(完整word版)相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版),推荐文档

1、Well-knownEducation专注于中小学个性化教育尿照5nWell-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面丿电话：2660521点睛板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1相似形具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，

2、大小不一定相同相似图形之间的互相变换称为相似变换2相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等3相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形如图，ABC与ABC相似，记作ABCABC，符号s读作“相似于”.2相似比相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”三、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等如图，ABC与ABC相似，则有ZA二ZA,ZB二ZB,ZC二ZC2相似三角形的对应边成比例ABBCACABC与ABC相似，则有仝一=k（k

3、为相似比）.ABBCAC3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图1,ABC与ABC相似,AM是ABC中BC边上的中线，AM是ABC中BC边上的中线,k为相似比）.TOC o 1-5 h zABBCACAM=k=ABBCACAM如图2,ABC与ABC相似，ABBCACAH贝U有=k=ABBCACAH图1AH是ABC中BC边上的高线，AH是ABC中BC边上的高线,k为相似比）.图2如图3,ABC与ABC相似，AD是AABC中ZBAC的角平分线，AD是ABC中ZBAC的角平分线，则有上色=MC=4C=k=D（k为相似比）.ABBCACAD图34相似三角形周长的比等于

4、相似比ABBCAC如图4,AABC与ABC相似，则有=k（k为相似比）.应用比例的等比性质有ABBCAC令伽倍旨FUHIL-KIKMIiIDEKMT1DHWell-knownEducation专注于中小学个性化教育令伽倍旨FUHIL-KIKMIiIDEKMT1DHWell-knownEducation专注于中小学个性化教育專照口Well-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美

5、术馆天桥对面）电话：26605211AB_BC_AC_AB+BC+ACABBCAC-AB+BC+AC图45相似三角形面积的比等于相似比的平方如图5,ABC与ABC相似，AH是AABC中BC边上的高线,AH是AABC中BC边上的高线,ABBCACAH=k=ABBCACAHk为相似比）进而可得SABCSABC1BCahAH=k2AAHA图5四、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两

6、边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1横向定型法欲

7、证AB=BC，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A,B,C恰为ABC的顶BEBF点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B,E,F恰为MEF的三个顶点.因此只需证AABCEBF2纵向定型法ABDE欲证=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A,B,C恰为AABC的顶点；右边的BCEF比两条线段是DE和EF中的三个字母D,E,F恰为4DEF的三个顶点.因此只需证ABCDEF3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中

8、间比比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等BDAB如图：AD平分ZBAC交BC于D，

9、求证：一一=DCAC证法一：过C作CEAD，交BA的延长线于EZ1=ZE，Z2=Z3Z1=Z2，Z3=ZE.AC=AE/ADCEBDBABA二二DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型.证法二；过作AC的平行线，交AD的延长线于EZ1=Z2=ZE，AB=BEBDBEABDCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型.C七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：如图：SABCSACD1BCah2-CD-ahBCCD如图：SABCSBCD2BCah1-BC-DGAHDGAOODCWell

10、-knownEducation专注于中小学个性化教育Well-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211如图：ABDACEABADAB-ADABD-AEDAEDACE八、相似证明中的基本模型AEACAE-AC图3：“燕尾”型CCBABECAFGCAA例题精讲一、与三角形有关的相似问题【例1】如图，在AABC中，ACAB，点D在AC边上，若在增加一个条件就能使AABCACB，则这个条件可以是.【巩固】如图，D、E是AABC的边

11、AC、AB上的点，且AD-AC=AE-AB,求证：ZADE=/B.【巩固】如图，在AABC中，AD丄BC于D，CE丄AB于E，AABC的面积是ABDE面积的4倍，AC=6，求DE的长.【例2】如图，ABC中，/ABC=60。，点P是厶ABC内一点，使得ZAPB=ZBPC=ZCPA，PA=8，PC=6则PB=.【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求/EBF+/EBG專照6nWell-knownEducation专注于中小学个性化教育專照6nWell-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨

12、城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211AFEF【例3】如图，已知AABC中，AE:EB=1:3，BC:CD=2：1，AD与CE相交于F，则-+-的值为（）a.5B.lc.-D.22【巩固】在AABC中，BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD-BP=AE-CP.【巩固】如图，M、N为AABC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：EF=3DE.F【例4】如图，已知AB/EF/CD，若AB=a，CD=b，EF=c，求证：-=-+-.cabWKIL-KIKWHIERKNT1

13、DMWell-knownEducation专注于中小学个性化教育WKIL-KIKWHIERKNT1DMWell-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211【巩固】如图，AB丄BD,CD丄BD,垂足分别为B、D,AC和BD相交于点E,EF丄BD,垂足为F.证明:111+=ABCDEF【巩固】如图，已知AB/EF/CD，找出S、S、S之间的关系，并证明你的结论.AABDABEDNBCD【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD

14、相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P求证：PM-PN=PR-PSDB【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G.求证：EG=GF考点】相似三角形的性质与判定难度】5星题型】解答关键词】Well-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211【例6】如图，AABC中，BC=a，若D,E分别是AB,AC的中点，则

15、DE=1a；11112若D、E分别是DB、EC的中点,2211则DE22若D、E分别是DB、EC的中点,3322则DE33若D、E分别是DB、nnn-1EC的中点，则DE=n-1nn【例7】如图，AABC内有一点P，过P作各边的平行线，把AABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积S，S，S分别为1,1，2，则AABC的面积是.123A2p2+q2Cp2+q2+pq例8】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2,q2，则梯形的面积是（）B.(p+q)2D.P2+q2+上竺p2+q2專照nWELL-KnownEDucaTon专注于中小学个性化教育【巩固

16、】如图，梯形ABCD中，ADBC，两条对角线AC、BD相交于O，若S:S=1:9，那么AODCOBS:S=.BOCDOCE，连接OE交BC于点F，若二、与平行四边形有关的相似问题【例9】如图，已知平行四边形ABCD中,过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G若BE=5，EF=2，则FG的长是.【巩固】如图，已知DEAB，OA2=OC-OE，求证：ADBC.【例10】如图，YABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点AB=a，AD=c，BE=b，求BF的值.【巩固】如图：矩形ABCD的面积是36,在AB,AD边上分别取点E,F，使得AE=3EB,DF=2AF，且DE

17、与CF的交点为点O，求AFOD的面积。CD三、与梯形有关的相似问题【例11】已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、与MD交于点E，DB与MC交于F.（1）求证：EF/CD（2）若AB=a,CD=b，求EF的长.MD、MC，且AC【巩固】如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=a，BC=b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P,CE交DF于Q，求PQ的长.Well-knownEducation专注于中小学个性化教育Well-knownEducation专注于中小学个性化教育华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605

18、211华侨城校区：华侨城中新街樱花阁103（何香凝美术馆天桥对面）电话：26605211【例12】如图，已知梯形ABCD中，AD/BC,ZA=90。,AB=a,AD=b,BC=2b(ab),DE丄DC,DE交AB于点E，连接EC.判断ADCE与AADE,ADCE与ABCE是否分别一定相似，若相似，请加以证明.如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似.四、与内接矩形有关的相似问题【例13】AABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上,另两个顶点G、H分别在AC、AB上,BC=15,BC边上的高AD=10，求SWEFGH-A【巩固】如图，已知AABC中，AC=3，BC=4，Z

19、C=90。，四边形DEGF为正方形，其中D，E在边AC，BC上,F，G在AB上，求正方形的边长.【例14】如图，已知AABC中，四边形DEGF为正方形，D,E在线段AC,BC上，F,G在AB上，如果S=S=1，S=3，求AABC的面积.AADFACDEABEG【巩固】如图，在AABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EFAB交BC于F点.当AECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长.当AECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长.试问在AB上是否存在点P，使得AEFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长.Well-knownEducatio