概率论概率1条件概率函数也是一种

1、1.条件概率注 条件概率函数 也是一种概率函数。课 前 复 习2.乘法定理（公式）推广：定理1-1 设 为两两互斥事件，且则对 有定理1-2 (Bayes公式)设 为两两互斥事件， 且则对 有练 习1 在某刑事案件中，公安人员根据现场分析凶手还在本地的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，投案自首的概率为 0.1今派员追捕，如果凶手躲藏在本地被抓的概率为90%，如果凶手外逃，被抓的概率为50%，试求该案被破的概率 2 甲口袋有a只黑球、b只白球；乙口袋有n只黑球、m只白球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是 黑球的概率. 1 在某刑事案件中，公安人员根据

2、现场分析凶手还在本地的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，投案自首的概率为 0.1今派员追捕，如果凶手躲藏在本地被抓的概率为90%，如果凶手外逃，被抓的概率为50%，试求该案被破的概率 解 设 A 表示“该案被破”， 设 B1 表示“凶手还在本地”， B2表示“凶手外逃”， B3 表示“凶手自首”，2 甲口袋有a只黑球、b只白球；乙口袋有n只黑球、 m 只白球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从 乙口 袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是黑球的概率. 解 记 A 表示从甲袋中取出黑球，B 表示从乙袋中取出黑球。由全概率公式定义 设A、B是两事件，如果满足等式则称事件A、B相互独立，简称A、B

3、独立。注：(1) 概率为0的事件与任何事件独立。(2) 两事件独立与互不相容间的关系：两事件独立两事件互不相容1.6 事件的独立性 结论 若事件A、B 独立，则下列各对事件也独立： 证 只需证 独立即可。所以事件 相互独立。定义（三个事件的独立性），设A、B、C是三个事件， 如果满足则称事件A、B、C相互独立。例1 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面 染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、 白、黑三种颜色，现以 A, B, C 分别记投一次四面体出 现红、白、黑颜色朝下的事件。由于四面体中有两面有红色，因此同理容易知道所以有但是例2 甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌

4、机的概 率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率。解：设 A表示：“甲击中敌机”， B表示：“乙击中敌机”，C表示：“敌机被击中”，由题意可认为事件A与事件B相互独立，因此 通常，n 个事件中，若任意两个事件都相互独立，则称这 n个事件两两独立。显然，n个事件相互独立 两两独立，但反之不真。注 (2) 若n个事件相互独立，则将其中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件也相互独立。（证明略）定义（n个事件的独立性）设 是n个事件，如 果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积的 概率都等于概率之积，则称事件 相互独立。注 (1)若事件 相互独立，则其中任意 事件也是

5、相互独立的。 Ch1 内 容 小 结一、基本内容1.基本概念：样本空间、随机事件、概率、随机试验、频率、对立事件、互不相容、事件的独立性。2. 事件运算及概率函数的性质。3. 三个基本概型（古典、几何、贝努利概型*）。4. 条件概率及全概率公式、贝叶斯公式。5. 乘法公式及事件的独立性。概率统计是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。二、常见概率关系式1. 处理和事件2. 处理积事件3. 处理差事件三、三大概型1）古典概型2）几何概型3）贝努利概型*（见下章）条件概率事件A、B独立乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式四、一些常用公式例1 1) 将一颗骰子接连投掷6次，求“1点至少出现1次” 的概

6、率。2）证明布尔（Boole）不等式：对任何两个事件 A、B, 有解：设 A 表示“1点至少出现一次”。 2. 设掷 n次均匀硬币，求出现正面的次数多于反面的次数的概率。解 以 A 记事件 “出现正面的次数多于反面的次数”。首先注意到当 n 为奇数时， A 的逆事件 表示 “出现反面次数多于正面次数”。由于正、反面地位是对称的，因此当 n 为偶数时，正、反面次数可能相等，且相等的概率为 去掉相等的情况就可算得3.在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整 数既不能被6整除，又不能被 8 整除的概率是多少？解 设A为事件“取到的数能被6整除”， B为事件“取到的数能被8整除”。则所求的概率

7、为由于又由于一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除，于是所求概率为因此，由由于3.在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整 数既不能被6整除，又不能被 8 整除的概率是多少？4. 利用概率论的想法证明恒等式证 设一袋中共有 n 只球，其中m只红球，n-m 只黑球， 现从袋中任取 r (r m， r n-m) 只球，以Ak 表示所 取 r 只球中有 k 只红球，则移项即得证。5 (1) 袋中有 a 只黑球，b 只白球，把球随机地一只只 摸出来(不放回），直至袋中剩下的球颜色都相同为止， 求最后剩下的全是黑球的概率。解 注意 “最后剩下的(同色球)全是黑球”（记为A） 与 “最后剩

8、下的一个球是黑球”(记为B）是一回事。 (2) 把字母 M, A, X, A, M 分开写在 5 张卡片上，每卡 一字，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAXAM 的概率是多少？故有:5 (2) 把字母 M, A, X, A, M 分开写在 5 张卡片上，每卡 一字，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAXAM 的概率是多少？解 设A1=“第一张卡片为M”；A2=“第二张卡片为A”；A3=“第三张卡片为X”；A4=“第四张卡片为A”；A5=“第五张卡片为M”，则点评：用乘法公式解决此类问题较为简单。 6. 设事件 A、B 满足 0P(A)1, 0P(B)1, 且 ，则 A、B 独立。由全概率

9、公式故知，事件 A 与事件 B 相互独立。（教材P25第21题）7. 袋中装有 m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的 两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已 知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？解：设 B1，B2，分别表示正品、次品， A 表示“投掷r次全是国徽”。 由贝叶斯公式8. 设事件A在一次试验中发生的概率为 求： （1）将试验独立重复进行250次，A至少发生一次的概率。 （2）考虑试验次数 时， A至少发生一次的概率。解：设 Ai 表示“第 i 次试验中A发生”。 （1）“250次独立重复试验中，A至少发生一次的概率为显然 相互独立，（2）在 n 次

10、独立重复试验中，有可见，当 时，注 此例表明：在大量重复试验中“小概率事件至少发生 一次”是几乎必然要发生的。8. 设事件A在一次试验中发生的概率为 求： （1）将试验独立重复进行250次，A至少发生一次的概率。 （2）考虑试验次数 时， A至少发生一次的概率。9. 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名 表,其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机取一 个地区的报名表,从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p ; (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生 表的概率 q 。（教材P25第26题）第二章 随机变量及其分布 概率函数是一个事件函数

11、,这在使用时往往不太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象，我们设法把样本空间中的样本点与数联系起来，建立起样本空间与实数空间或其一部分的对应关系。这种关系就是所讲的随机变量。引例1. 掷一枚硬币试验。样本空间 ，令 X 表示“正面出现的次数”第一节 随机变量及其分布函数第33页引例2 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在 袋中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，考察 两只球的号码之和。令 X 表示“所取两球的号码之和”则 X 的取值范围为2，3，4，5，6。由于X的取值依随机试验的结果而定，故称X为随机变量。这里 对每个样本点X 都有一个确定的值与其对应，如图所示。一随机变量注：(2)随机事件可以通过随机变量来描述。如掷硬币中：(3)随机变量的取值是有一定概率的。如(1)随机变量的自变量为 函数值为实数。定义 设随机试验 E 的样本空间=e。如果对于每一个 都有唯一的实数 X(e) 和它对应，且对于任何实数 x, 具有确定的概率，则称X=X(e)为随机变量。(续前例) 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋 中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，以X表示两 只球的号码之和，求X取每个值的概率。解 X 表示“所取两球的号码之和” X 可能取值为2，3，4，5，6。 类似计算其它，得：定义：设X为一随机变量