相量法 复数的计算（基础教育）

1、第九章相 量 法第九章相量法 教学重点1.了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。2.掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。3. 掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。教学难点1掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。第九章相量法第一节复数的概念第二节复数的四则运算第三节正弦量的复数表示法第四节复数形式的欧姆定律第五节复阻抗的连接本章小结第一节复数的概念一、虚数单位二、复数的表达式一、虚数单位图 9-1在复平面上表示复数 参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义虚数单位为二、复数的

2、表达式图 9-1在复平面上表示复数 一个复数 Z 有以下四种表达式。1直角坐标式(代数式) Z = a + jb式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。 在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平面上的表示如图 9-1 所示。图 9-1在复平面上表示复数 2三角函数式 在图 9-1 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为 ，因此可以写成Z = a + jb = |Z|(cos jsin) 式中 |Z| 叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示，即 叫作复数

3、 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出 复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模 |Z| 构成一个直角三角形。 3指数式 利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej 4极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z =|Z|/ 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9；(4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6(7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j

4、6。(2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90)(3) Z3 = j9 = 9/90 ( j代表 90 旋转因子，即将“9”作顺 时针旋转90 )(4) Z4= 10 = 10/180 或10/180 (“”号代表 180 )(1) Z1= 2 = 2/0 解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ， ， = arctan，计算如下：(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 (6) Z6 = 8 j6 = 10/36.9 (7) Z7 = 6 + j8 = (6 j8)= ( 10/ 53.1 ) = 10/180 53.1 = 10/

5、126.9 (8) Z8 = 8 j6 = (8 + j6 ) = (10/36.9 ) = 10/180 + 36.9 = 10/143.1 。解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 计算：【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：(1)Z1= 20/53.1 ；(2) Z2 = 10/ 36.9 ；(3) Z3 = 50/120 ；(4) Z4 = 8/ 120 。(1)Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16(2)Z2 = 10/36.9 =

6、10(cos36.9 jsin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6(3) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3(4)Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928【例9-3】将下列复数改写成代数表示式：(1)Z1= /90 ；(2) Z2 = / 90 ；(2) Z2 =1/ 90 = -j(1) Z1= 1 /90 = j 解：利用关系式 Z = rcos+jrsin，计算如下：【例9-4】将下列复数A=

7、18-j40改写成坐标表示式：A=44/ 65.8 =-65.8 r=44 解：利用关系式 ， 计算如下： 第二节复数的四则运算设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规则为1加减法 Z1 Z2 = (a c) + j(b d) 2乘法 Z1 Z2 = |Z1| |Z2|/ + 3除法 / 4乘方 /n 【例9-3】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4试求：(1) Z1 Z2；(2) Z1 Z2；(3) Z1 Z2；(4) Z1 / Z2。解：(1) Z1 + Z2 = (8 j6) + (3 + j4) = 11 j2 = 11.

8、18/10.3(2) Z1 Z2 = (8 j6) (3 j4) = 5 j10 = 11.18/ 63.4(3) Z1 Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 50/16.2(4) Z1 / Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 2/ 90 第三节正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。正弦电流 i = Imsin( t i)的相量表达式为I/i正弦电压 u = Umsin( t u)的相量表达式为= U/u 【例9-4】把正弦量

9、u = 311sin(314t 30) V，i = 4.24sin(314t 45) A 用相量表示。 解：(1) 正弦电压 u 的有效值为 U = 0.7071 311 = 220 V，初相 u = 30，所以它的相量为= U/u = 220/30 V(2) 正弦电流 I 的有效值为 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相 i = 45，所以它的相量为= I/i = 3/45 A解: u = sin( t 37) V，i = 5 sin( t + 60) A。 【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，设角频率均为 ： (1) =120/37 V ； (2) = 5/6

10、0 A 。解：首先用复数相量表示正弦量 i1、i2，即I1= 3/30 A = 3(cos30 + jsin30 ) = 2.598 j1.5 AI2 = 4/60 A = 4(cos60 jsin60 ) = 2 j3.464 A然后作复数加法： I1 + I2 = 4.598 j1.964 = 5/23.1 A最后将结果还原成正弦量：i1 i2 =sin( t 23.1 ) A【例9-6】已知 i1 = sin( t 30 ) A，i2 = 4 sin( t 60 ) A。 试求：i1 i2。第四节复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律二、电阻、电感和电容的复阻抗一、复数形式的欧姆定律

11、定义复阻抗为|Z|/ 其中 为阻抗大小， = u i 为阻抗角，即电压 u与电流 i 的相位差。则复数形式的欧姆定律为 图 9-2复数形式的欧姆定律图 9-2 所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗1电阻 R 的复阻抗ZR = R = R/ 02电感 L 的复阻抗ZL = XL/ 90 = jXL = jL3电容 C 的复阻抗ZC = XC/90 = j XC = 第五节复阻抗的连接一、阻抗的串联二、阻抗的并联一、阻抗的串联图 9-3 阻抗串联电路 如图 9-3 所示阻抗串联电路。n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z = Z1 + Z2 + + Zn例如 RLC 串

12、联电路可以等效一只阻抗 Z ，根据 ZR = R，ZL = jXL，ZC = jXC，则即Z =|Z|/其中电抗 X = XL XC，阻抗大小为 为阻抗角，代表路端电压 u 与电流 i 的相位差，即【例9-7】 在 RL 串联电路中，已知：R = 3 ，L = 12.7 mH，设外加工频电压 sin(314 t 30) V。试求：电阻和电感上的电压瞬时值 uR、uL。 解：等效复阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + jL = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中 XL = 4 ，正弦交流电压 u 的相量为220/30 V。电路中电流相量为/30 53.1 = 44/2

13、3.1 A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为132/23.1 V电感上的电压相量和瞬时值分别为176/90 23.1 = 176/66.9 V 二、阻抗的并联阻抗并联电路如图 9-4 所示。图 9-4阻抗串联电路 n 只阻抗 Z1、Z2、Zn 并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z 的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即 导纳 Y 的单位为西门子(S)。于是有Y = Y1 + Y2 + + Yn即几只并联导纳的等效导纳 Y 等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为【例9-8】两个复阻抗分别是 Z1 = (10

14、 j20) ，Z2 = (10 j10) ，并联后接在 的交流电源上，试求：电路中的总电流 I 和它的瞬时值表达式 i 。解：由 Z1= (10 + j20) 可得由 Z2 = (10 j10) 可得即Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j10 = 14.14/45 由可得并联后的等效复阻抗为 于是总电流的相量即 I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为 本章小结本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。一、复数及其运算法则二、正弦量的复数表示法 三、欧姆定律与复阻抗一、复数及其运算法则1复数的表达式 (1)直角坐标式(代数式)：Z = a + jb(2) 三角函数式：(3) 指数式：Z =|Z|ej(4) 极坐标式(相量式)：Z =|Z|/ 2复数的运算法则 设 Z1 = a + jb = |Z1|/ ，Z2 = c + jd =|Z1|/ (1) 加减法：Z1 Z2 = (a c) j(b d) (2) 乘法：Z1 Z2 = |Z1|/ |Z2|/ = |Z1|Z2|/ (3) 除法： / (4) 乘方： /n 二、正弦量的复数表示法正弦交流电流 i = Imsin( t i) 的相量表达式为I/i正弦交流电压 u = Umsin( t u) 的相量表达式