土木工程制图讲义点线面投影篇7

1、 第三章(7) 直线与平面、平面与平面的相对位置王雷二、辅助平面法1.一般位置直线与一般位置平面相交K 引入辅助平面P 过已知直线作投影面的垂直面，则转化为垂直面与一般位置平面相交问题。 包含直线MN作辅助平面P。 辅助平面P与平面ABC的交线。 求交线与直线MN的交点 即为直线与平面的交点。作图步骤：XOnmabcanmbc根据重影点、可判别出正面投影的可见性；根据重影点、可判别出水平投影的可见性。PH212kk343（4）（ ）551过mn作铅垂面作 图例1：求平面ABC与直线MN的交点。求铅垂面与ABC交线判别可见性求交线与MN交点K利用重影点 nmabcanmbckk45kk 交点是线

2、与平面投影重叠部分可见与不可见的分界点。 在每个投影上分别选一对重影点判断。可见性判断XOnmabcanmbcPH212kk343（4）（ ）5512.两一般位置平面相交（1）线面交点法 在一平面内任取两条直线，作出它们与另一平面的交点，将所得交点连成直线即为所求。XOadbefcdaefcb分析：视平面DEF的两边DE、DF为空间一般位置直线，分别求出它们与ABC的交点K、M，连接KM即为所求。XOadbefcdaefcb1212k3434kmm（1）线面交点法 利用辅助面法求DE与ABC的交点K 利用辅助面法求DF与ABC的交点M 连接KM，即ABC与DEF的交线作图：PVRVXOadbe

3、fcdaefcb1212k3434kmm55( )667(7)（1）线面交点法 利用辅助面法求DE与ABC的交点K 利用辅助面法求DF与ABC的交点M 连接KM，即ABC与DEF的交线作图： 利用重影点判断可见性 完成ABC与DEF各边的轮廓注意： 所做的辅助面为垂直面 辅助面所包含的直线是任选的 交线在两平面图形的公有区内 若所做的辅助面与交线平行，交点在无穷远处，应重选辅助面PVRVXOadbefcdaefcb2m43mnn566(7)mnmn交线是两相交平面投影重叠部分可见与不可见的分界线。在每个投影上分别选则一对重影点判断。同面的异侧，异面的同侧可见性相反。可见性判断（2）三面共点法

4、求两面交线时，作一辅助平面P1，该辅助平面与两已知平面产生交线，两条交线的交点即为三面共有点。即两已知平面共有点。P1VP2Vefgefgacbdabdc1234k1k212345566k1k2例：求ABC与 DEFG的交线。 利用辅助面法求水平面Pv1与及 的交线和 作图： 交线和 的交点K1即为共有点 同理求出K2，连线即可。 37 垂直问题垂直问题 直线与平面垂直 平面与平面垂直包括 直线与直线垂直直角投影定理： 空间垂直的二直线，其中有一条直线平行与某一个投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍保持垂直。直线与直线垂直2. 直线与平面垂直 若一直线垂直于属于某平面的任意两条相交直线，则此

5、直线垂直于该平面。反之，如果在某平面内过任意点，均能作出两相交直线与空间已知直线垂直，则此平面与该直线垂直。几何条件：例：过点S作直线垂直于平面ABC。sabcabcs1212ll根据直线垂直平面的投影规律,作属于ABC的正平线A、水平线A。然后由点S（s，s）作l a 1 ，l a2，则直线L（l ，l）即为所求。作图：例：过点S作平面垂直于直线AB。a b s sabcc d d作图：根据直线与平面垂直的投影规律，过点S作水平线SC，使其水平投影scab；再过点S作正平线SD，使其正面投影s d a b ，则相交两直线SCSD所确定的平面即为所求。3.平面与平面垂直几何条件： 若一直线垂直

6、于某平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。 反之，若两平面互相垂直，则由属于第一个平面的任一点向第二个平面作垂线，此垂线必属于第一个平面。PPABRQQAK例：过点S作一平面垂直于平面ABC。a b c abcs s11 2 2d de e分析：根据两平面垂直的几何条件，首先过点S作ABC的垂线SD，再任作一条直线SE与SD相交，所组成的平面即为所求。作图：1）在 ABC内任作一条正平线C和一条水平线C。 2）自点S作SD ABC。 3）过点S任作一直线SE，与SD构成一平面即为所求。有多少解？有无数解例：过点S作一平面垂直于平面ABC。a b c abcs s空间及投影分析 平面AB

7、C是一般位置平面，过点s作正平线垂直于平面内一般位置直线AC的 投影ac，再过点s作水平线垂直于ac，则两相交直线所示平面即为所求。综合作图举例一 解题的一般步骤 1、 题意分析主要分析题中给出的已知条件，判断题中所给或要求的几何元素是否处于特殊位置，明确题目要求求解的几何元素或几何量；2、 空间分析分析题示已知条件与待求几何元素、几何量之间有何几何关系，以明确解题思路，确定解题方法及方案。综合作图举例 3、 投影作图根据解题思路及解题步骤，找出相应的各种基本作图原理和作图方法进行投影作图；4 、题解讨论必要时，还应对题解进行讨论，证明答案确能满足题目要求的几何条件或解答的存在性，是唯一解还是

8、多解等。二 举例1 已知矩形ABCD的一边两投影和其邻边一投影，完成矩形投影图。分析：矩形相邻两边相交成90角。所以BC必属于过B点并垂直于AB的平面P。因此，只要作出该平面P，因bc已知，问题转化为面上取线，然后根据对边互相平行的性质，即可完成矩形的投影。1）过B作平面B垂直于AB。2）bc交12于3求出3。3）连b3并延长，据c求c。4）作cd/ab； ad/bc； ad/bc；cd/ab。XObabac121233cdd2求点S到直线AB的距离。ssababddcckkskSKpASKB题意分析：由S作直线AB的垂线，垂足为K，则SK实长为所求。空间分析：AB为一般位置直线，过点S作P面

9、垂直AB（作平行线），求出垂足K，再求垂线SK实长。投影作图：1）sdab，sd/OX，scab ，sc/OX。2） 求P平面与AB交点K。3）直角三角形法求SK实长。3 求两平面的距离。分析：两平行平面间的距离为两平面的公垂线。因此，只要过一平面上任一点，作一直线垂直平面，则该直线必定与另一平面垂直。1）过k作kfkm，过k作kfkn，则kf 平面MKN。2）求直线KF与ABC交点G，则KG即为所求。XOnnmkbacmkacbgg1212kg实长ff分析：所求的直线MN平行AB，MN一定属于与AB平行的平面P，MN与交叉两直线CD、EF相交，则平面P应包含其中一直线CD（或EF），平面P与

10、另一直线EF（或CD）相交，交点为M，过M作直线AB的平行线与CD（或EF）相交于点N，即为所求的直线MN。4 已知三直线AB、CD、EF，求作一直线MN与CD、EF相交且与AB平行。ababcdefcdefpp2121mnnmBACNMFEPD分析：所求的直线MN平行AB，MN一定属于与AB平行的平面P，MN与交叉两直线CD、EF相交，则平面P应包含其中一直线CD（或EF），平面P与另一直线EF（或CD）相交，交点为M，过M作直线AB的平行线与CD（或EF）相交于点N，即为所求的直线MN。5已知直角三角形ABC的直角边AB，其斜边BC属于直线BM，求作此直角三角形。分析：由于直角三角形ABC

11、的BAC是直角，所以与AB边垂直的另一直角边AC必在过点A且与AB垂直的平面P内，而点C即为P与BM的交点。PMBCAmabmabeedd1212cc 4 已知三角形ABC和距该平面为L 的一点 M的正面投影m，求作点M的水平投影m。分析： 符合条件的点的轨迹是距三角形ABC为L的一个平面，设为Q，可先将此轨迹平面作出，所求点M一定属于该平面，根据从属性，按面内作点的方法便可作出点M的水平投影m。macbacbL1122ddadA0E0Lee作图：1）过点A作平面ABC垂线；2）在垂线上任取点D；3）求出AD实长；4）在实长上量取L，求出所对投影长度；即E点距平面ABC为L； 4 已知三角形ABC和距该平面为L 的一点 M的正面投影m，求作点M的水平投影m。macbacbLddadA0E0Leeggffhkhkm5）过E点作面EFG平行与ABC；6）M属于平面EFG，面上求点M。1.直线与平面平行直线与平面上任一直线平行 直线与平面平行2.平面与平面平