专题提升二次函数在实际生活中的应用实际问题分类整理

1、专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9元，经市场调查表明，当售价在10元到 14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40 瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元 时，所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）最大？最大日均毛利 润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为40040（x12）65 = 1 360 80 x,y=（x9）（1 360- 80 x）=80 x2+2 080 x-12 240（1g x 14）. TOC o 1-5 h

2、 z _2 080= 132a 2X （ 80）v1013 14, .当 x=13 时,y 取最大值,y 最大=80X 132+2 080X 13-12 240=1 280（元）.答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元.【思想方法】 本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内,需了解函数的性质（最大最小值,变化情况，对称性，特殊点等）和图象，然后依据这些性质作出结论.【中考变形】1. 2017锦州某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价 提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在

3、不低于原售价的 基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少.销 售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图Z8-1所示.y（件）（1）图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时、销售量为300件;销售单价每提高1元时，黑匚二销售量相应减少_20件；图 Z8-1（2）请直接写出y与x之间的函数表达式：_y= 20 x+ 1 000 ;自变量x的取值范围为 30& x&50 ;（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300 件；第一个月的该商品的售价为20X（1+ 50%

4、） = 30（元），销售单价每提高1元时， 销售量相应减少数量为（400 300）中35 30） = 20（件）.解得,k= 20,、b= 1 000,（2）设y与x之间的函数表达式为 y= kx+ b,将点（30, 400）, （35, 300）代入，400=30k+ b,得、300=35k+ b,；y与x之间的函数表达式为y= - 20 x+ 1 000.当 y= 0 时，x=50,自变量x的取值范围为30 x 50.设第二个月的利润为W元，由已知得 W= （x 20）y=（x 20）（ 20 x+1 000）= 20 x2+ 1 400 x- 20 000= 20（x35）2+4 500

5、,v-200, .当 x=35 时,W取最大。4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是 4 500 元.2.2016宁波一模大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商 品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在次函数关系，如下表所示:销售价x（元/件）110115120125130销售量y（件）5045403530若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（即 支出=商品成本+员工工资+应支付的其他费用 ）.已知员工的工资为每人每 天100元，每天还应支付其他费用200元（不包括集资款）.求日

6、销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天 的毛利润最大（毛利润=销售收入一商品成本一员工工资一应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少大(取整数)才能还清集资 款？解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+ b,解得k= - 1,、b= 160,将 x= 110, y= 50; x=115, y=45 分另1J代入，f110k+ b=50,得k115k+ b=45, .y= x+ 160(0 x50 0

7、00+ 0.000 2X 50 000t,解得 t102-2. 49.t为整数，t的最小值为103天.答：该店最少需要103天才能还清集资款.3. 2017青岛青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华问某两天的相关记录：31(1)该酒店豪华间有多少问？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的问数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实(注：上涨价格行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元, 每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪

8、华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元?需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得40000 x1 + 324 000 x+ 10,解得x = 600,酒店豪华间有40 00040 000600X 1+3）50（间）,旺季每间价格为x+ 1x= 600+1X 600= 800（元）. 33答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元;(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y = (800+ x) ,0 25 )= 25(x 225)2 + 42 025,当x = 225时，y取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨 225

9、元时，豪华间的日总收入最高，最高日 总收入是42 025元.4.某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成 A, B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售. A类杨梅的包装成本为1万元/t,根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x2)(t) 之间的函数关系式如图Z82, B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s= 12 +3t,平均销售价格为9万元/t.图 Z8-2(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了 20 t杨梅，其中A类杨梅x t,经营这批杨梅所获得

10、的 毛利润为W万元(毛利润=销售总收入一经营总成本).求W关于x的函数关系式；若该公司获得了 30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得 最大毛利润，并求出最大毛利润.解：(1)y=x+ 14 (2x8);(2)二销售A类杨梅x t,则销售B类杨梅(20 x)t.当20 x8 时，W= 6x+9(20-x)-3X20-x- 12+3(20 x) = x + 48,函数表达式为W=x2 + 7x+ 48 (2x8);当 20 x8 时，x+48 = 30,解得 x= 18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A

11、类杨梅有18 t;设该公司用132万元共购买m t杨梅，其中A类杨梅为x t, B类杨梅为(m x)t,购买费用为3m万元.由题意，得 3m+x+ 12+3(mx) = 132,化简，得3m=x+ 60.当 20 x8 时，W= 6x+9(m-x)-132,由 3m=x+60,得 W= 48,当 x8 时, 毛利润总为48万元.答：综上所述，购买杨梅共64 t,且其中直销A类杨梅4 t, B类杨梅52 t公司能获得最大毛利润64万元.【中考预测】某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1 元，其销售量将减少10 件(1)写出

12、月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下， 使月销售利润达到 10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润解：(1)由题意可得月销售利润y 与售价之间的函数关系式为y=(x30)600 10(x 40) = 10 x2+ 1 300 x 30 000;(2)当 x=45 时，60010(x 40) = 550(件)，y = 10 X 452 + 1 300X 45-30 000= 8 250(元)；(3)令y=10 000,代入(1)中函数

13、关系式，得10 000= - 10 x2+1 300 x- 30 000,解得 x = 50, x2=80.当x= 80时，600-10(80-40) = 200300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50 元；(4)y= 10 x2+1 30cx30 000= 10(x 65)2+ 12 250, . .x= 65 时，y 取最大 值 12 250.答：当销售价定为 65元时会获得最大利润，最大利润为 12 250元次函数与实际问题分类整理1、理论应用 (基本性质的考查：解析式、图象、性质等)2、实际应用 (拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等) 类型一：最大面积问题例一：如图在长200米

14、，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(itf)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值?变式练习1:如图，用50m2的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(itf)与它与墙平行的边的长 x(m)之间的函数关系式？当 x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是 2.5元.根据市场调查，销售量与销售单价 满足如下关系：在某一时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以 多售出200件.请你帮助分析：销售单价是多少时，可以获利最多？设销售单价为x元，(0VXW13.5)元，那么销售

15、量可以表示为 ;销售额可以表示为 ;所获利润可以表示为;当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价 1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3:某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y （万元）与销售时间x （月）之间的关系（即前 x个月的利润之和y与x之间的关系）.（1）根据图上信息，求累积利润 y （万元）与销售时间 x （月

16、）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？为（万元）变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70元，试销中销售量 y （件）与销售单价 x （元）的关系可以近似 的看作一次函数（如图）.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？类型三：实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。(1

17、)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m,车与京f共高4.5m,此车能否通过隧道？并说明理由。变式练习3:如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽例2图4/6米，水位上升3米就达到警戒水位线 CD,这时水面宽4/3米,若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?8米,变式练习4:如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6米，则校门的高度为。(精确

18、到0.1米)题图变式：1如图，排球运动员站在点 。处练习发球，将球从 。点正上方2m的A处发出，把 球看成点，其运行的高度 y (m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式y=a(x-6) 2+h.已知球网 与。点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距 。点的水平距离为18m。(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由;(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。课后练习：一，利润问题:1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 2件.(1)若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？二，面积问题：2,如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设长方形的一边 AB= x m,那么AD力的长度如何表示？(2)设长方形的面积为 y m2,当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图该抛物线的解析式为 。.