最新精品新教材高一数学必修二学案6.2.4向量的数量积

1、 6. 2. 4向量的数量积【学习目标】素养目标学科素养.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）和.、云管.理解a在台上的投影向量的概念。（重点）.理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）；嗜,丁.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。电弭推理【自主学习】一.两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a, b, 0是平面上的任意一点，作应=a, OB=b,则N月必= 夕（0W夕W-）叫做向量a与b的夹角.注意：当。=0时，向量a与占;b/B当时，向量&与占,记作a_L6； 当。=71时，向量A与占.注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示,/

2、胡。不是向量洒与蠢的夹角.作通=日，则N员”才是向量冷与壶的夹角.4X.向量的数量积/76已知两个 向量a与b,我们把数量a 21 cos 0叫做向量a与方方的（或）,记作b,即& 6= a 6 cos （。为a, b的夹角）.规定：零向量与任一向量的数量积为.注意：（1） “ ”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“X” ；（2）数量积的结果为数量，不再是向量；向量数量积的正负由两个向量的夹角。决定：当。是锐角时，数量积为正；当。是钝角 时，数量积为负；当。是直角时，数量积等于零.投影向量若与方方向相同的单位向量为e, a与方的夹角为。，则向量a在向量6上的投影向量为a cos 0

3、 e.当。=0时，投影向量为：当时，投影向量为；当。=九时，投影向量为.向量数量积的性质设&，占是非零向量，它们的夹角是8, e是与6方向相同的单位向量，则（l）a e=e a=.（2） a _（3）当a与占同向时，& 8=；当a与占反向时，a b=.特别地，或a =yj a a.（4） a % W I a b .a h（5）cos4=工，其中。是非零向量&与6的夹角.a b数量积的性质的应用:性质可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；性质表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求 向量的模；性质可以解决有关“向量不等式”的问题；性质的实质是平面向量数量积的逆

4、用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.五.向量数量积的运算律已知向量a, b, c和实数1，则(1)交换律:;数乘结合律：;(3)分配律：注意：(1)向量的数量积不满足消去律;若小A c均为非零向量，且ac=bc,但得不到a =b.(a b) ca (b c),因为a b, b c是数量积，是实数，不是向量，所以(a b) c 与向量c共线，a (小。)与向量a共线，因此， c=a (6在一般情况下不成立.(3)推论：(aS) = /2a 方+氏【小试牛刀】思维辨析(对的打“ J ”，错的打“ X ”)(1)两个向量的数量积仍然是向量.()若a 6=0,则a与方至少有一个为零向量.()若a

5、 垃0,则8与6的夹角为锐角.()(4)若 a c=6 c(cWO),则 a=b.()对于任意向量小 都有8a=ar.()(6) a, 6 共线=& b= a 6.()【经典例题】题型一求平面向量的数量积点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量 的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.例1已知a =5, b =4, &与6的夹角为120 ,试求： a b(a+b) (5-/)；(2a-tf) (a+35).【跟踪训练】1如图,在翅町中，I丽=4, |森|=3, ZZZ45=60 ,求：1) AB-DAx (2) AC-B

6、D.A题型二求向量的模点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用aa=/=l J或屏=4/例2已知平面向量a与b的夹角为60 , a =2, b =1,则a+2b =。【跟踪训练】2已知向量8与b的夹角为45 ,且| a =1, ； 2a+b =，而，则b .题型三求两向量的夹角a b点拨:求向a 1 j b夹角的关键是计算a b及a 6 ,利用cos 0 =, 0 E. _0, n ,a b求出0的值.在个别含有1-，%I与a方的等量关系中，常利用消元思想计算cos。的值.例 3 (1)已知 a =6, b =4, (a+26) (a-36) = - 72,则 a 与占的夹角为：(2)已知

7、非零向脑a, 6满足la =2 b ,且(ab) _L6，则a与方的夹角为一 .【跟踪训练】3已知单位向量色，的的夹角为:，求向量&=该十外, 8=/一2叨的夹角. O题型四利用向量垂直求参数点拨:常用向量数量积的性质a-6=0解决向量垂直问题，应熟练掌握.例4已知a_LB lai =2, I引=3,则当A为何值时，向量3a+26与h一方互相垂直？【跟踪训练】4已知向量a与6的夹角是:，且a|=l, I引=2,若A 6) _La,则实数/I =.【当堂达标】.下列命题正确的是()A.b = a bC. a b=0= a b =0B. a bWOo a + b WOD. (a+b) c=a c+

8、b c.在板中，月S月0,则月万。是（C ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 TOC o 1-5 h z .已知平面向量a,6满足a （a+6） =3且a =2, 8 =1,则向量a与方的夹角为（）Jina-tb-t2 n5 nC. D. -t- 3b.已知向量:a叮8的夹角为120。，且a| =4,引=2,则|a+8=, 3a-4b =.已知a|=3, 1引=5, a6= 12,且e是与8方向相同的单位向量，则&在6上的投影向 量为.已知向量&, 6的夹角为60 ,且a =2, b =1,若。=2&-6, d= a+2b,求： c d； （2） c+2H.【课堂小结】

9、.两向量a与方的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当aWO, bW0,0WV 白时），也可以为负（当aW0,5W0，；V 8W五时），还可以为0（当&=0或8=0或。=怖时）.乙乙乙.两非零向量a，b, a-Lba 6=0,求向量模时要灵活运用公式a =ja.求两个非零向量a，6的夹角。或其余弦值一般采用夹角公式cos =7i?激，根据题中 条件分别求出lal，I引和aA确定。时要注意0,冗.【参考答案】【自主学习】.同向垂直反向.非零数量积内积0 I II I三 a e Q a e四.a cos ， a b=0 a b a b a五 a bb a ( a) b= (s b) =

10、a 96) (a+6) c=a c+b c【小试牛刀】 X (2)X (3)X (4)X (5) J X【经典例题】例1 解a，6= a b cosl20 =5X4X ( 一 ；)= -10. 乙(a+b) (a b) =aa b+a ba b 2516=9.(2a b) (a 36) = 2a +6a b a b 3b 2 a * + 5a b 3 b , = 2X25 5X 10 3X16=-48.【跟踪训练】1解 因为砺与砺的夹角为60 ,所以法与府的夹角为120。， 所以9而=AB DA cos 120 =4X3X(2)因为泰=森+砺，BD=AD-AB,所以比丽=(舫+葩)(砺一葩)=

11、而一而=9-16=一7.例 2解： a+2引=yj(a+26)-=yja+4a b+4/f=yj a +4 I ab cos 60 +4 b【跟踪训练】2 y2解：因为;28+方=，I5,所以(2a+6)”=10,所以4a+48 6+6 = 10, 又因为向量a与力的夹角为45且a =1,所以4X/+4X1X b X喙+=10, 整理得/ 一 + 2mb 6=0,解得b =能或b =-3/(舍去). TOC o 1-5 h z 例3gg OO解析 (1)设 a 与 6 的夹角为。,(&+2B) (8-3b) a , a-3a , 2+2b a6b bI a - a , b6 b a a b c

12、os 0 -6 b 6 6X 4 X cos 0 -6X4 12, -r -i冗所以 24cos。=36 + 72 - 96 = 12,所以 cos 夕=5 .乂因为nJ,所以 0=.(2)设a与方的夹角为，由(&方)_1_6,得(aB) 6=0,所以a 所以cos 0 =a b HYPERLINK l bookmark16 o Current Document I ri2n乂因为 a =2 b ,所以 cos。=；7丁=5.乂因为 00,汨，所以 0=-【跟踪训练】3解：叨，勃为单位向量且夹角为十，n 1 叨 &2 1 X 1 X cos 9*31二一5 乙a b=(e1+ez) , (e?

13、-2冉)=-2叨 e2-l = -2乙又60, n, ：夕=?, .a与b的夹角为三二 Oo例4解：因为3a+26与后一占互相垂直，所以（3日+2方）（履-6）=0,所以 3Aa+（2A3） a 22 = 0.3因为 所以 a 2=(), Xia =2, b =3,所以 12418 = 0, k=- 乙【跟踪训练】4 一小 解析：根据题意得a b a * b cos 1因为(小a+1b)_La， J所以b) * &=，5万+ 1 a 4=0,所以 1 =一木.【当堂达标】D解析：选项D是分配律，正确，A、B、C不正确. C解析：*：AB*AC= AB ACiCosA| =419.12o A194.一三e解析：设a与6的夹角。，则cos。=*4-=6广=一二，所以a在6上的投影0EL D 0 0U.解：因为向量a与占的夹角为60 . a =2, 6=1,所以a-6=a 6 cos60 =1, 因为 c