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文档简介

1、热力学与统计物理学课后习题及解答选用教材:汪志诚主编,高等教育出版社第一章热力学的基本规律试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数kT解:由理想气体的物态方程为PVnRT可得:等温压缩系数:K VV 1nRT1PV( P2) P体胀系数:1aVVTp压强系数:B-PPTv1nR1VPT1nR1PVT体胀证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质,其物态方程可由实验测得的系数及等温压缩系数kT,根据下述积分求得:lnVadTKdP11如果a,k,试求物态方程TPadTKdP解:体胀系数:a1 V ,等温压缩系数:KV T p以T, P为自变量,物质的物态方程为:V其全微分为:dV V dT

2、V dPT PP tV T,PO/dT VKdPdVadT KTdPT这是以T,P为自变量的全微分,沿任意的路线进行积分得:lnV根据题设,将a1,K-,代入:lnV1dTdPTPTP得:InVlnTC,PVCT,其中常数C由实验数据可确定P1.5描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力 ,物态方程是fL,T0,实验通常在1Pn下进行,其体积变化可以忽略1II线胀系数定义为:a)等温杨氏模量定乂为:Y,其中A是LTALT金属丝的截面积。一般来说,和丫是T的函数,对仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T-降至T2时,其张力的增加为:ya

3、T2t-0解:由fl,T0,可得:,T TOC o 1-5 h z 微分为:d dLdT,由题意可知:dL0。AYA、,dLaAYLLtTLL又因为:TLTLT即:dAYdT,积分得:&AYg-TJ1.7在25C下,压强在0至1000Pn之间,测得水的体积为:V18.0660.715103P0.046106P2cmlmol1。如果保持温度不变,将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所作的功。解:将体积与压强的关系简记为:VabPcP2,求导可得:dVb2cPdP温度不变,将1mol的水从1pn加压至1000pn,此过程中外界所作的功为:VbVaPdVpBP b 2cP dPPa12

4、2 3bP cP231ooo1-i 33.1J .mol1.10抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强Po时将活门关上。试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U与原来大气中的Uo之差为uUoPoVo,其中Vo是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体,求它的温度和体积。解:假设气体冲入小匣之前的状态为(P,Vo, To),内能是Uo。气体冲入小匣后的状态为(Po, V, T),这时的内能为U;外界对气体所做的功为:PodVo o由热力学第一定律:UQW, Qo,可得:U UooPodVoVo即:UUoPoVo(证毕),理想气体的内能:U Uo Cv T T

5、o,由物态方程:PoVoRToC 得:C/T Cv RTo,所以:R CATo 汛CvCv等压过程:VVoTY/oTo1.11满足PVnC常量的过程称为多方过程,其中常数n名为多方指数。试证明,理想气体在多方过程中的热容量Cn为:Cnn丫Cv。n1证明:、穿ndUPdVPdVCvdTndTn由理想气体的物态方程PVRT,可得:PdVVdPRdT以及理想气体多方过程pvnC,可得:PnVn1dVVndPoPndVVdP0(3),用(2)式减(3)式可得:PdVPndVRdTdVRdT n 1 n P(4),将(4)式代入(1)式可得:CnCv由迈耶公式:CpCvR,以及:乞Y,可得:Cv1R(6

6、)将(6)式代入(5)可得:Cn刖CV,证毕试证明:理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数,该过程一定是多CC方过程,多方指数nJ-o假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。CnCV解:由热力学第一定律:dUdQdW,对于理想气体:dUCvdT,而dWPdV,dQCndTo代入可得:CvdTC.dTPdV即:CnCvdTPdV(1),理想气体的物态方程:RTPV(2)由(1)式和(2)式可得:(Cn5); RdVV(3)dP dVdT,代入(3)式,消去一可得(Cn Cv)八(Cn Cp)八P0 :令:nCnCnCPCv即:于吟。,若Cn,Cp,Cv都是常量,则积分得:C证明了该过程是多方

7、过程温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后,水温达到100C试分别求水和热源的嫡变以及整个系统的总嫡变。欲使整个系统的嫡保持不变,应如oc何使水温从0c升至100C?已知水的比热容为4.18Jg1K1解:为了求水的嫡变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0C升至100C。在这与100C之间。令水依次从这些热源吸收热量,使水温由可逆过程中,水的嫡变为:373mlepdT373373273mCpIn1034.18In1304.6JK273273这一过程中水所吸收的总热量Q为:QmCpT10004.183732734.18105J为求热源的嫡变,假设热源向温度比100C略

8、低的另一热源放出热量Qo在这可逆过程中,热源的嫡变为:S热源执 八、4.18 10 j k 13731120.6J K 1整个系统的总嫡变为:S总S水S热源184JK1。为使水温从0C升至100C而整个系统的嫡保持不变,将水逐个与温度分布在0C与100C之间的一系列热源接触。这一系列热源的嫡变之和为:S热源373mCpdTmCp|n37310004.18In3731304.6JK1热273T273273整个系统的总嫡变为:S总S水S热源010A的电流通过一个25的电阻器,历时1so(i)若电阻器保持为室温27C,试求电阻器的嫡增加值。(ii)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27C,电阻器的

9、质量为10g,比热容Cp为0.84Jg1k1,问电阻器的嫡增加为何?解:(i)以T,P为状态参量,该过程是等压过程,如果电阻器的温度也保持为室温27r不变,则电阻器的嫡作为状态函数也就保持不变。(ii)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的热量Q将全部被电阻器吸收使其温度由T1升为T2,即:|2RtmCpT2T10I2Rt102251 TOC o 1-5 h z 求得:T2T1竺(300600KmCp100.84电阻器的嫡变为:T2mCpdTT26001S-mCpIn-(100.84InJK15.8JK1T1TT;300均匀杆的温度一端为Ti,另一端为T-,试计算达到均匀温度1T,T-后的熵增。解:坐标为 x 处的初始温度为: Tx T1x ,设单位长度的定压热容为Cx ,则CplCx,因止匕:T1

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