全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答

1、2009年全国高中数学联赛福建省预赛2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办.由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题.命题负责人：陈荣斯.试题以普通高中数学新课程标准的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容.试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分.全卷满分160 分.考试时间：2009年9月13日(星期日)上午 9: 00- 11: 30.考试地点：由各设区市组织进行 .预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各

2、设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单.同时，省数学学会根据各 TOC o 1-5 h z 设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选试题一、填空题(每小题6分，共60分)1.已知向量 OP =(2cos(三+ x),-1), OQ = (-sin(- - x), cos2x) , f (x) = OP OQ .若 a、 22b、c分别是锐角ABC中角A、B、C的对边，且满足f(A)=1, b + c = 5+3&, a;而, 则.ABC的面积S=.-.设a T ,变重 x?两足x +ax -x ,且x+ax的取小值为 一一，贝U a =_.2

3、.已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、 36、37,最大的两个和数为 48和51,则这5个数中最大的数等于 . 一个直径AB=2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S,使AS = AB , C为半圆上一个动点，M、N分别为A在SB、SC上的射影.当三棱锥S - AMN的 体积最大时，SC与平面ABC所成角的正弦值是.若定义在 R上的奇函数 y = f(x)的图象关于直线x=1对称，且当0 xM1时，1f(x)=loqx ,则万程f (x) =- + f (0)在区间(0 1内的所有实根之和 3为.平面直角坐标系xOy中，直线l1 : 4x

4、+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2 与线段A B、O能别交于点C、D ,且平分 AOB的面积，则CD2的最小值 为.若对于任意的实数x ,函数f(x)=x2-2x- x-1-a - x-21+4的值都是非负实数， 则实数a的最大值为.集合 1,2, 3 III,2009 的元素和为奇数的非空子集的个数为.方程x R L9的实数解是.(其中x 表示不超过x的最大整数)2.满足0 ER 20, i =1,2, 3 4 ,且ki +k3=k2 +k4的有序整数组(Xk 人，k.的个数 为.二、解答题(每小题20分，满分100分).已知f (x)=空1 ,方程f (x) = 4x+8有

5、两个不同的正根，且一根是另一根的3倍.等 3x-1差数列an与bn的前n项和分别为Sn与工，且S-fg) (n=1, 2, 3,).Tn(1)设 g(n)=an (n=1, 2, 3,)，求 g(n)的最大值；bn(2)若a:2,数列他的公差为3,探究在数列与近中是否存在相等的项.若有,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 g 的通项公式；若没有，请说明理由.已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F(2,0),点P的坐标为(m,0) (m00)(1)设过点P斜率为1的直线1i交抛物线C于A、B两点，若m0, P关于原点的对 称点为Q.求QAB面积的最大值.(2)设过点P斜率为k (k*0)的直

6、线l2交抛物线C于M、N两点，在x轴上是否存 在一点T ,使得TM、TN与x轴所成的锐角相等？若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请 说明理由.如图，OO与线段AB相切于点M ,与以AB为直径的半圆相切于点E. CD _L AB于 点D , CD与以AB为直径的半圆交于点C ,且与。相切于点F ,连接AC、CM.求证：A、F、E三点共线；AC = AM ;2MC =2MD MA .(第13题).设 xi w 衣一1, J2+1 , i =1 ,2 ,川，2010 .令 S = x1x2 x3x4 I |l x2009x2010 .S能否等于2010?证明你的结论；S能取到多少个不同的整数值？.

7、已知正实数a、b、c满足a+b+cE3.求证:3(2)a(a 2) b(b 2) c(c 2)解答1.由条件知所以 sin(2A_) =1, sin(2A-)=.442又因为A为锐角，=2A-“ 3,因此2A-, A=”.444444因为 b+c = 5+3M, a=A,所以13 =b21_若aw(a+1),即a2,则f (x)在x =一且处取最小值-,因止匕里=1，a = 土衣 22442(舍去). 综上可知a =-3.23. 设这 5个数为 a b cd e ,贝U a+b =32 ,a+c =36 ,c+e= 48 , d+e= 51 ,下面说明 b c =37.因为 cb =4 , d

8、c = 3, d b =7 ,所以a+d =(a +b) +(d -b) =39 ,故b +c=37.所以 +c2 2bccosA = (b + c)2 2bc 2bccosA ,即13 = 43 30、. 2 -(2 ,2)bc.所以bc=15夜，AABC的面积_ 1. .1 ,- .2 15S bcsin A15、. 2 = .222222.由 a -1 及 x2+ax Wx ,得 0WxW(a+1).设 f (x) =x2 + ax = (x+旦)2a24a右一一下-(a+1),即2a1,贝U f (x)在 x =-(a+1)处取取小值 f(一a-1) = a + 1,因此 22a =(

9、a +b)+(a +c) (b+c) = 31 , 故 a =15.5,b =16.5, c=20.5, e=27.5 ,d =23.5,即最大的数为 27.5.易知BC 10SAC ,所以BC _LAN ,从而AN，面5801所以 AN 1SM ,因此 SM AMN , VSMN = SM SAANM .3由SA=AB =2,得AM =SM =应，而AN _L NM , AMN为斜边长为72的直角三角 形，面积最大在AN =MN =1时取到.所以，当三棱锥 S-AMN的体积最大时，AN=MN=1,此时，ZSCA = 60S, SC与平面ABC所成角的正弦值是 .2.函数y = f(x)的图象

10、关于直线x=1对称，以及f(x)奇函数知，f (x + 2)= f(x) = f (x), 因此f(x+4) = -f(x+2)= f(x), f(x)是周期函数，4是它的一个周期. TOC o 1-5 h z 11由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)=0,万程f(x)=-+ f(0)化为f(x) = -1.3311结合图象可知，f (x)=-在(0 ,1)、(1,2)内各有一个实根，且这两根之和为2; f(x) = -331 .在(4,5)、(5,6)内各有一个实根，且这两根之和为 10; f(x) =在(8,9)、(9 ,10)内各有一3个实根，且这两根之和为18.1所以，万程f(x

11、)=- +f(0)在区间(0,10)内有6个不同的实根，这6个实根之和为30.36.由条件知，OA=5,OB=4, AB = T41.设 / BAO =日，则 cos日. .41由 SAOB =2S/xacd ,得八1 八5 41AC AD AB AO =.22由余弦定理，得CD2 =AD2 AC2 -2 AD AC cos-2AD AC -2AD AC cos15 41 -25当AD = AC时等号成立.所以，CD2的最小值为5741-25.2 -0 -,解得-2 a 1.f(0) - -当 a=2时，f(x)=x2-2x- x + 1f(x) =-x-2 +4 , x2 3,2x2 -2x

12、 1,2x -4x 5,x ： -1,-1x0.若x之3,则xS3,从而x11之33 = 27 a9 .2若 0Hx2,则 0Mx2,从而 x k122 =4 .2所以2 Ex (j -m, )j 0 fj共 mm1 组.当 20 m 40 时，满足 x+y=m,且 0Ex,yE20 的非负整数解 (x , y)= (j, m- j), m -20 j 0 ,得 m a 2.设 A(Xi , y)、B(& , y),则 xI +x? =2(m + 4), Xi& = m2 ,AB = J1 +12 , x1 -x21 = &4(m +4)2 -4m2 = 8jm + 2 .又因为点Q(-m,0

13、)到直线I,的距离d=72 m|,所以AQAB的面积S =1 V2 - m 8 Jm + 2 = 472 Jm3 +2m2 ,2其中-2 :二 m ： 0 .记 f(m)=m3+2m2,则f(m)=3m+4m所以,当-2m0;当4一 m 0 时，f (m) 0 .3所以，f(m)在区间匚2,-4 I上为增函数，在区间！J 4,0|上为减函数.所以m = -4时,.IL 33f (m)取最大值3227因此，4QAB面积的最大值为32立.9、一， y = k(x -m)，行l2方程为 y =k(x-m).由 2y =8x2 2222k2x2 -2(mk2 4)x k2m2 =0.2 门a2 mk

14、82M（x3,y3）、 N（M,y4）,则 x3+4=2 ， x34=m .k设点T存在，其坐标为（t,0）.由TM、TN与x轴所成的锐角相等知，kTM+kTN=0,即 上+旦=0,即 x3 -t x4 -tk(x3 -m) /M -m) 0 x3 -tx4-t2x3x4 -(m t)(x3 x4) 2mt = 0 .所以2c 2,、2mk 82m _(m+t)2+2mt = 0, t = -m.k2因此，符合条件的点T存在，其坐标为(-m,0).(1)如图，设AB中点为P ,由条件知OP与OO内切于E ,故P , O, E三点共线. 连接 FO ,由 CD _L AB , CD 切 OO 于

15、点 F ,知 CD _L OF , FO / AP , / EOF =N EPA .因为 OE =OF , PE=PA,所以 /OEF=/PEA, A、F、E 三点共线.(2)在OO中，由切割线定理知，AM2=AFMAE.连接EB,由于AE _L EB ,因此E ,F、D、B 四点共圆，ADMAB=AFMAE.连接 BC, WJ AC _L CB ,因止匕，AC2 = AD AB = AF AE=AM2.所以AC = AM .(3)延长MA至点R,使得AR=AM .连接CR ,由(2)中AC = AM知，RC _L CM .所以MC2 =MD MR =2MD MA .(1) 因为(V21)2 =3 2底，(72+1)2 =3 + 2亚，(V2_1)(V2+1) = 1 ,所以x2ix2i 1 3 -2.2,3 2,2,1 :.设和式S中有a个3+2/，b个3-2& ,c个1,则a, b, c是非负整数，且a+b + c = 1005.10 05S - x2ix2ii 1= (3 + 2V2)a + (3_2V2)b + c,=3a 3b c 22(a-b)若S =2010 ,则a =b,止匕时是一个奇数.所以S不可能等于2010.(2)由(1)可知，若 S 是整数，则