试验二的应用FFT对信号进行频谱分析

1、实验二应用FFT对信号进行频谱分析20090401310074 海南大学实验二应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的1、进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解 (因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然满足 DFT的基本性质)。2、学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误 差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。二、实验原理模拟信号频率。和采样得到的数字信号频率的关系：3 T fsDTFT与对应的理想采样信号的频谱之间的对应关系为：八Xa(j-) =X(ejW)IT即DTFT与FT的关系为：.1 _：。2二X(e ) = Xa j(T

2、- r) T rT T就是说，只要知道了采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。(满足耐奎斯特采样定理)DFT是对离散时间序列的频域采样，是对ZT上单位圆上的均匀采样，或者是DTFT上0, 2呵的等间距采样。当满足频域的采样定理时，便可以由频域的采样值恢复ZT或者是DTFT所以能用DFT对信号进行频谱分析。当采样的点数足够时，便能用它 的包络作为模拟信号的近似谱。近似的过程中，可能会有混叠现象，泄露现象和栅栏效 应这三种误差。离散傅立叶变换 DFT:N .4X(k)” x(n)W；k,k ”1,2，N -1 n 01 Nx(n)=IDFTX(k) l“ X(k)WN41k,n -0,1

3、,2., N -1N n印实验二应用FFT对信号进行频谱分析反变换与正变换的区别在于 WN变为WN，并多了一个1/N的运算。因为1和亚/对 于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此借助FFT来实现IFFT.三、实验内容和结果：1.高斯序列的时域和频域特性：高斯序列的时域表达式：-支xa(n) =e q ,0n15。其它.固定参数p=8,改变参数q的值，记录时域和频域的特性如下图。05时域qO益益 / 1015频域p=0 q=2p=8 q=405G|艮W15p=8 q=810)口 I IGeOGG中051015k图1结论：从时域图中可以看到，q参数反应的是高斯序列能量的集中程度：

4、q越小，能量越集中，序列偏离中心衰减得越快，外观上更陡峭。同时，随着 q的增大，时域序 列总的能量是在增大的。频域上，对应的，随着 q的增加，由于时域序列偏离中心的衰 减的缓慢，则高频分量也就逐渐减，带宽变小：时域上总的能量增大，故也可以看到低 频成分的幅度都增大。.固定参数q,改变参数p,记录时域和频域的特性如下图2.实验二应用FFT对信号进行频谱分析期域产日q=a10 I50入中0号。0ggmy051015kp=t3q=9即& :QQQGC ；】GG GG G甲05 ID 15k p=14 q=BQL.L寸廿中T I 051015图2结论：p是高斯序列的又称中心，p的变化在时域表现为序列位

5、置的变化。由于选取的矩形窗函数一定，p值过大时，会带来高斯序列的截断。并且随着p的增大，截断的越来越多。对应地，看频域上的变化：截断的越多，高频的成分也在增多，以至发生谱间干扰，泄露现象变得严重。 从图中可以看到，在p=13时，已经有混叠存在。当p=14 时，混叠进一步加大，泄露变得更明显。.衰减正弦序列的时域和幅频特性：e9sin(2n fn),0 n x=1 2 3 5 7x =12357 y=fft(x,6)y =Columns 1 through 418.0000-8.0000 + 1.7321i0 - 5.1962i 4.0000Columns 5 through 60 + 5.19

6、62i -8.0000 - 1.7321i a=myifft(y) a =123570可以看到，a只是在x的末尾补了一个0,原因在于在y是x的6点fft,即在调用fft的过程中有给x的末尾补0的过程。所以，在回调的过程中，补充的 0还在。五、思考题1、在N=8时，xc(n)和xd(n)的DFT幅频特性会相同吗？为什么？ N=16呢？在N=8时，xc(n)和xd(n)的幅频特性相同。N=16时不同。原因如下：当N=8时,n 1,0 Mn M3xc(n) =18-n,4 n 7,即 xc(n) =(123, 4,4,3, 2,C ,10,其它n实验二应用FFT对信号进行频谱分析4 -n,0 n 3

7、I口r，、, Xd(n) =n3,4En 7, Wx d( n) =4,3, 2,1,1,2,3,4,0,其它n.N L 二谱分析时，X(k) =FFT k(n)】 = x(n)W；n ,其中 WN = e N。当 N=8 时，WN=e 4n 乂此时 X(k) =X x(n)WN1n =X x(n)e“*n ,代入，有： n 00_j 二 0k_j 二 1k二 2 k_j 二 3k二4 k二 5k二 6k_j 二 7kXc(k)=1e 4 +2e 4 +3e 4 +4e 4 +4e 4 +3e 4 +2e 4 +1e 4 (1)_j_6k_j-7 k+ 3e 4 +4e 4(2)TFTFTFT

8、FTF4-0 k_j-1k2 k J-3k 一 4k_j-5kXd(k)=4e 4 3e 4 +2e 4 +1e 4 +1e 4 2e 4调整顺序，有TFTFTFTFTFTF4kXd(k) =1e 4_j_5k_j_6k_7k_0k_1k2k_j_3k2e 4 3e 4 4e 4 +4e 4 3e 4 +2e 4 +1e 4 (3)(1)式和(3)式相对照，且e由2kn=1 ,故有Xd(k) =(-1) kXc(k),即有 Xc(k) =|Xd(k)。故 N=8时，x2(n)和 x3(n)的幅频特性相同。或者像在实验结论中运用DFT圆周移位的性质来说明，不再重复。二W - a 815k 7_j

9、_kn而当 N=16 时，Wn e 。此时 X(k) = x(n)W：n = x(n)e 8 ，易知 n=0n=0X2(k)丰X3(k)。即n=16时,Xc(k)和Xd(k)的幅频特性不同。2、实验中的信号序列 xc(n/Dxd(n),在单位圆上的Z变换频谱Xc(ej和Xd(ej)会相同吗？哪一个的低频分量多，说明原因？Xc(ejw)和Xd(ej)是不同的，三角序列 Xc(ej号的低频分量更多。可以这样解释:boX(ejG) =DTFT x(n)= x(n)e ,并且频谱的分布反映时域变化的快慢程度。就n 二二是说，时域信号变化的越剧烈，频域的高频分量便较多，对应的，时域的信号较平缓，则频域的

10、低频分量较多。 可以看到，在xc(n)和xd(n)的非零域内，xc(n)和xd(n)的变换程度是相当的，变化量都是1 (增加1或者减小1)。不过在零域和非零域的分界处，xc(n)的变化量是1,而xd(n)的变化量是4,要大得多，也就是变化的剧烈的多，就不奇怪xd(n)的高频实验二应用FFT对信号进行频谱分析分量要多了。3、对于一个有限长序列进行离散傅里叶变换（DFT）时，等价于将该序列周期延拓后进行傅里口t级数（DFS展开。因为 DFS也只是取一个周期来运算，所以FFT在一定的条件下也可以用以分析周期信号序列。如果实正信号sin（2n fn）, f =0.1 ,用16点的FFT来做DFS运算，

11、得到的频谱是信号的真实谱吗？不是的，该实正信号的周期 N=10,只有当进行 N的整数倍的FFT时，才能得到真实的 频谱。六、实验总结数字低频是 8=0 ,数字高频是 缶=冗.当满足耐奎斯特采样定理：fs 土 2fc时，6c =2冗*/fs Wn ,当且仅当fs=2fc时，。=n.也就是说，数字频率中的高频 冗对的是模拟频率1/ 2fs.当在DTFT的X （ej叼的0, 2n内采样N个点时，第N/2条谱线就代表着数1 一一 一 一 ，一字最高频率江，也即代表着模拟频率1/2%。一般的小于1fs的频率f ,可以用 s2,fs -， ，_，乂，、E 一，一，%f =kF = k上来计算对应的谱线位置

12、。所以，看 DFT幅频特性的第N/2条谱线附近的幅值 N就可以知道，频谱间的干扰和混叠程度。同时，若采样频率1/2fs越高，频谱能分析的范围自然就越广。对信号进行谱分析的重要问题是频谱物理分辨率F0和误差分析。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是fs/N （N是实际采样点数）。因此，可以在保持采样频率的前提下，增加采样的点数能增加分辨率。误差主要来自于用 FFT作频谱分析时，抽样的过程；从无限的离散序列中截取有限个序列的过程；频谱是离散的等，而模拟信号（周期信号除外）的频谱是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续 谱。所以，还是要求 N要适当选择大

13、一些。不过，N的增大，最直接带来的，就是运算量的增大。需要注意的是，在有效的采样序列后补零增大N值不能提高物理分辨率，此种方法只是“搬移了栅栏的位置”，使原来看不到的频率不再被遮挡了。只有实际记录的数据长度越大，频率的分辨率能力才越强。对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周实验二应用FFT对信号进行频谱分析期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。附录，部分matlab程度代码n=0:15; %q=8,p=8,13,14p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).A2/q);close all;subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);title(时域)；subplot(3,2,2);stem(n,abs(fft(x);title(频域 p=8 q=8);xlabel(k);p=13;q=8;x=exp(-1*(n-p).A2/q);subplot(