(完整版)合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准

1、11合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期.学院姓名年级班级学号Ibll=87，%21，则-X10-1+12a112X4x10-1+15-lg85-0.903=4.097.故取1=5，即x*至少应具有5位有效数字。LLL8分-10 x-4x+x=-1,TOC o 1-5 h z123三、(本题满分12分)已知线性方程组2x+10 x-7x=2,123、3x+2x+10 x=3.1235.设S是函数f在区间0,2上的三次样条：J1+2xx3,)I2+b(x1)+c(x1)2+(x1)3,0 x1,1x2,写出求解上述方程组的Gauss-Seidel迭代格式。写出求解上述方程组的

2、Jacobi迭代格式的迭代矩阵.计算范数IIB，判断上述Jacobi迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到Jg精度=10-4，Jacobi迭代法所需的迭代步数；取初值x0=(0,0,0)T.则b=L，c=_L.6.四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差是O(h4),其整体截断误差是O(h5).解(1)求解上述方程组的Gauss-Seidel迭代格式为二、(本题满分8分)要使珀97的近似值x*的相对误差的绝对值不超过01%，求兀*至少应具有几位有效数字？_解设x*至少应具有1位有效数字因为43975,所以397的第一个非零数字是4,即x*的第一位有效数字a1=4，LLL2分根据题意及定理1

3、.2.1知，Jx(k+1)1x(k+1)2x(k+1)I3=-1(-4x(k)+x(k)-1),1023=(-2x(k+1)+7x(k)+2),110(13)1q-3x(k+1)2x(k+1)+3丿.LLL4分-10-41000-10000-41A=210-7=200+0100+00-732103200010000(2)因为原方程组的系数矩阵=L+D+U02-2;，50-151/107/100所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为0B=-D(L+U)=I-DA=-L57-3.io因为|bII=9/10B所以解原方程组的Jacobi迭代格式收敛。LLL9分用Jacobi迭代法迭代一

4、次得：x=（0.1,0.2,0.3加，|x(D-x(o)|=max|o.l-ol,lo.2-ol,lo.3-o|=O.3分ook人汁in1叫1一10)人297.84匚LL血分|x(D-x(o)11/0.3I10故需要迭代98次。x=00f()=20 x=0/(x)=2fx,x=l0000X=11/(x)=3fx,x=l.01fx,x,x=0001X=1/(x)=3fx,x=2fx,x=0.51111011x=222fx,X=412/X,x,x=2112则所求插值多项式为fx.x.x.x=0.250011fx=0.75fx,x=0.250112音G12LLL5分四、（本题满分10分）用下列表中的

5、数据求次数不超过4次的插值多项式P（x）,使之满足p（x）=f（X）,z=0,1,2，和px）=fx）,px）=fx）.（要求写出差商表）ii0011X012Ifa)237)12i解根据表中的数据建立差商表PW=fix+fx,X(X-X)+/%,X,x(x-x)200000010+fx(X-X)2(X-X)+fx(X-X)2(X-X)20011010011201=2+x+0+0.25x2(%1)+0.25x2(兀1)2=2+无一0.25x3+0.25x4.五、(本题满分12分)(1)确定A,A,A,使下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。.()12J/(x)dxA/(-/1/2)+A/(0)+

6、A/(/1/2)-h012(2)用两点古典Gauss公式计算/=J屮sin3xdx的近似值。解(1)设上述求积公式对f(x)=l,0%,兀2准确成立，即2h=A+A+A,2/Z3/3=A(2/4)+AG2/4).0=At-h/2)+A(hi2),解上述方程组，得A=4/z/3,A=-2hi3,A=4/z/3,LLL3分012于是上述求积公式化为fb/(x)dx-h4h3心gg+Z经验证，求积公式(*)对/(x)=x3准确成立，但当于(*)=*4时，(*)左边等于2方”5,而其右边等于力空6;即求积公式(*)对J(x)=x4不准确成立；于是求积公式(*)具有3次代数精度。LLL5分a=0,b=l

7、,t=t=A=A=1,/(x)=sin3xJ32丁312x1X2b-aa+bt+2121-01_122/?LLL6分2b-aa+b1-0t+2220+1_j_丄2一2十2拧故用上述两点Gauss公式计算/=J1乂2sin3xdx的近似值:i01234X12345iy1.32.53.95.16.4/与仆+仍2）1-02+lx0.111245.LLLio分六、（本题满分10分）.（1）用改进的Newton迭代法求方程対3x+3x-X=0的重根，取初值X=2,求.（要求先验证重根的重数。）（）12（2）用弦截法求上述方程的单根，取初值*=0.5,x=0.4,求x,x.（）123解（1）记f（X）=X

8、4-3x3+3x2-X,因为/(l)=b-3xl3+3xh-l=0,/1)=4xb9x12+6x11=0,/(l)=12xh_i8xi+6=0,fw(l)=24x1-18=60,所以x*=l是方程X4-3x3+3X2-x=0的3重根。求*的改进的Newton迭代格式为=x-3=xfx)-Ik-1c兀4一3x3+3x2一x3,4x3一9x2+6x-1k-ik-ik-ik=1,2,1.LLL取初值兀（）=2,代入上式计算得:x=1.14286,%=1.00571.12LLL（2）求x*的弦截法格式为X=X_兰E兰E/（X）kk-1LLLXk-l(x43X3+3X2一X1x4-3X3+3X2-Xk-

9、lk-lk-lk-l(x-x3x3+3x2X)k-2k-2LLL9分k-2k-2取初值x=0.5,x=0.4,代入上式计算得：X=0.761506,x=0.810598-()123LLLio分 # 七、（本题满分10分）求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式pM，取权P=1,1ii=0,1,2,3,4,并计算总误差0.解根据题意，得771=4,71=1,(P(X)=1,JC1,0丁1.3,0 x=2,1-y=2.5,y=3.9,12(p(x)=x,p=1(/=0,1,2,3,4)1Ix3,x4,x5,34y=5.1,y=6.4,4(9,9)=Slxl=5,00i=0(p,p)=xl=15,10

10、ii=0(9,9)=21xx=15,01ii=0(9,9)=2=55,(9小为lxy=1920ii=0(p,/)=Xxxj=70.4.1iii=0LLL5分得法方程组5151555c0c119.270.4LLL6分解得c=0.0,o总误差c=1.28.1于是，所求多项式为px)=1.28x.LLL8分#=1.28x1=0.008LLL1分i=0iii=0八、（本题满分10分）写出改进的Euler方法的增量函数亿”力，1/（0+（0-*=0,用改进的Euler方法求解初值问题的解y（0在0（0）=1t=0.2,t=0.4处的近似值，要求小数点后保留5位数字（取步长力=0.2）。解（1）改进的Eu

11、ler方法的增量函数为/(?,y)+f(t+h,y+hf(t,y)lLLL3分(2)根据题设知f（t.4r则改进的Euler方法的计算格式为JV,y）=-tyyLLL6分y=y+h-f(t,y),n+1nnnTOC o 1-5 h zyJ)1由丁0=j(0)=1h=0.2,得n+nZnrtn+ln+1=j+h-f(t,y)=1+0.2x000(4x0A(4x0八J4x0.2八-0 x1+-0.2x1I1丿I1丿=1.06,-0 x1=1,I1,=y+/(/，:v)+M,刃)=1+孥xo2ooii2=y+h-f(t,y)=1.06+0.2xiii=1.16854,(4x0.2g一0.2x1.06

12、L1.06丿0.2Y4x0.24x0.4小”+XU.2xl.O6+-0.4x1.1685421.06丿U.16854丿=1.20445.=1.06=y+/(：)+M,歹)121122LLLio分所以，y(/)在t=0.2,t=0.4处的近似值分别为=1.06,j=1.20445-12九、(本题满分10分)若迭代函数e(x)在有限区a,b满足下列两个条件：对任意的xea,b,有(p(x)ea,b；0(x)在a,b存在，且cpV)0,I(pV)lL1,证明：(1)对任意初值xga,b,由迭代格式x=(p(x)(k=1,2,L)产生的序列()kk1x收敛到方程X=W(x)的根Q;k(2)估计式|x*-x|lx-xI成立。k1-LkI证(1)因为尸是方程x=(p(x)的根，所以Q=(p(x*)由条件知，x=(p(x)ea,b-由微分中值定理及条件(2)得：k+1kLv-X|=|cp(x