实验极限导数和极值

1、实验三 最佳订货量 极限、导数和极值一、引例：最佳订货量问题 汽车工厂为了保证生产的正常运作，配件供应一定要有保障。这些配件要预先从配件供应商那里订货。每次订货需要收取一定量的生产准备费。没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为此要付出储存费。若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备费的增加；反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产准备费减少但会造成储存费的增加。如何确定合适的订货量？解 先作一些必要的假设将问题简化1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的，每日为r件；2）所订配件按时一次性交货，生产准备费每次k1元；3）储存费按当日实际储存量计算，储存费每日每件k2元;4）你的工厂不允许缺货。设

2、一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r t, 0t0, N0 ，使当nN时 有xn -a0,函数在x0点附近是上升的；当f(x0)0,函数在x0点附近是下降的；当f(x0)=0, x0为驻点,若x0为驻点且f”(x0)0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）若f(x)在x0可导则在x0可微，dy = Adx当n=0 得，微分中值定理 f(x) - f(x0) = f() (x- x0) 其中是x0与x之间某个值Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，3、多元函数微分学设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义

3、，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为三、数值微分若f(x)在x=a可导, 设h0且足够小称为向前差商向后差商中心差商四、使用MATLAB 1、数值求导dx= diff(x)返回向量x的差分Fx=gradient(F,x)返回向量F表示的一元 函数沿x方向的数值梯度(即导函数F(x) 其中,x是与F同维数的向量 Fx,Fy=gradient(F,x,y)返回矩阵F表示 的二元函数的数值梯度(Fx,Fy),当F为 mn矩阵时,x,y 分

4、别为n维和m维的向量2、 函数极值x=fmin(fun,a,b) 求一元函数y=f(x)在 a,b内的局部极小值点。这里fun 可用字符串表示，也可以是M函数名。采 用黄金分割法和抛物线插值法。 x=fmins(fun,x0) 求多元函数y=f(x)在 x0出发的局部极小值点，这里 x,x0均为 向量。 采用Nelder-Meade单纯形搜索法。在使用fmins等命令时，若把函数直接写在算式中，自变量必须用x(1), x(2),。例1 求二元函数f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在原点附近的极大值。解 问题等价于求 f(x,y)的极小值fun=x(1)4+x(2)4-4*x(1)*x(2)

5、-5; x=fmins(fun,0,0),f=-eval(fun）3、解析运算limit, symsum, diff, taylor 都是符号命令limit(s,x,a) 返回符号表达式s当xa时的极限。symsum(s,n,a,b) 返回符号表达式s表示的通 项当自变量n由a到b的和。diff(s,x,n) 返回符号表达式s对x的n阶导数。 taylor(s,n,a) 返回符号表达式s在a点 TAYLOR 展开到n次式例2 求解 syms n x y; limit(1+x/n)n,n,inf) symsum(-1)n*xn/n,n,1,inf) diff(sin(x*y),x,2)五、实验例

6、题例3 若银行一年定期年利率为r，那么储户存1万元钱，一年到期后结算额为1+r万元; 若三月定期年利率也为r，一年后可得(1+r/4)4万元,若活期年利率也为r，一年后可得（1+r/365）365万元。若储户连续不断存款取款，结算频率趋于无穷大，银行要不断地向顾客付利息，称为连续复利。连续复利会造成总结算额无限增大吗？如果活期存款年利率为1.98%, 那么一年，三年，十年定期存款的年利率应定为多少才是等价的？解：设结算频率为n, 年利率为x，第k次结算额为ak，那么 ak=(1+x/n)ak-1, a0=1则一年总结算额为 an = (1+x/n)n 当n 时 lim(1+x/n)n= ex它

7、表明n足够大时，结果将稳定于ex。n=365时，总结算额已与 ex相当接近设 一年定期利率为r, 把活期存款利率 作为连续复利率a=1.98%。那么应有 1+r=ea 从而 r=ea- 1 = 2%. 同理,三年定期利率 r=(e3a 1)/3=2.04%十年定期利率 r=(e10a 1)/10=2.19%。例4 考虑函数f(x)=x2cos(x2+3x-4)在-2,2 内的图象，并求单调区间和极值点 fun=x*x*cos(x*x+3*x-4);fplot(fun,-2 2); fmins(fun,0.5) nfun=-x*x*cos(x*x+3*x-4) ;fmins(nfun,1.5)同理可得其它三个极值点的位置。另一方法是通过计算f (x)的零点得到。例5 对于函数f(x)=x+cos(x), 在0,/2 上验证微分中值定理。解：根据微分中值定理 (0,/2), 使 f(/2)-f(0)=f ()(/2-0)几何上，必有一点的切线与两端点的连线平行。 close;