1机器人动力分析

1、机器人动力学分析【摘要】机器人学是一门高度交叉的前沿学科，涉及到电子学、计算机科学、控制理论、传感器技术、机械工程、仿生学、人工智能、社会学等多门学科。本文基于轨迹优化、齐次坐标及其传递矩阵、运动学模型，应用牛顿-欧拉方法，并对牛顿-欧拉方程进行改进，使改进的方程易于研究者接受，由此建立了机器人工作机构作业的动力学模型。【关键词】机器人运动学动力学牛顿-欧拉方程动力学分析的概述机器人是一个多自由度的高精度空间运动机械，它由一系列杆件通过旋转关节或移动关节连接起来的开式运动链，这使得机器人动力学分析变得十分复杂，作用在机器人上的外力与关节驱动力矩或驱动力的关系、各关节的驱动功率，不是一般机构分析

2、方法能够解决得了的，必须要针对其采用特殊的动力学分析方法。机器人动力学分析包括各关节的力分析、力矩分析、驱动力矩或驱动力分析和各关节的驱动功率分析。在机器人运动过程中，每个关节受到的力和力矩都要受到其相邻杆件的影响，而且每个关节的重力负载和惯性负载随机器人的手臂的位型的变化而变化，在高速条件下，还存在不可忽视的离心力和哥氏力的影响。因此，机器人是一个多输入多输出的非线性的强耦合的动力学系统，机器人的动力学分析十分复杂。动力学研究的是物体运动和元件受力之间的关系。机器人动力学解决两类问题：动力学正问题和动力学逆问题。动力学正问题是根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动；动力学逆问题是已知轨迹对应

3、的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩和力1。对机器人动力学研究所采用的方法很多，有拉格朗日方法、牛顿-欧拉方法、凯恩等方法1。牛顿-欧拉方程是基于运动坐标和达朗贝尔建立起来的，没有多余信息，计算速度快，是至今最为有效的逆动力学数值算法之一。根据理论力学可知，动力学普遍定理有三个：动量定理、动量矩定理和动能定理。应用动力学普遍定理来建立机器人机构动力学方程的方法，是对每个刚体（构件）应用动量定理，得出质心运动方程；应用相对于质心的动量矩定理建立刚体动态的变化与作用力之间的关系，即刚体与其质心一起的平动规律决定于刚体上作用力的主矢，而刚体相对于质心的转动规律决定于刚体作用力对质心的主矩2

4、。应用牛顿-欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动用牛顿方程，相对于质心的转动用欧拉方程。动力学参数的转换动力学参数主要指的是各个物体的惯性矩阵，动力学参数的变换主要指的是惯性矩阵的变换3。这种变换主要有平移变换和旋转变换两种。本文中主要用到的是旋转变换。惯性矩阵绕x轴旋转6角的旋转矩阵为TOC o 1-5 h z100_ HYPERLINK l bookmark34 R(x6)0cGbs-6sin(2.1)0siGc6bs惯性矩阵绕y轴旋转6角的旋转矩阵为0s9in100c6bs(2.2)cb6s HYPERLINK l bookmark40 R(y60-sin惯性矩阵绕z轴

5、旋转6角的旋转矩阵为s6n06bs0(2.3) HYPERLINK l bookmark38 cb6s-R(z6s6n0则惯性矩阵I从i坐标系变换到j坐标系下的惯性矩阵I，变换公式为ijI=RtIR(2.4)ji通过旋转变换我们可以得到各杆件的惯性张量。机器人动力学递推算法3.1基于牛顿-欧拉方程的杆件的质心惯性力及惯性力矩应用牛顿-欧拉方程建立工业机器人的动力学方程是指：对构件质心的运动应用牛顿方程表示，相对于质心的转动用欧拉方程表示。牛顿动力学方程4的形式如下：d(mv)dvF=ma=mc=mvCdtdtC欧拉动力学方程是对绕质心转动的刚体给出的，由理论力学的知识可知，刚体绕定点转动的动量

6、矩L为:L=IoC应用动量矩定理得到作用在刚体上的力矩为M=IO+oxIodtCCI为杆件相对于质心的惯性张量。Cxx=ICyxIzxxyyyzyxzyzzz在机器人机构中仍取一个杆件，其质量分布中心点为C,在C点固定一个坐标系C，当质心具有线加速度V及角加速度O时，作用在质心处的惯性力为F、惯性力矩C为M。力与线加速度及力矩与角加速度的关系分别用牛顿方程及欧拉方程表示为:F=mVCM=1o+ox1oCC(2.5)式中，m为杆件的质量；IC为杆件的惯性张量，它用在质心C处的坐标系C描述；V为质心C点的线加速度，即坐标系C原点的线加速度；Co、o为杆件的角速度和角加速度，也是坐标系C及固定在该杆

7、件任何处的坐标系得角速度及角加速度。3.2杆件之间的力与力矩递推算法设机器人的i号杆件，在其质心C上设置一个坐标系C，其原点为C，坐标轴的iii方向完全与杆件坐标系i相同，用符号pj表示质心在坐标系i中的位置矢量为pipr=rii,Ci杆件质心的加速度为(2.6)VCi=v+oxir+oxiixri)(2.7)在质心的线加速度和角加速度为已知的情况下，按式(2.5)计算各杆件的惯性力及惯性力矩。因此可导出机器人各关节驱动力和驱动力矩的反向递推式，如图2.1所示，第i号杆件的质心为C，F为质心的线加速度v产生的惯性力，M为角加速度汶产生的惯iiCii性力矩，r.为质心C在坐标系i中的位置矢量，R

8、为坐标系i+1原点到C的矢量。iiii图2.1关节间的力和力矩的递推以上各量都是坐标系i的常矢量。设f，t为作用在i号杆件质心上的力及力矩矢ii量。它们是由在i关节处的执行器提供的，所以它们作用在i系的原点处，都是i系描述的矢量。作用在i+1系原点处的力及力矩，若用i+1系描述则表示为f及F需i+1i+1要把它们变换为i系描述的矢量时，计算式为ifi+1=i+iRf+1t=iRT.i+1i+1i+1在递推计算各杆件的力或力矩时，是由上编号杆件向下编号杆件传递的，即从n号杆件逐渐向1号杆件递推计算。按第i号杆件质心力的平衡，得Fi=f-iRfiii+1i+1(2.8)按第i号杆件质心力矩平衡，得

9、M.=tT-iR丘.1+(-r)xf-(pr)xiRf1ii+1i+11ii,i+1-1i+1i+1(2.9)由式(2.8)和式(2.9)得到机器人各杆件驱动力及驱动力矩的反向递推计算式：Fi+i+1iRfi+1(2.10)方=MT+iRT+rxF+pxiRf(2.11)iii+1i+1iii,i+1i+1i+1式中，F.为质心惯性力，由式(2.5)所示的牛顿公式计算；M,为质心处的惯性力矩，由式(2.5)所示的欧拉公式计算。4机器人动力学模型4.1机器人作业动力学方程综合速度、加速度和惯性力、惯性力矩的递推算法，要得出机器人动力学方程，要知道如下已知条件：机器人各关节变量9、关节角速度厂、关

10、节角加速度已知质心C在i系中的位置矢量匚j；已知与i系方向相同的坐标系C所描述的惯性张量IC；iCi系描述的坐标系i+1原点的位置矢量。机器人作业动力学正向递推算法(即加速度惯性力前推公式)：g=iRe+9ei+1i+1ii+1i+1g=iRg+iRg+9e+eei+1i+1ii+1ii+1i+1i+1i+1v=iR方+Gxp+Gx(Gxp)(2.12)i+1i+1iii,i+1iii,i+1Iv=v+Gxr+Gx(Gxr)Ci+1i+1i+1i+1i+1i+1i+1F=mVi+1i+1Ci+1M=IG+GxIGi+1Ci+1i+1i+1Ci+1i+1机器人动力学反向递推算法(即约束力和关节力

11、矩后推)、了=Fi+Rfiii+1i+1(2.13)f=M+iR丘+rxF+pxiRfiii+1i+1iii,i+1i+1i+1Tp=feiii/4.2牛顿-欧拉方程的改进考虑到重力影响，一般的做法是设V0为重力加速度，这样设定物理意义不明确，不便于理解。本文中的方法是采用变换将每个杆件受到的重力转化到各自杆件的坐标系中。那么在各自杆件的坐标系中，每个杆件的受力一目了然，这样便于理解。首先将重力加速度转化到坐标系i的表达式为：g=iRgi0式中，g为坐标系0表示的重力加速度，即g=9.81ms-2。那么杆件i受到重力在坐标系i中的表示为：G=mg=miRg=iRmg(2.14)TOC o 1-

12、5 h ziiii00i那么根据力的平衡条件，式(2.13)可改为如下的形式：、f=Fi+iR广-G,i1i+1i+i1t=M.+iRt.+云x(F-G)+pxiRf)(2.15)iii+1i+1iiii,i+1i+1i+1 HYPERLINK l bookmark90 P=teiii/由式(2.14)和式(2.15)可得到：、f=F+iRf-iRmgiii+1i+10if=M+iRt+rX(F-iRmg)+PxiRf(2.16)i1i+11+1110ii,i+1i+1i+1rrTrp=teiii/引入nX1阶矩阵P表示驱动力的一般形式P=PPPT(2.17)12nrT式中，p为第i号关节执行

13、器的驱动力矩，p=Te。iiii综合式(2.12)、式(2.16)和式(2.17)可得到机器人广义动力学方程为：p=M(9)畀V(9:0+)G+)TJF(2.18)式中，p为驱动器的驱动力矩，为nX1阶矩阵；F为机器人工作阻力，为nX1阶矩阵；M(9)为广义质量矩阵，为nXn阶矩阵；V(0,9)为向心力及哥式力矩阵，为nXn阶矩阵；G(9)为重力矩阵，为nXn阶矩阵。使用改进的牛顿-欧拉算法，概念清晰，各个变量参数物理意义明确，易被我们接受。5总结本文对牛顿-欧拉方法进行改进，在改进算法的基础上建立了机器人在作业过程中的动力学模型，为机器人动力学仿真奠定了基础。在机器人运动学分析中，本文主要做了以下方面进行研究。（1）基于杆件坐标系传递矩阵和矢量方法，确定了机器人各杆件的质心速度，角速度递推算式；（2）基于牛顿-欧拉方法建立了机器人单个杆件的惯性力和惯性力矩算式；（3）基于机器人坐标系传递矩阵、矢量方法和牛顿欧拉方法建立了机器人各杆件的惯性力、惯性力