第一节-定积分的概念与性质课件

1、第五章定积分 积分学不定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五章 四、 定积分的性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积解决步骤 :1) 大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 近似和.4) 取极限.令则曲边梯形面积2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程

2、s.解决步骤:1) 大化小.将它分成在每个小段上物体经2) 常代变.得已知速度n 个小段过的路程为3) 近似和.4) 取极限 .上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分定义 (P225 )任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负

3、值各部分面积的代数和可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点 (证明略)例1. 利用定义计算定积分解:将 0,1 n 等分, 分点为注注 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值注 利用得两端分别相加, 得即例2. 用定积分表示下列极限:解:三、定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式例12. 右矩形公式推导3. 梯形公式4. 抛物线法公式抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：例3. 用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.1

4、3.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分四、定积分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)证:= 右端证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如则有6. 若在 a , b 上则证:推论1. 若在 a , b 上则推论2.证:即7. 设则例4. 试证:

5、证: 设则在上, 有即故即8. 积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解: 已知自由落体速度为故所求平均速度内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :解:或思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0 !2. P235 题33. P236 题13 (2) , (

6、4)题13(4) 解:设则即作业 P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5) 第二节 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 莱布尼茨公式 一、引例 第二节微积分的基本公式 第五章 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有定理1. 若说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 其他变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .例1. 求解:原式说明 例2.

7、确定常数 a , b , c 的值, 使解:原式 = c 0 , 故又由, 得洛洛例3. 证明在内为单调递增函数 . 证:只要证三、牛顿 莱布尼茨公式( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证:根据定理 1,故因此得记作定理2.函数 ,则或例4. 计算解:例5. 计算正弦曲线的面积 . 解:例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶 , 其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离? 内容小结则有1. 微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式2

8、. 变限积分求导公式 作业第三节 P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12备用题解：1.设求定积分为常数 ,设, 则故应用积分法定此常数 .2. 设证：试证: 当 目录 上页 下页 返回 结束 时, = o( ) . 所以 = o( ) . 洛3.求解: 由于的递推公式(n为正整数) . 因此所以其中二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五章 一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足:1)2) 在上证: 所证等式两边被积函数

9、都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 ,因此有则则说明:1) 当 1 时收敛 ; p1 时发散 .因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p1 时, 反常积分发散 . 例3. 计算反常积分解:二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 则定义则称此极限为函 记作若被积函数在积分区间上仅存在有限个

10、第一类 说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界 ,为瑕点(奇点) .例如,间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意: 若瑕点计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗?下述解法是否正确: , 积分收敛例4. 计算反常积分解: 显然瑕点为 a , 所以原式例5. 讨论反常积分的收敛性 . 解:所以反常积分发散 .例6. 证明反常积分证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .当 q1 时所以当 q 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (2003 考研) 证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单