专题14 二项分布(解析版)

1、专题14二项分布例1.已知随机变量XB(4,1)，那么随机变量X的均值E(X)=(D.8OO-9A【解析】解：；随机变量XB(4,1)14E(X)=4x=33故选：B例2.设随机变量Y满足YB(4,)，则函数f(x)=x2-4x+4Y无零点的概率是(2A1116B516C3132D【解析】解：因为函数f(x)=x2-4x+4Y无零点,所以=(-4)24x1x4Y1所以P(Y1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=C2(1)2(1)2+C3(1)3(1)+C4(1)4(1)o=1142242242216故选：A例3.我们知道，在n次独立重复试验(即伯努利试验)中，每次试验中事件A发生的概

2、率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p)，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P(Y=k)=p(1p)k-1，k=1，2,3,，我们称Y服从-“几何分布”经计算得E(Y)=-.由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和A都发生后停p止，此时所进行的试验次数记为Z，则P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2，3,.，那么E(Z)=()A.11B.丄C.1+1D.-p(1-p)p2p(1-p)(1-p)2【解析】解：P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2，3，P(Y=k

3、)=p(1-p)k-1，k=1，2,3，可得E(Y)=丄pp(Y=k)=p(1-p)k-1,k=2,3,.,E(Y)=丄pp=-p+2(1-p)p+3(1-p)p2+k(1-p)pk-i+.p设A=2p+3p2+kpk-1kpA=2p2+3p3+.+(k-1)pk-1+kpkkp(1-pk-1).(1-p)A=2p+p2+p3+pk-1一kpk=p+一kpkTOC o 1-5 h zk1-p:.kT+8时，(1-p)ATp+k1-pp1:E(Z)=-p+p+J=-1p1-pp(1-p)故选：A例4.已知随机变量X,Y满足X+Y=8，若XB(10,0.6)，则E(Y),D(Y)分别是()A6和2

4、.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】解：随机变量X,Y满足X+Y=8,XB(10,0.6):.E(X)=10 x0.6=6D(X)=10 x0.6x0.4=2.4E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2，D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4故选：BTOC o 1-5 h z例5.设随机变量X,Y满足：Y=3X-1,XB(2,p)，若P(X1)=5，则D(Y)=()A4B5C6D7【解析】解：随机变量X,Y满足：Y=3X-1,XB(2,p),P(X$1)=54.：p(X=0)=1P(X1)=C0(1-p)2=29解得p=1,：XB(2，1)114:D(X)=2xx(1-)

5、=3394:D(Y)=9D(X)=9x=4故选：A例6.已知gB(4,3)，并且耳=2g+3，则方差Dr-(工9.A167Boo-9【解析】解：1=2g+3:.Dr=4Dg又Dg=412=8，Dr=323399故选：A.例7.设X为随机变量，X驱1),若随机变量X的数学期望E(X)=2，则P(X=2)等于()A.8013243B.24324313D.16【解析】解：；随机变量X为随机变量,其期望E(X)=np=3n=2，/.n=6p(x=2)=Cr(1)2(i-1)4=曇故选：A.例8.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=2,D(X)AB.-3c.1D.14解析】解：由随机变量

6、X服从二项分布B(n,p)又E(X)=2D(X)=-3所以=24，np(l-p)=3解得：p=3故选：C例9某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回重复6次这样的试验，那么取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是()A.丄B.丄C.D.16161616解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回.取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率p=CC1=-C326重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中

7、有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：P（x=3）=c；（2）3（1）3516故选：B例10.我国的5G研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通5G基站超过20万个.某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按如图方式连接而成.已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作.据统计，元件A和元件B正常工作超过10000小时的概率分别为1和4.25求该装置正常工作超过10000小时的概率；(II)某城市5G基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数.【解析】解：(I)元件A至少有一个正常工作超过100

8、00小时的概率1-(=这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：1200 x=840台.10例11.设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p(p，qe(0,1)，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为g.(1)当p=q=1时，求数学期望E(g)及方差V(g);2当p+q=1时，将g的数学期望E(g)用p表示.【解析】解：(1)每位投球手均独立投球一次，47则该装置正常工作超过10000小时的概率为P=1-(丄)3x4=510(II)设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X台，7则X服从二项分布XB(1200,)10当p-q-2

9、时每次试验事件发生的概率相等,.弋B(3,1)，由二项分布的期望和方差公式得到结果213113np二3x-二2，np(l-p)二3x-x(1-乙)二才(2)g的可取值为0,1,2，3p(g二0)二(1-q)(i-p)2二pq2p(g二1)二q(1-p)2+(1-q)C1p(i-p)二q3+2p2q2P(g二2)二qC1p(1-p)+(1-q)p2二2pq2+p32P(g二3)二qp2g的分布列为g0123Ppq2q3+2p2q2pq2+p3qp2Eg二0 xpq2+1x(q3+2p2q)+2x(2pq2+p3)+3xqp2二1+p例12某射手每次射击击中目标的概率是4，求这名射手在10次射击中

10、，5恰有8次击中目标的概率；至少有8次击中目标的概率【解析】解：(1)；某射手每次射击击中目标的概率是-则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的5概率为C8(4)8(1)21055(2)至少有8次击中目标的概率为C8()8()2+C9()9+()10105510555例13个盒子里有2个黑球和m个白球(m$2,meN*)现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回若取出2球的颜色相同则为中奖,否则不中求每次中奖的概率p(用m表示)；若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f(p)，当m为何值时，f(p)取得最大值？【解析】解：(I)取出2球的颜色相同则

11、为中奖，m2-m+2m2+3m+2C2+C2C2m+2每次中奖的概率p=CmC若m=3，每次中奖的概率p=|三次摸奖恰有一次中奖的概率为cr|(1-12=艺三次摸奖恰有一次中奖的概率为f(p)=C1p(1-p)2=3p3-6p2+3p(0p2)=1-P(X=0)-P(X=1)12131=1-C50(3)5-C5(3)(3)4=亦(3)由题意知Y=0,1,2,3,4,5,P(Y=0)=3p(y=1)=34=P(Y=2)=(2)2丄=,P(Y=3)=(2)3丄=3273381P(Y=4)=中3=16243P(Y=5)=(|)5=32243422243(II)如果市民幸福感指数达到6,则认为他幸福.

12、据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3Y012345P12481632392781243243.随机变量Y的分布列:.ey=1x2+2上+3x1+4x工+5x昱=92781243243例15“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示:幸福感指数0,2)2,4)4,6)6,8)8,10)男市民人数1020220125125女市民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题:(I)完成频率分布直方图，并根据频率分布

13、直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；(参考数据:2x1+3x3+40 x5+30 x7+25x9=646)【解析】解：(I)幸福感指数在4,6),6,8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300因为总人数为1000，所以，相应的频率一组距为：400十1000十2二0.2,300十1000十2二0.15据此可补全频率分布直方图如右图所求的平均值为0.01x2x1+0.015x2x3+0.2x2x5+0.15x2x7+0.125x2x9二6.46（II）男市民幸福的概率是岂存=0.5女市民幸福的概率是需=06一对夫妇都幸福的概率是0.5x0.6二0.3故所求的概率为C303

14、3072=0.1323510幸福感指数例16德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率322143321）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记&表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求E的分布列及期望E.【解析】解：（1）分别记甲对这四门

15、课程考试合格为事件A,B,C,D且事件A,B,C,D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)3221322132115+一+3324332433212（2）由题设知g的所有可能取值为0,1,2,3,B（3,詈）7P（g0）即才343172857P(g1)%怙2_735_28P(g2)C2寺T灑P(g1251728弋的分布列为:g0123P3437355251251728172817281728弋B(3,咅)12Eg3x124例17甲、乙两选手比赛假设每局比赛甲胜的概率是3，乙胜的概率是1，不会出现平局.1）如果两人赛3局，求甲恰好胜

16、2局的概率和乙至少胜1局的概率；2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率【解析】解：甲恰好胜2局的概率p-即討3-4乙至少胜1局的概率P2-1-（3）3-27（2）打3局：282128()3；打4局：C2x()2xx-327333327打五局：C2x,2、J、24816)2X()2X一一33334381因此甲获胜的概率为64例18为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的（I）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其

17、期望值；（II）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳.如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害【解析】解：（I）设成活沙柳的株数为X,则X=0,1,2,3,4,且有4分)值7分）P(X=k)=Ckpk(1p)4-k(k=0,l,2,3,4)4据题意，每种植3株就有2株成活，p=3.株数X的分布列为X01234P1_8_8_32西8181278181.X的期望EX=0 x丄+1x+2X+3x32+4x16=-81812781813（II）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x，则这当中的每一个人都

18、种植了4株沙柳.据（I）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳8株，因此，共种植成活的沙柳-x33株.（10分）据题意，需x24000，解得90003所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害例19.袋中装有13个红球和n个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，若从袋中同时取两个球，取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍1）试求n的值；2）某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不

19、中奖（也发鼓励奖金100元）试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值【解析】解：（1）记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件A和B根据题意，得：P(A)=占,P(B)C213+n令P(A)=3P(B),ClCl=13n,C213+nkeN*C2cC1C1即一L=3一TTC2C213+n13+n解得n=2(2)设中奖人数为耳，不中奖人数为21-n，奖金为g则g=i000n+100(21-n)即g=900n+2100每人中奖的概率为P(B)C1C126=2=C210513+2En26105Eg=900 x26+2100=6780故此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值为6780元例20为备战2012年伦敦奥运会，两家篮球队分轮次进行分项冬训训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概