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文档简介

1、第5章 定积分及其应用5.3 定积分的应用5.3.1 定积分的微元法5.3.2 定积分在几何上的应用5.3.2 定积分的几何应用1平面图形面积的计算1、直角坐标系下的面积公式（1）所界图形的面积:（2）所界图形的面积:A（3）所界图形的面积:A所界图形的面积:（4）解（5）所界图形的面积:A(1) 作草图选取积分变量从图形可知选取 x 为积分变量例 计算由曲线 所界图形 的面积 A联立方程组 解得两曲线的交点(3) 计算积分(2) 求两曲线的交点, 确定积分区间从而确定积分区间: -2 , 4 例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积 1-1x=2y2x=1+y2解(1

2、)作草图, 选取 y 为积分变量(2)求两曲线的交点, 确定积分区间得 y = -1, y =1 , 积分区间-1 ,1解联立方组： 根据图形选取合适的积分变量有助 于简化问题 说明:1 53当 y0 = 3 时 , x0 = 2两边对 x 求导得令 x =2 ,y =3 得切线方程 即 选取 y 为积分变量求由抛物线 和它在纵坐标为 y0=3 的 点处的切线以及x轴所围成图形的面积 例解2解计算曲线 与 x 轴在区间 0 , 2n 所围成区域的面积 例2 旋转体的体积计算旋转体: x x+x空间体 平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的 计算此曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积（ f (x)

3、在 a , b 上连续）设曲边梯形由 y = f (x) , x = a , x = b 及 x 轴所界，(7)设子区间 x, x+x 上小曲边梯形绕 x 轴旋转的体积为V 同理可得: (8)x x+x下面考虑曲边梯形:绕y 轴旋转所得立体的体积y =d 及y 轴 , 曲边梯形x =g (y) , y=c ,设子区间 x, x+x 上小曲边梯形绕 y 轴旋转的体积为V 的体积:绕y 轴旋转所得绕 x 轴旋转所得的立体的体积:同理可得: 曲边梯形 (10)(9)解解例 求由抛物线所围图形的面积 , 并将此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积 画出草图, 选取 x 为积分变量 , 积分区间为 -1 , 1 . 所以 , 所围图形的面积 所围图形绕 x 轴旋转的旋转体体积 :解 当容器以匀角速度 绕 y 轴旋转时, 容器液面的轴截面截线方程为:设容器是底半径为 R , 高为 H 的圆柱形容器, 里面盛例 有水的体积为 V, 试求常数 C (假定V足够大) ,又问 当以多大

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