2020_2021学年新教材高考数学专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用含解析选择性必修第一册

1、PAGE PAGE 15专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用解答题1.(2020陕西西安中学高二月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,BAD=60.(1)求证:BD平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.2.(2020安徽合肥六中高二上期末,)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ACAB,AC=AB=4,AA1=6,点E、F分别为CA1、AB的中点.(1)证明:EF平面BCC1B1;(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值.3.()如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.(1)求点N到直线

2、AB的距离;(2)求点C1到平面ABN的距离.4.(2020山东烟台第一中学高三上联考,)如图所示的几何体中,BEBC,EAAC,BC=2,AC=22,ACB=45,ADBC,BC=2AD.(1)求证:AE平面ABCD;(2)若ABE=60,点F在EC上,且满足EF=2FC,求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值.5.()如图,一个正三角形ABC和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中AB=8,BD=AD=43,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将ABC翻折成ABC,使二面角C-AB-D为120,设CE的中点为H.(1)求证:平面CDF平面AGH;(2)求异面直线AB与CE所成角的

3、正切值;(3)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值.6.(2020重庆西南大学附中高二上期末,)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P、B重合),平面ADE交棱PC于点F.(1)求证:ADEF;(2)若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为33020,求点B到平面AEC的距离.7.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(1)求异面直线AC与PB间的距离;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并求出N到A

4、B和AP的距离.8.(2020河南河大附中高二上期末,)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值.深度解析答案全解全析解答题1.解析(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又因为ACPA=A,所以BD平面PAC.(2)设ACBD=O.因为BAD=60,AB=2,所以BO=1,AO=CO=3.如图,以O为坐标原点,直线OB,OC分别

5、为x轴,y轴,过点O平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,-3,2),A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),所以PB=(1,3,-2),AC=(0,23,0).设PB与AC所成角为,则cos=|PBAC|PB|AC|=62223=64,即PB与AC所成角的余弦值为64.2.解析(1)证明:如图,连接EC1、BC1,因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱,所以E为AC1的中点.又因为F为AB的中点,所以EFBC1.又EF平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以EF平面BCC1B1.(2)以A1为原点,A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y

6、、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,则A(0,0,6),B1(0,4,0),E(2,0,3),F(0,2,6),所以B1F=(0,-2,6),AE=(2,0,-3),AF=(0,2,0),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则nAE=2x-3z=0,nAF=2y=0,令x=3,得n=(3,0,2),记B1F与平面AEF所成角为,则sin=|cos|=|B1Fn|B1F|n|=313065.3.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),N是CC1的中点,N(0,4,2).(1)AN=(0,4,2),AB=(2

7、3,2,0),则|AN|=25,|AB|=4.设点N到直线AB的距离为d1,则d1=|AN|2-ANAB|AB|2=20-4=4.(2)设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由nAB,nAN,得nAB=23x+2y=0,nAN=4y+2z=0,令z=2,则y=-1,x=33,即n=33,-1,2.易知C1N=(0,0,-2),设点C1到平面ABN的距离为d2,则d2=C1Nn|n|=-4433=3.4.解析(1)证明:在ABC中,BC=2,AC=22,ACB=45,由余弦定理可得AB2=BC2+AC2-2BCACcos45=4,所以AB=2(负值舍去),因为AC2=AB2+BC2,所以A

8、BC是直角三角形,ABBC.又BEBC,ABBE=B,所以BC平面ABE.因为AE平面ABE,所以BCAE,因为EAAC,ACBC=C,所以AE平面ABCD.(2)由题易得EB=2AB=4,由(1)知,BC平面ABE,所以平面BEC平面ABE,如图,以B为原点,过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴,BE,BC所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系Bxyz,则C(0,2,0),E(4,0,0),A(1,0,3),D(1,1,3),因为EF=2FC,所以F43,43,0,易知AD=(0,1,0),AF=13,43,-3,设平面FAD的法向量为n=(x,y,z),则ADn=0,AFn=0,即y=

9、0,13x+43y-3z=0,令z=3,则x=9,所以n=(9,0,3).由(1)知EA平面ABCD,所以EA=(-3,0,3)为平面ABCD的一个法向量.设平面FAD与平面ADC的夹角为,则cos=|EAn|EA|n|=2423221=277,所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为277.5.解析(1)证明:因为四边形ABDE为平行四边形,F、G分别为AB、DE的中点,所以四边形FDGA为平行四边形,所以FDAG.又H、G分别为CE、DE的中点,所以HGCD.因为FD、CD平面AGH,AG、HG平面AGH,所以FD平面AGH,CD平面AGH,因为FD、CD平面CDF,FDCD=D,所以平

10、面CDF平面AGH.(2)因为三角形ABC为正三角形,BD=AD,F为AB的中点,所以ABCF,ABDF,所以CFD为二面角C-AB-D的平面角,又CFDF=F,所以AB平面CFD,因为AB平面ABDE,所以平面CFD平面ABDE.作CO平面ABDE于O,则O在直线DF上.又二面角C-AB-D的平面角为CFD=120,所以O在线段DF的延长线上.易知CF=43,则FO=23,CO=6.以F为原点,FD、FA所在直线分别为x轴、y轴,过点F平行于OC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,4,0),B(0,-4,0),D(33,0,0),E(33,8,0),C(-23,0,6),所以A

11、B=(0,-8,0),CE=(53,8,-6).所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为|cos|=|ABCE|AB|CE|=64857=8735,从而其正切值为1-873528735=1118.(3)由(2)知CD=(53,0,-6),DE=(0,8,0),设平面CDE的法向量为n1=(x,y,z),则由n1CD,n1DE得53x-6z=0,8y=0,令z=53,得n1=(6,0,53).易知平面DEF的一个法向量n2=(0,0,1),所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为|cos|=|n1n2|n1|n2|=53737.6.解析(1)证明:底面ABCD为矩形,ADBC,又AD平面PBC,

12、BC平面PBC,AD平面PBC.又AD平面ADE,平面ADE平面PBC=EF,ADEF.(2)如图,取AD的中点O,连接PO,过点O作OHAB交BC于点H.侧面PAD为正三角形,POAD,平面PAD平面ABCD,且交线为AD,PO平面ABCD,底面ABCD为矩形,ABAD,OHAD.以O为原点,OA,OH,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),PB=(1,3,-3),AC=(-2,3,0).设PE=PB(01),则E(,3,3-3),AE=(-1,3,3-3).设平面AEC的法

13、向量为n=(x1,y1,z1),则nAC=0,nAE=0-2x1+3y1=0,(-1)x1+3y1+(3-3)z1=0,令x1=3,则y1=2,z1=3(3-1)-1.平面AEC的一个法向量为n=3,2,3(3-1)-1.易知OP=(0,0,3)是平面ABC的一个法向量.|cos|=|OPn|OP|n|=9-3-1313+3(3-1)2(-1)2=33020,解得=23,E23,2,33,BE=-13,-1,33.又平面AEC的一个法向量n=(3,2,-33),点B到平面AEC的距离为|BEn|n|=6210=31010.7.解析(1)由题意得ABAD,PAAD,PAAB.以A为原点,AB所在

14、直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(0,0,2),设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则nAC,nPB,nAC=3x+y=0,nPB=3x-2z=0,令x=1,则y=-3,z=32,即n=1,-3,32.设异面直线AC、PB之间的距离为d,则d=|APn|n|=31+3+34=25719.(2)设在侧面PAB内存在一点N(a,0,c),使NE平面PAC,由(1)知E0,12,1,NE=-a,12,1-c

15、,NEAP=2(1-c)=0,NEAC=-3a+12=0,解得a=36,c=1,N36,0,1,N到AB的距离为1,N 到AP的距离为36.8.解析(1)证明:由题意可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.如图,取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又ABC是正三角形,所以BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA,OB,OD的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,|OA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,即E为DB的中点,得E0,32,12.故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=-1,32,12.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则nAD=