解三角形-正弦、余弦定理

1、(必修五)解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：a b c正弦 te 理： 2R 或变形： a: b: c sin A :sin B :sin C .sin A sin B sinC(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)两内角与其正弦值：在 ABC中，A B sin A sinB,.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:2.余弦定理:a2 b2 c2 2bc cosAb2 a2 c2 2accosB 或c2 b2 a2 2bacosCcosAcosBcosC,222b c a2bc2

2、2,2a c b2ac.222b a c2ab(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意: 正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想;三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；类型一：解三角形AC在锐角 ABC中，BC 1,B 2A,则 一 J的值等于 , AC的取值范围 cosAII I TOC o 1-5 h z 解析：设 A , B 2 .由正弦定理得一AJ-BC, AC1AC2.sin 2sin2cos cos由锐角 ABC 得 0o 290o0o45,又 0o 180o 390o3

3、0o 60o,故 30o 45o cos ,22AC 2cos (、. 2, . 3).在 ABC中，a 1,b 七 3 , ZA=30 ,求 c 的值 解析:举一反三：变式1:在 ABC中，已知c 1,b 22 , B=45 ,求 C和a变式2:已知 ABC中，a 城3, b 1, A=2B ,求角B及边c.2变式 3：在 ABC中，a 2, A 45 , sin B 一，求 c 的值.3类型二：已知三角形面积解三角形.在 4ABC 中，A 120o,c b,a 石1,Svabc 73,求 b,c。变式 1.若在 ABC 中，A 60o,b 1,SabcV3,则acsin A sin B s

4、in C变式2.已知三角形的一个角为 60。，面积为1053cm2 ,周长为20cm,求此三角形的各边长.类型三：判定三角形的形状三角形的形状的判定(1)根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦(余弦)定理实施边角转化，主要有两种途径:化角为边。化边为角;(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角 的形式.(3)解题中利用ABC 中 A,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如：sin( AB)sin C,cos( AB) cosC, tan(A B) tan C,sin ACcos,cos2sinC,tan21.在 ABC中，若 2cosBsinA =

5、sinC ,则4 ABC的形状A B 2 一定是(cotC.2D.等边三角形A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形.在 ABC中，bcosA= acosB ,则三角形的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形.在 ABC 中，若 a cos A bcosB ccosC,贝ABC的形状.在 ABC中，若1g a 1g c 1g sin B1g J2 ,且B为锐角，判定 ABC的形状。变式：在 ABC中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2 ,则4 ABC的形状是(A.直角三角形 B .等边三角形C .不能确定D .等腰三角形 类型

6、四：证明三角形中的三角恒等式例：已知 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证：a bcosC ccosB . TOC o 1-5 h z 思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，可以化角为边，也可以化边为角解析：法一：利用余弦定理.M十人一(?1十加一 M十产一(? 十这一产+e = &.右_L=左,.一- 一厂二厂E.法二：利用正弦定理一右=J ：,二一二 =左，上二 3 r 二 e 一 一 二匚二三 .举一反三：a b,cosB cosA、.在 ABC中，求证： 一 一 c( )b a b a2 c 2 A 3b-.在 ABC中，右 a cos - ccos 一 一 ,则求证

7、：a c 2b 222. ABC的三个内角 A、B、C的对边分别是 a,b, c,如果a2=b ( b+c),求证：A=2B解三角形综合练习1.在 ABC中，若/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 3,则 a ： b ： c 等于（A.1 ： 2 ： 3B.3： 2 ： 1C.22.在 ABC中，/A, / B的对边分别为a,b ,且/A=60 , a3B. a - 1C. -1a07.已知三角形的三边长分别为Va2 ab b2 ,则三角形的最大内角是 （）A.135B.120C.60D.90.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A . 900 B . 1200 C .

8、 1350D. 150.在 ABC 中，已知 sinA: sinB:sinC 6:5:4,则 cosA 1.三角形的一边长为14,这条边所对的角为 60 ,另两边之比为 8 : 5 ,则这个三角形 的面积为求三角形的边(角)问题(1)可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角 的形式.(2)解题中利用 ABC中A B C ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A B) sinC, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,tan A tanB c b1.在 ABC中，已知,求角A.tan A tan B c2.在 ABC中，设 a c 2b, A

9、C一，求sin B的值。3.在 ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是 a,b,c,已知c 2,C -.32sin 2A ,求 ABC(1)若 ABC的面积等于 V3，求 a,b, ； (2)若 sinC sin( B A)的面积.在 ABC中，A B C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知222b c a bc.(1)求角A的大小；(2)若sin2 A sin2 B sin2C ,求角B的大小.5.已知 A、B、C是 ABC 三内角，向量 m ( 1,J3) n (cosA,sin A),且 m.n 1。(1)求角A;(2)若 12 sin2B23,求tanC。cos B

10、sin B pr-P6.在 ABC中，角 A、B、(1)求证:C的对边分别为a,b,c ,若阕AC = BA-EC = 1ZA=Z B;(2)求边长c的值;(3)若AB AC 6 ,求 ABC的面积.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为A 2 5 uur uitra,b,c,且满足 cos- 幺5, AB AC 3.25(I)求ABC的面积;(II )若b c 6,求a的值.解三角形的应用求解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：分析题意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。.在奥运会垒土比赛前， C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15。方