解一元一次方程——去括号与去分母（基础教育）

1、 巴甫洛维奇契诃夫是19世纪末俄国现实主义代表作家之一，是杰出的短篇小说家与戏剧家他在上大学期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇小说契诃夫的作品对俄国文学和戏剧的发展有重大影响他对数学也很感兴趣，在短篇小说家庭教师中就有下面一道趣题： 新课导入1教书育人某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？ 如何解决这个问题呢？（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位）2教书育人 解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料（138x）俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5（138x）卢布，根据买两种布料共用540卢布

2、，列得方程3x5（138x） = 540怎样使这个方程转化为x = a的形式？3教书育人3.3解一元一次方程去括号与去分母4教书育人知识与能力 1掌握解一元一次方程中“去分母”、“去括号”的方法，并能解此类型的方程 2了解一元一次方程解法的一般步骤教学目标5教书育人过程与方法 1通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程2培养分析问题，解决问题的能力教学目标6教书育人情感态度与价值观 通过列方程解决实际问题，感受数学的应用价值，激发学习数学的信心教学目标7教书育人重点 解含有括号、分母的一元一次方程的

3、解法难点 1弄清列方程解应用题的思想方法； 2会用去括号、去分母解一元一次方程 教学重难点8教书育人化简下列各式：（1）3a2b（6a4b）（2）（3a2b） 3（ab）（3）5a4b（3ab）9a2bb2a3b想一想去括号时符号变化规律9教书育人去括号法则 1括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反知识回顾10教书育人解这个方程：3x5（138x） = 5403x6905x5403x5x5406902x150 x75解：去括号移项合并同类项系数化为1去括号法则 由上可知，顾客买蓝布料75俄尺所以买黑

4、布料：1387563（俄尺）11教书育人 问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44 000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿每亩用了1800元问两蔬菜各种了多少亩？ 分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种西红柿_亩种茄子每亩用了1700元那么种茄子一共用去了_元； 种西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用去了_元根据王大伯种这两种蔬菜共用去了44000元，可列方程（25x）1700 x1800 （25x）1700 x 1800 （25x）44 000怎样解这个方程？12教书育人1 700 x 1 800 （25x）44 000 x10100 x1

5、 0001 700 x45 0001 800 x44 0001 700 x1 800 x44 00045 000去括号移项合并同类项系数化为1去括号是解方程时常用的变形解：13教书育人由上可知，种茄子10亩所以种西红柿：251015（亩）答：种茄子10亩，种西红柿15亩14教书育人 例1 解方程 （1）x5（2x1）=32（x5）解：去括号，得x10 x532x10移项，得x10 x2x3105合并同类项，得9x18系数化为1,得x215教书育人（2）4x3（15x） 6x7（11x）解：去括号，得4x453x6x777x移项，得4x3x6x7x7745合并同类项，得6x32系数化成1，得16

6、教书育人 讨论：解一元一次方程的步骤是什么？（1）去括号（2）移项（3）合并同类项（4）系数化成17教书育人（1） 3x5（x3）=9（x+4）（2） 6x 2（3x5） 10（3） 2（x5）=3（x5） 6 解下列方程x10 x14练一练18教书育人 1某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？解：高全校市级三好生x人，列方程200 x50（20 x） 2000解，得x5所以校级三好生： 20 x15（人） 答：市级三好生5人；校级三好生15人练一练19教书育人 2一个笼中装有鸡、兔

7、若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只解：设鸡x只，列方程2x4（21-x） 66解，得 x9所以兔的个数为：21x12（只）答：笼中有鸡9只，兔12只20教书育人 （3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升 21教书育人解：设：设酒壶中原有x斗酒第一次遇店：第一次遇花：第二次遇店：第二次遇花：第三次遇店：第三次遇花：2x2x12x12（2x1） 4x24x2 14x32（4x3） 8x68x618x7列方程，得8x70解，得x0.875答：酒壶中原有0.87

8、5斗酒22教书育人 例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行驶需要5小时，水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的行驶速度分析：已知两个码头之间的距离相等所以：顺流速度顺流时间逆流速度逆流时间23教书育人去括号，得4x85x10移项及合并同类项，得x18系数化为1，得x18答：船在静水中的行驶速度为18千米/时解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时，则顺流速度为（x 2）千米/时，逆流速度为（x2 ）千米/时可列方程4 （x 2）5 （x2 ）24教书育人 常用的关系式 顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度 逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度归纳25教书育人 （1）

9、 一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下如果轮船在静水中的速度为每小时15千米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在 75小时内回到原码头？ 解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能保证在 7.5小时内回到原码头 列方程（153）x（153） （7.5x）解，得： x4.5 即轮船开出后： （153）x54（千米）后，返回才能保证在 7.5小时内回到原码头 练一练26教书育人 （2） 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分 1. 两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？ 2. 两人同时同地反向

10、跑，几秒后两人第一次相遇？ 3. 两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？ 4. 两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？ 54011秒26秒27教书育人 （3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈 1. 若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多长时间? 2. 救生圈是在什么时候掉入水中的? 48小时11时28教书育人 例3：（1）某工厂计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时不但完成了任务，而且比原计划

11、多生产了60件，问原计划生产多少件零件？ 分析：原计划生产x件零件，所以计划每小时生产零件数26实际每小时生产零件数246029教书育人解：设原计划每小时生产x件零件，列方程 24x（x+5） 6026x 去括号，得 24x+120-6026x 移项及合并同类项，得2x60 系数化成1,得x30所以原计划2630780（件）答：原计划生产780件零件30教书育人 （2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子） 分析：为了使每天生产的衣服和裤子正好配套，应使生产的衣服和裤子数量相等31教书育人 解：设做衣服人数为x

12、人，则做裤子的人数为（90 x）人列方程x=2（90 x）去括号，得x1802x移项及合并同类项，得3x180系数化为1,得x60所以做裤子的人数为： 60 x20（人）答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人为20人32教书育人 （1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙种零件100个甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 解：设生产甲种零件x天，列方程：2100 x3100（30 x）解，得：x18则生产乙种零件的天数为：30 x12（天） 答：应安排生产甲种零件18天，乙种零件12天练一练33教书育人 （2）某水利

13、工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 解：设每天派x人挖土，列方程 5x3（40 x） 解，得 x15 所以每天运土人数为: 40 x25（人） 答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走34教书育人 （3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？ 解：设x张白铁皮做盒身,列方程 216x45（100 x） 解，得 x60 则做盒底的铁皮为：100 x40（张）

14、 答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底35教书育人 目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著算术一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图36教书育人 丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著算术在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢

15、番图的生平读一读37教书育人 这是一座石墓，里面安葬着丢番图请你告诉我，丢番图寿数几何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年请你告诉我，丢番图寿数几何？38教书育人解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程怎样使这个方程转化为x = a的形式？ 请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？39教书育人 分析： 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数84.40教书育人去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数

16、） 移项 系数化为1 答：丢番图去世时的年龄为84岁合并同类项 14x7x12x42042x33684x14x7x12x42x 84x 42033621x756x84解：41教书育人 这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题 问题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33 42教书育人解：设这个数为x，可得方程： 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数4243教书育人解：去分母，得28x21x6x42x1386合并同类项，得97x13

17、86系数化为1，得44教书育人归纳去分母时须注意 1.确定各分母的最小公倍数；2.不要漏乘没有分母的项；3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体 45教书育人解有分数系数的一元一次方程的步骤： 1去分母； 2去括号； 3移项； 4合并同类项； 5系数化为1主要依据：等式的性质和运算律等归纳以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？46教书育人 （1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还

18、得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？ 解：设这群大雁有x只，列方程解方程，得x36提示：练一练47教书育人 （2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度 解：设火车长度为x米，列方程 解，得 x160答：火车的长度为160米48教书育人例4：解方程 解：去分母（方程两边同乘12），得3（x1） 4（2x5） 312去括号，得3x38x2036移项，得3x8x36320合并同类项，得5x13系数化为1,得49教书育人解：去分母（方程两边同乘12），得4（x4）12x5124（x

19、3）3（x1） 去括号，得4x1612x604x123x3移项，得4x12x4x3x1231660合并同类项，得17x53系数化为1,得50教书育人解：去分母（两边同乘12），得8（x6） 3（2x3） 2去括号，得8x486x92移项，得8x6x9248合并同类项，得14x37系数化为1,得51教书育人解下列方程：练一练52教书育人 例5：（1）一件工作，甲单独做25小时完成，乙单独做12小时完成那么两人合作多少小时完成？分析：本题是一个典型的工程类应用题甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量1 53教书育人解：设两人合作x小时完成此工作，可列方程 答：两

20、人合作6小时完成去分母，得4x6x60合并同类项，得x654教书育人 （2）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做12小时完成甲先单独做6小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？ 分析：把总工作量看作是1设还要x小时才能完成工作甲的工作总量乙的工作总量总工作量155教书育人答：两人合作还要4小时完成解：设两人合作还需x小时完成此工作，列方程去分母，得4x245x60移项及合并同类项，得9x36系数化为1,得x456教书育人 （3）一件工作，甲单独做15小时完成，甲、乙合做6小时完成甲先单独做6小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？ 分析：把总工作量看作是1设乙还要x小时才能完成工作甲的工作总量乙的工作总量总工作量157教书育人答：乙还要6小时完成解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：去分母，得24（104）x60去括号，得246x60移项，得6x36系数化为1,得x658教书育人工程问题1工作量、工作时间、工作效率；2这三个基本量的关系是：工作量=工作时间工作效率工作效率=工作量工作时间工作时间=工作量工作效率3工作总量通常看作单位“1”归纳59教书育人 小明预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车