试作弊”， H（x）表示“x能获得本年度的奖学金”， 则命题（3）的表达式是x（J（x）K（x） x（J（x） H（x） 47 (4)每个自然数都有自然数比它大，但没有最大的自然数。 在（4）中，令N（x）表示“x是自然数”，D（x，y）表示“xy”，则命题（4）的表达式是 x（N（x） y（N（y）D（y，x） x（N（x） y（N（y）D（x，y）48例将下列推理符号化：（1）所有的人都是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。 在（1）中，令R（x）表示“x是人”，S（x）表示“x是要死的”，a表示“苏格拉底”，则推理（1

17、）的表达式是（ x（R（x）S（x）R（a）S（a）也可表示为 x（R（x）S（x） R（a） S（a）49 （2）所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。因此，有些罪犯是过失犯罪。 在（2）中，令 F（x）表示“x是罪犯”，G（x）表示“x故意犯罪”， S（x）表示“x过失犯罪”， 则推理（2）的表达式是 x（F（x）（G（x）S（x） x（F（x）（G（x） x（F（x）S（x） 50（3）一个人是轻信的人当且仅当他相信每一个人。因此，存在着一个人他相信所有轻信的人。 在（3）中，个体域限制为“人”，令： Q（x）表示“x是轻信的”， B（x，y）表示“x相信y”，

18、 则推理（3）的表达式是 x（Q（x） y B（x，y） - xy（Q（y）B（x，y）51例如果所有的思想都是清楚的，那么没有思想需要解释了；如果所有的思想都不是清楚的，那么没有思想能够解释清楚。因此，如果有的思想既需要解释又能够解释清楚，这说明有的思想清楚，有的思想不清楚。 令： M（x）表示“x需要解释”， N（x）表示“x能够解释清楚”， C（x）表示“x清楚”。论域限制为“思想”。 推导形式为 x C（x） x M（x） x C（x） x N（x） x（M（x）N（x）（xC（x） xC（x）52 根据所给出的谓词定义，把下列公式翻译成通顺的自然语言语句：1 x（P（x） y（K（y

19、） H（x,y）（P（x）=x是人；K（x）=x是知识；H（x,y）=x知道y）2 x（(P（x） R（x,x）) y（P（y）R（y,x）(P（x）=x是人； R（x,y）x相信y)53 谓词逻辑中的判定问题54 谓词推理的一种判定方法：逻辑树55（1*）全称分解：xA（x） A（x/t）（2*）存在分解： xA（x） A（x/t）（t是个体变项，并且不在所在枝上方的任何公式中自由出现） xA（x） xA（x） xA（x） xA（x）56 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。因此，有些罪犯是过失犯罪。 构造逻辑树如下： 57 x（F（x）（G（x）S（x） x（F

20、（x） G（x） x（F（x）S（x） | F（x） G（x） | F（x） G（x） |（F（x）S（x） F（x） S（x） | F（x）（G（x）S（x） F（x） G（x）S（x） G（x） S（x） 58 多主体认知逻辑 多主体认知系统 多主体认知系统中的共同知识59 多主体认知系统60 对于主体A，如果存在主体B，主体A的思考对象中包括主体B的思考，并且主体B的思考对象中包括主体A的思考。这样的主体构成的系统，称为多主体认知系统。因此，并非系统中有多个主体，就构成多主体认知系统。在多主体认知系统中，一个主体的思考对象中，包括其它主体对自身思考的思考。 在多主体系统中关于知道的推理，

21、实质上是关于主体间互知（interactive Knowledge）的推理。61 多主体认知系统中的共同知识62 在一个多主体系统中，如果任一主体都知道命题，则称为共同知识。63 多主体之间订立协约，什么样的共同知识是必要的？64 多个主体之间订立协约，为最大限度地确保各自的利益而限制各自的利益。在这样的多主体系统中，为了订立协约，什么样的共同知识是必要的呢？当然，协约的内容必须是共同知识，也就是说，缔约各方都必须知道协约的内容。但这显然不够。对任一方来说，如果他光知道协约的内容，但不知道其余各方都知道协约的内容，他是断然不会签约的。现在的问题是，如果对每一方来说，他不光知道协约的内容，而且知

22、道其余各方都知道协约的内容，他是否就一定签约呢？一般地说，这个问题的答案并不那么简单。65 考虑这样一个实例。“红灯停，绿灯行”这一交通规则是驾驶员多主体系统中的一个协约。假设每个驾驶员只有在确信别的驾驶员都遵守交通规则时自己才遵守规则，那么，一个汽车驾驶员光知道“红灯停，绿灯行”的交通规则是不会按该规则开车的，因为他并不知道所有驾驶员都知道这条规则。现在的问题是，如果一个驾驶员不光自己知道这一规则，而且知道所有的驾驶员都知道这条规则，他是否一定遵守规则呢？回答是仍然不一定。66因为他虽然知道所有的驾驶员都知道这条规则，但是并不一定知道所有的驾驶员都知道所有的驾驶员都知道这条规则。如果事实上他

23、并不知道所有的驾驶员都知道所有的驾驶员都知道这条规则，那么，他有理由认为，除了他以外的所有驾驶员虽然都知道这条规则，但可能都不知道别的驾驶员知道这条规则，因而都不遵守规则，因而他自己也不遵守规则。这样的问题可以类似地问下去，回答都是“不一定”，直到问题中的“知道”重复的遍数等于驾驶员的人数。也就是说，假设这样的驾驶员有n个，这n个驾驶员就组成了一个n（元）主体系统，在这个系统中，每个驾驶员都遵守“红灯停。绿灯行”的交通规则的必要条件是：所有的驾驶员都知道所有的驾驶员都知道所有的驾驶员都知道（重复n遍）这一规则。（当然，这里假设每个驾驶员都有完备的推理能力）。67 在竞争性的多主体系统中，每个主

24、体都须设法使自己的知识多于共同知识。68 曹操败走华容道岔口，大路并无动静，小路几处烟起。曹操不走大路，偏走小路华容道，因为他知道诸葛亮深知“用兵虚则实之，实则虚之”，结果反而中了诸葛亮的埋伏。这里，问题出在曹操光知道诸葛亮知道“用兵虚则实之，实则虚之”， 但不知道诸葛亮知道曹操知道诸葛亮知道“用兵虚则实之，实则虚之”。诸葛亮胜在他的“知道”比曹操的高出了一阶。69 也就是说，在这个二主体系统中，（1）“用兵虚则实之，实则虚之”；（2）诸葛亮知道“用兵虚则实之，实则虚之”；（3）曹操知道诸葛亮知道“用兵虚则实之，实则虚之”是共同知识。但是（4）诸葛亮知道曹操知道诸葛亮知道“用兵虚则实之，实则虚之”不是共同知识，它为诸葛亮所知而不为曹操所知。70 这里，我们得到的明显印象是，多主体系统中互知推理的复杂性，有点超出人的日常思维能力的限度，原因之一是，这种推理的对象中，不光包括客观世界的知识，还包含多个具有同样推理能力的主体，该推理的推理者本身往往就是这些主体中的一个，推理者对这些主体的思考进行推理，这些主体同样对推理者的思考进行推理，这使得推理的素材是弹性的，而不是刚性的；是动态的，而不是静态的；是随着推理的