第3章-交流电路[160页]课件

1、第3章交 流 电 路在电工、电子电路中广泛应用交流电源和交流信号：正弦交流电源交流信号主要内容正弦交流电的基本概念正弦量的相量表示法单一元件参数电路简单的正弦交流电路复杂交流电路的分析和计算正弦交流电路的功率正弦交流电路中的谐振非正弦周期电流电路三相交流电路3.1 正弦交流电的基本概念1、周期电流随时间作周期性变化的电流称为周期电流。周期电流在某一时刻的值称为瞬时值。周期电流瞬时值的表达式是时间的周期函数，它应该满足经过一定的时间T，电流的变化完成一个循环，以后又周而复始地按照原来的规律不断变化。我们把电流变化一个循环所需要的时间T 称为电流的周期(Period)，周期的单位是秒(s)。1、周

2、期电流如图3-1所示为几种常见的周期电流，单位时间内电流变化所完成的循环数称为频率。根据这个定义，频率f 与周期T 应是互为倒数的关系，即图3-1 几种常见的交变电流1、周期电流频率f 的单位为赫兹(Hz)。在一个周期内平均值为零的周期电流称为交变电流。关于周期、频率的说明，也适用于电压、电动势、磁通量等物理量。2、正弦交流电 在电力和电子技术中普遍使用正弦交流电。正弦交流电瞬时值的一般表达式为从上述表达式可以看出，每个正弦量(Sinusoid)都包含三个基本要素：最大值或幅值(Um 或Im)、角频率()及初相位(u 或i)是区别不同正弦交流电的依据。图3-2 正弦交流电的三要素最大值(幅值)

3、 正弦量的瞬时值中的最大值称为最大值(Maximum Value)或幅值(Amptitude)，一般用大写字母并带 m 下标来表示。如Um ，Im分别表示电压和电流的最大值。角频率 正弦交流电每完成一个循环，在时间上是经过一个周期T，正弦函数的角度变化2弧度(rad)。我们把单位时间内变化的角度称为角频率，用 表示，而单位时间内交流电循环了f 次，因此有其单位为弧度/秒(rad/s)。初相位正弦交流电表达式 表示正弦量变化的角度，称为该正弦交流电的相位角，简称相位，单位是弧度。在t0时的相位称为初相位或初相角，其值与计时起点有关。由于正弦量是周而复始重复变化的量，开始计时的时刻即坐标原点可以任

4、意选取初相位则为一个随计时起点而变的任意数。习惯上用大于小于等于的某一角度表示。幅值、角频率和初相位是表示一个正弦量关键要素。三者被确定下来，在任一时刻的状态就被确定了。相位差两个正弦量之间的计算：相位差是关键数值。两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差。u和i的初相位分别为1和2，u 与i的相位差为相位差频率相同，相位差也就是初相位之间的差。相位差反映了两个同频率正弦量在时间轴上的相对位置，或者说它们随时间变化的先后。设=u -i(u与i分别为正弦量u与i的初相位)，若0，说明ui，则u比i先达到最大值（零点），称u超前i一个相位角。若0，说明ui，则u滞后i一个相位角。若=0，表示u=i

5、，即u与i同相位，简称同相。若=，则称它们反相。相位差当两个同频率正弦量的计时起点（t=0）改变时，它们的初相位即跟着改变，但它们之间的相位差不变。在交流电路中，常常研究多个正弦量之间的关系，为了方便，可以选其中某个正弦量作为参考，称为参考正弦量。令参考正弦量初相位为零，则其他各正弦量的初相位即为该正弦量与参考正弦量之间的相位差。3、交流电的有效值交流电的有效值是根据电流的热效应原理来定义的。设有交流电流i通过一个电阻R，在一个周期内产生的热量为Qa，若与一个直流电流I通过相同电阻R在相同时间内产生的热量Qd相等，则这一直流电流的值就称为该交流电流的有效值。交流电流i通过电阻R时，在一个周期T

6、内产生的热量为直流电流I在相同的时间内通过相同的电阻R产生的热量为3、交流电的有效值若二者相等，即有由此得到交流电流的有效值对于交流电压有效值则有 周期量的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此有效值也称为均方根值。3、交流电的有效值对于正弦交流电流，有反之则有 对于正弦交流电压相应地有例3-1已知 ，=314rad/s，t=0时其瞬时值为16A，试求有效值I，并求t为多少时i=Im？解：将t=0代入i中，据已知条件得解出例3-1于是若i=Im，即有解出3.2 正弦量的相量表示法正弦交流电可以用三角函数形式或它的曲线波形图表示，但对电路进行分析计算时，这两种方法都不方便。在电

7、工、电子技术中常采用矢量(Vector)和相量(Phasor)来表示正弦量。1、正弦量的矢量表示法一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位三要素来确定，而在平面坐标上的一个旋转矢量可以表示出正弦量的三要素，所以旋转矢量可以表示正弦交流电。用旋转矢量表示正弦量的方法是：令一矢量的长度等于正弦量的最大值，矢量的初始位置(t=0时的位置)与横轴之间的夹角等于正弦量的初相位，并以正弦量的角频率的角速度作逆时针旋转，则这样一个旋转矢量任一时刻在纵轴上的投影就是相应正弦量在该时刻的瞬时值。1、正弦量的矢量表示法例如，正弦量iImsin(ti)。在t=0时，i(0)Imsini；在t=t1时，i(t1)=Im

8、sin(t1i)；在t=t2时，i(t2)=Imsin(t2i)。可见，任何一个正弦量都可以用一个相应的旋转矢量来表示。1、正弦量的矢量表示法图3-3 正弦量的矢量表示法1、正弦量的矢量表示法在线性电路中，若激励是某一频率的正弦量，则电路中各部分的电压、电流将与激励为同一频率的正弦量，即它们所对应的旋转矢量的旋转速度相同。因此，应用旋转矢量分析这些正弦电压、电流时可以将它们当作不动的矢量来处理，即可以用矢量表示线性电路中的正弦量。将几个同频率的正弦量用相应的矢量表示并画在同一个坐标平面上，这样的图称为矢量图。矢量图可以简单而明确地表示同一电路中各个电压(电流)的大小和相位关系，并可以进行正弦量

9、的加减。2、正弦量的相量表示法在数学上，矢量可以用复数表示，因此用矢量表示的正弦量也可以用复数来表示.。这时直角坐标要改为复数坐标，横轴称为实轴，单位是+1，纵轴为虚轴，单位为j( j= )。实轴与虚轴所构成的平面称为复平面。复平面中有一矢量A，其实部为a，虚部为b，A可以用下面复数式表示：A=a+jb2、正弦量的相量表示法它称为复数的模(Modul)；它称为复数的辐角(Argument)。图3-4 矢量复数表示2、正弦量的相量表示法根据欧拉公式或写成2、正弦量的相量表示法可见，一个复数可以用多种形式来表示：复数的代数形式；复数的指数形式；复数的极坐标形式。2、正弦量的相量表示法如果用复数表示

10、正弦量，则复数的模即为正弦量的幅值，复数的辐角即为正弦量的初相位。为了与一般复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并用大写字母上加点表示。这样，表示正弦电压u=Umsin(t)的相量应为为了使计算结果能直接表示正弦量的有效值，通常使相量的模等于正弦量的有效值，这样正弦量2、正弦量的相量表示法可表示为 称为电压的幅值相量， 称为电压的有效值相量。我们后面所用的均是有效值相量，简称为相量。应当指出，相量可表示正弦量，但不等于正弦量。2、正弦量的相量表示法用相量表示正弦量有两种形式：一种是上面介绍的复数形式；另一种是相量图。按各正弦量的大小和相位关系，用矢量画出若干相量的图形称为相量图。在分析

11、电路时，常常利用各相量之间的关系，用几何方法求出所需的结果。例3-2已知 ， ，试写出 和 的表达式，并画出其相量图。解：i1和i2对应的电流相量表达式分别为 与 的相量图如图所示， 的长度为 的一半。相量图 3、复数复数的基本形式前已述及，复数的基本形式有三种：代数型、指数型和极坐标型，可分别写作对于同一个复数，这三种形式之间可互相转换，转换关系为复数的四则运算复数相加或相减的运算采用代数形式进行，即把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，其和或差仍为复数。例如：复数的四则运算复数相加减的运算也可以在复平面上用平形四边形法则通过作图来进行。两个复数A1和 A2相加和相减的运算过程。图3-6 两个

12、复数相加或相减的几何意义复数的四则运算两个复数相乘时，用代数形式为用指数形式或极坐标形式为复数的四则运算复数A除以复数B时，用代数形式为用指数形式或极坐标形式为例3-3已知 ，求 和解：方法一例3-3方法二4、基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对任意电流波形的电路来说，在任一瞬间也是适用的。基尔霍夫定律的电流和电压定律的一般形式为在正弦交流（线性）电路中，由于电路中的各电量均为同频率的正弦量，故基尔霍夫定律可用相量来表示，其相量形式为流出（或流入）任一节点的电流相量之和等于零；沿任一回路的电压相量之和等于零。3.3 单一元件参数电路分析正弦交流电路，主要是研究电路中电压与电

13、流之间的大小及相位关系，并讨论电路中能量的转换和功率问题。为此，我们首先确定单一元件参数（电阻、电感、电容）电路中电压与电流之间的关系，而后由这些元件组合而成的电路也就不难求解了。1、电阻电路电压与电流的关系电阻上u与i的参考方向选取一致，由欧姆定律得 u=Ri图3-7 电阻上电压与电流1、电阻电路选取正弦电压u的初相位为零，即设 于是有可见，电阻上的电流i与它两端的电压u是同频率同相位的正弦量。欧姆定律的相量表示形式为或图3-8 电阻电路功率电路任一瞬间所吸收的功率p等于该时刻瞬时电压u与瞬时电流i的乘积。电阻电路所吸收的瞬时功率为由此可见，电阻吸收的瞬时功率由两部分组成：第一部分是常数UI

14、，第二部分是幅值为UI，并以2的角频率随时间变化的交变量UIcos2t。p的变化曲线如图所示。从曲线可以看出，电阻所吸收的瞬时功率在任何瞬间总是大于或等于零的，这说明电阻是耗能元件。功率瞬时功率一般实用意义不大。通常所说的正弦电流电路的功率是指一个周期内的平均功率，又称有功功率，用大写字母P来表示。这里U与I是电压与电流的有效值。图 3-9 电阻电路的功率例3-4图3-10中 ，P=200W，求电流 和电阻 R。解：由 得由 得图3-10 例3-4电路2、电感电路图 3-11为一电感电路，在标定的参考方向下，根据电磁感应定律，感应电压为设有正弦电流i=Imsint 通过电感，则产生的感应电压为

15、图3-11 电感电路2、电感电路可见，电感电压u与电流i同频率的正弦量，且电压的相位超前(Lead)电流90，其大小关系为Um=LIm或U=LI式中，L是电感电压U与电流I的比值，用XL表示，即XL=L=2fL称为感抗(Inductive Reactance )，单位为欧姆()。2、电感电路感抗XL反映了电感阻止正弦电流通过的能力。XL与电感量L和频率f成正比。在L一定时，频率越高，电感对电流的阻碍作用越大，在极端情况下，若f，则 XL ，电感可视为开路；若f=0(直流情况)，则XL=0，电感可视为短路。2、电感电路必须注意，感抗只是电感电压与电流的幅值或有效值之比，而不是它们的瞬时值之比，这

16、与电阻电路不同。如果用相量表示电感电压与电流的关系，则为这就是电感电路中欧姆定律的相量形式。它既表达了电压与电流有效值之间的关系为U=LI ，又表达了电压相位超前电流 90。电压与电流的波形图如图所示，相应的相量图如图所示。2、电感电路图3-12 电感电路的电压、电流及功率2、电感电路由u和i的变化规律和相互关系，很容易得到电感电路吸收的瞬时功率为由此可见，电感从电源吸收的瞬时功率是一个幅值为UI，并以2角频率随时间变化的正弦量，其变化曲线如图所示。2、电感电路从曲线上可以看出，瞬时功率有正有负，这表明电感有时从电源吸收能量（为正时），有时将能量反馈回电源（为负时）。曲线所包围的正负两部分的面

17、积是相等的，即平均功率这就是说，电感在电路中不消耗功率，仅与电源之间有功率的交换，所交换功率的最大值为UI。例3-5设一电感元件L=0.01H，接于220V（有效值）的电源上，电源频率f=50Hz，试求：(1)流过电感的电流i；(2)若电源电压不变，频率f变为500Hz，重求(1)。解：(1)感抗为选电压为参考相量，即则即电流例3-5(2)当频率f=5000Hz时 3、电容电路图 3-13所示为一电容电路，在标定的参考方向下有设u=Umsint ，则图3-13 电容电路3、电容电路可见，电容电流与电压是同频率的正弦量，且电流相位超前电压90，两者的大小关系为令 ，XC称为电容的容抗，单位为欧姆

18、()。容抗反映了电容阻止正弦电流通过的能力。 XC与电容量C和频率f成反比。在C一定时，频率越高，电容对电流的阻碍作用越小。在极端情况下，若f，则XC =0，此时电容可视为短路；当f=0（直流）则XC，此时电容可视为开路。3、电容电路电压相量与电流相量的关系为这就是电容电路中欧姆定律的相量形式。它既表明电压有效值是电流有效值的 倍，又表明电压相位滞后(Lag)电流 90。电容电压与电流的波形图如图所示，电容电压与电流的相量图。3、电容电路图3-14 电容电路的电压、电流及功率3、电容电路电容电路吸收的瞬时功率为电容电路瞬时功率变化曲线如图所示。与电感电路相似，电容有时从电源吸收功率，有时将功率

19、反馈回电源。而平均功率即电容电路也不消耗功率，只与电源进行功率交换，其最大值为UI。例3-6设有一电容器C=31.5810-6F，接于U=220V0 V，f=50Hz的电源上，试求该电路电流 。若电源电压不变，频率变为106Hz，再求电路电流。解：(1)容抗为电流相量为例3-6若频率为106Hz，则容抗为3.4 简单的正弦交流电路上节讨论的是单一元件的电路，本节讨论简单串联和并联电路。1、RLC串联交流电路图3-15 RLC串联电路3.4 简单的正弦交流电路设有正弦电流通过 ，则R，L，C分别有压降对应的相量形式为3.4 简单的正弦交流电路根据基尔霍夫定律的相量形式，有式中 它是感抗与容抗之差

20、，称为电抗(Reactance)，单位为欧姆()。而3.4 简单的正弦交流电路称为电路的复阻抗，简称阻抗。它的实部为电阻，虚部为电抗，它表示了电路中电压与电流的关系。复阻抗是一个复数，但它不代表正弦量（不同于正弦量的复数表示），所以它不是相量，写时用不加点的大写字母Z来表示，以便和电压相量、电流相量相区别。3.4 简单的正弦交流电路图3-15(b)是与图3-15(a)对应的相量形式的电路图；复阻抗在电路中可以用图3-15(c)所示的图形符号表示，它与电阻的图形符号相似。图3-15 RLC串联电路3.4 简单的正弦交流电路 描述电压相量与电流相量之间关系的表达式。在形式上与直流电路的欧姆定律相似

21、，因而可以看作是欧姆定律在交流电路中的表达式。既然Z是个复数，故可写作3.4 简单的正弦交流电路复阻抗的模复阻抗的辐角称为阻抗角，可按下式求得|Z|与R，X之间有直角三角形的关系，如图3-16所示，称为阻抗三角形。图3-16 阻抗三角形3.4 简单的正弦交流电路如果把电压与电流用有效值和初相角表示，则有与 比较，有可见，复阻抗的模等于电压与电流有效值之比，其单位为欧姆()；而辐角就等于电压对电流的相位差。3.4 简单的正弦交流电路当XLXC时，X0，0，电压相位超前于电流，电路呈电感性，称为感性电路。当XLXC时，X0，0，电压相位滞后于电流，电路呈电容性，称为容性电路。当XL=XC时，X=0

22、，=0，电压与电流同相位，电路呈电阻性。3.4 简单的正弦交流电路前一节讨论的单一参数的电路可以看作是RLC串联电路的特例，它们的电压与电流的关系都统一在式中。图3-17所示为RLC串联电路的电压相量图。因为是串联电路，R，L，C中流过的是同一电流，所以选取电流 为参考相量，将它画在水平位置。然后根据 与 的相位差画出这三个相量。三者进行相量相加，便得到总电压相量。 和 组成了直角三角形，称为电压三角形图3-17 电压相量图例3-7图3-18为一RC串联电路，R=1k，C=0.05F， =50V， f=5103Hz。求 并画出相量图。图3-18 RC 串联电路例3-7解：电路阻抗为电流相量电阻

23、两端电压相量电压相量图如图3-18(c)所示。图3-18 (b)为该电路的阻抗三角形。 2、阻抗的串联和并联阻抗的串联图3-19为阻抗Z1与Z2的串联电路。图中即等效阻抗为图 3-19 阻抗的串联电路 阻抗的串联这里的结论与电阻串联电路相似，只要注意 Z 为复数就可以了。应用与电阻串联电路同样的方法，可以得到分压公式当n个阻抗串联时，显然有 阻抗的并联图3-20为阻抗的并联电路，图中即并联后的等效阻抗为图 3-20 阻抗的并联电路 阻抗的并联这里的结论与电阻并联电路相似。应用与电阻并联电路相同的方法，可以得到分流公式导纳复阻抗的倒数称为复导纳，简称导纳，即由 可知导纳的模与阻抗的模互为倒数，导

24、纳的辐角是阻抗辐角的负值。图 3-21 导纳的并联电路应用导纳来计算并联电路较为方便。对于并联电路，例如图3-21所示，比照直流电路中电导的并联，可以得到其等效导纳为例3-8图3-22所示电路中， R=10，XL=15， XC=8，电路端电压 ，求：(1)电流 (2)画出相量图；(3)电路的等效阻抗Z和等效导纳Y。图3-22 例3-8电路例3-8解：(1)例3-8解：(2)相量图如图3-22(b)所示。(3)3.5 复杂交流电路的分析和计算对于复杂的正弦交流电路，可以像直流电路一样，应用节点法、支路法、叠加原理、等效电源定理等来进行分析和计算。所不同的是，电压和电流要用相量来表示，电路的参数要

25、用复数来表示。例3-9图3-23(a)所示电路中 ， ，求图3-23 例3-9电路例3-9解：各支路阻抗为等效阻抗各支路电流例3-9解：其电流相量图如图3-23(b)所示。例3-10用支路电流法求图3-24中各支路电流。其中R=10，XL1=12.5，XL2=50，图3-24 例3-10电路例3-10解：根据基尔霍夫定律的相量形式，列出节点电流方程和回路电压方程：代入数据并整理得例3-10解得例3-11例3-10所用电路及其参数不变，用戴维南定理求解：提出R所在支路，画出其余部分电路如图3-25(a)所示。图3-25 例3-11电路例3-11解：其开路电压为等效阻抗为例3-11等效电路如图3-

26、25(b)所示。由此电路求得例3-12用叠加原理求图3-26(a)所示电路中电容电压 。已知 ，XL=5， XC=3。图3-26 例3-12电路例3-12解：先设图3-26(a)所示电路中的电压源单独作用，用电流源代以开路，如图3-26(b)所示，此时有再设电流源单独作用，电压源代以短路，如图3-26(c)所示，此时有故3.6 正弦交流电路的功率 瞬时功率有功功率视在功率和无功功率一般交流电路中负载吸收的功率 1、瞬时功率电路如图3-27所示。设负载电流为i=Imsint负载电压为u=Umsin(t+ )式中，为电压与电流的相位差。该电路中负载吸收的瞬时功率为 1、瞬时功率瞬时功率的波形如图3

27、-27(b)所示。从图中可以看出，瞬时功率的值有正有负，正值表示负载从电源吸收能量，负值表示负载将储存的能量返还给电源。在给定的时间内正、负两部分面积的差值就是负载在这段时间内消耗的电能。图3-27 正弦交流电路的瞬时功率2、有功功率在一个周期内，电路所吸收的瞬时功率的平均值称为平均功率，又称为有功功率，即有功功率不仅与电压、电流有效值的乘积有关，而且与电压、电流的相位差有关。对于正弦交流电路来说，计算功率比直流电路多出了一个cos ，它是电压与电流相位差的余弦，称为功率因数，而称为功率因数角。功率因数的大小取决于电路参数。2、有功功率在纯电阻情况下，=0，cos=1，P=UI；在纯电感或纯电

28、容情况下，|=/2，cos=0，P=0；而在既有耗能元件，又有储 能元件的情 况下，则有0|/2，0cos1，PUI。3、视在功率和无功功率在正弦交流电路中，电压有效值U与电流有效值I的乘积称为视在功率，通常用S表示，即S=UI视在功率的量纲与有功功率相同，但为了区别于有功功率，视在功率的单位用伏安(VA)而不用瓦特(W)。生产实际中使用的电机和电器，其额定电压和额定电流是一定的，实际的电压和电流不许超过额定值，因而视在功率也有一个额定值。对于电阻性电器，例如电灯泡，其功率因数等于1，所以其视在功率也就等于这种电器的有功功率。3、视在功率和无功功率而对于像变压器这种设备，由于它的功率因数与其外

29、部负载的性质有关，所以只能给出额定的视在功率，而不能给出有功功率的额定值。例如，某台大型变压器的容量是10000kVA(即其额定视在功率是10000kVA)，当功率因数cos=1时，其输出功率是10000kW，而当cos=0.7时，它只能输出100000.7=7000kW的功率。由此可见，为了充分利用发电机或变压器必须尽量提高功率因数。3、视在功率和无功功率在工程上还引用无功功率(Reactive Power)的概念，用字母Q表示，它定义为Q=UIsin无功功率的量纲和有功功率、视在功率相同，但为了区别起见，它的单位为乏(var)。无功功率可以是正值，也可以是负值。必须注意，式中的已规定为是电

30、压对电流的相位差，即=u-i。这样，对于电感性电路，电压超前于电流，0，于是Q0，即无功功率为正值；对于电容性电路，电压相位滞后于电流，0，于是Q0，即无功功率为负值。3、视在功率和无功功率对于纯电感电路，=90，于是其无功功率为QL=UIsin90=UI对于纯电容电路，=-90，于是其无功功率为QC=UIsin(-90)=-UI对于纯电阻电路，=0，于是其无功功率为QR=UIsin0=03、视在功率和无功功率三者关系可以用图3-28中的直角三角形表示，此三角形称为功率三角形( Power Triangle)。可以看出，此三角形与阻抗三角形相似。图3-28 功率三角形视在功率、无功功率、有功功

31、率之间的关系为3、视在功率和无功功率在图3-29所示的相量图中，将电压相量分解成与电流相量同相位的分量 和相正交的分量 ，它们的大小分别为Ua=Ucos， Ur=UsinUa与电流I的乘积即等于有功功率，而Ur与电流I的乘积即等于无功功率，故 与 分别称为电压相量的有功分量和无功分量。3、视在功率和无功功率图3-29 有功分量与无功分量同理，可以将电流相量I分解为有功分量Ia与无功分量Ir，如图3-29(b)所示，它们的大小分别为Ia=Icos， Ir=Isin3、视在功率和无功功率可以证明，对于任何复杂的正弦交流电路，电路中总的有功功率等于各个支路（或元件）有功功率之和，总的无功功率等于各个

32、支路（或元件）无功功率之和，而总的视在功率在一般情况下不等于各支路（或元件）视在功率之和，即例3-13在图3-30电路中，U=240V， R1=28，XL=96， R2=48， XC=64。求各支路及总的有功功率、无功功率和视在功率。图3-30 例3-13电路例3-13解：(1)各支路阻抗为以电压相量作为参考相量，各支路及总电流为例3-13解：例3-13解：对于支路1对于支路2例3-13解：电路总功率3.7 正弦交流电路中的谐振谐振是电路中可能发生的一种特殊现象。谐振现象广泛应用于无线电工程、测量技术等许多电路中，但另一方面，发生谐振时又有可能破坏系统的正常工作。因此，对谐振现象的研究很有实际

33、意义。由电阻、电感、电容组成的正弦交流电路中，例如图3-31所示电路，电路的端电压 与送入电路的电流 一般存在着相位差。如果改变电源频率或调节电路参数，可以使电路呈现纯电阻电路的特性，这时 与 同相位，这种现象称为电路的谐振。应用较多的谐振电路有串联谐振电路和并联谐振电路。1、串联谐振发生在RLC串联电路中的谐振称为串联谐振。图3-31(a)所示即为RLC串联电路，其阻抗为 若Z呈现纯电阻电路特性，电路工作于谐振状态，则必满足即图 3-31(a) 串联谐振电路1、串联谐振发生谐振时的角频率称为谐振角频率，用0表示，由上式可得而谐振频率为当电路参数L，C确定时，f0为一定值，故f0又称为电路的固

34、有频率。信号源或电源 的频率一定时，改变L或C的大小可以实现谐振；若L和C的值不变，可以改变 的频率来实现谐振。1、串联谐振串联谐振电路的特点如下：(1)电流与电压同相位，电路呈现电阻性。(2)串联阻抗最小，电流最大。这时由于Z =R，故电流为(3)电感端电压与电容端电压大小相等，相位相反，互相补偿。电阻电压等于电源电压。(4)谐振时电感（或电 容）的端电 压与电源 电压之比称 为电路的品 质因数 ，用Q表示，即1、串联谐振可知，串联谐振电路的品质因数也就是谐振时感抗（或容抗）与电阻之比。当Q1时，电感（或电容）上的电压将远远大于电源电压，这种特性是RLC串联谐振电路所特有的，因此串联谐振又叫

35、电压谐振。在无线电技术中，由于信号微弱，常常利用电压谐振来获得一个较高的电压。但在电力系统中，由于电源电压本身较高，若出现串联谐振，过高的电压会使电容器和电感线圈的绝缘层被击穿，所以要设法避免谐振或接近谐振的情况发生。1、串联谐振图3-31(b)为电路阻抗随频率变化的曲线，图3-31(c)为电路电流随频率变化的曲线。图 3-31 串联谐振电路例3-14在图3-32电路中, R=10，L=0.2610-3H，C=23810-12F。试求：(1)谐振频率f0；(2)该电路的品质因数Q；(3)若输入f=640103Hz，U=1010-3V的信号电源，求电路中的电流及电感电压的有效值。(4)若输入f=

36、960103Hz， U=1010-3V的信号电源，求电路中的电流和电感电压的有效值。例3-14解：(1)谐振频率为(2)品质因数(3)信号电源f=640103Hz，正好是电路的谐振频率，因此有例3-14解：(4)信号电源f=960103Hz时 2、并联谐振发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振图3-33(a)所示即为RLC并联电路，调节电路参数或电源频率，使电压与电流同相位，电路即工作于谐振状态。由电路可得图 3-33(a) 并联谐振电路2、并联谐振若使电压与电流同相位，必须满足上式的虚部为零的条件，即必定有故谐振角频率为谐振频率为这个表达式与串联谐振频率的表达式相同。2、并联谐振并联谐振的

37、特点如下：(1)电压与电流同相位，电路呈现电阻性。(2)电路的并联阻抗最大，其值为 。因此，在电源电压 一定时，电路中的电流 达到最小。如果电阻支路开路(R为)，则谐振时电路的阻抗为，电流 =0。(3)电感电流与电容电流大小相等，相位相反，互相补偿，电路总电流等于电阻支路电流。2、并联谐振(4)电感（或电容）电流与总电流之比称为电路的品质因数，用Q表示，即当Q1时，即R0L时，电感（或电容）电流会大大超过电源电流，故并联谐振又称为电流谐振。2、并联谐振图3-33(b)为并联谐振时的相量图，图3-33(c)为阻抗随频率变化的曲线。图3-33 并联谐振电路例3-15图3-34为并联谐振电路，试计算

38、其谐振频率。解：图3-34中电容支路电流为电感支路电流为例3-15解：总电流为例3-15解：并联谐振时电压与电流同相位，上式中虚部等于零，即解出或3.8 非正弦周期电流电路在生产和科学实践中，经常遇到非正弦周期电压与电流。产生非正弦周期电压或电流的原因主要有两个：一是正弦交流电源作用在非线性元件上，例如铁芯线圈、整流电路等；再一个原因是电源或信号本身就是非正弦周期电压或电流，如电子示波器中的扫描电压。3.8 非正弦周期电流电路图3-35为几种常见的非正弦周期电流、电压的波形。本节简述非正弦周期量分解成频率不同的正弦量的方法；介绍线性电路在非正弦周期电压或电流作用下的分析和计算方法。 1、非正弦

39、量的谐波分析根据数学知识可知，一个非正弦周期函数，若满足狄里赫利条件，即在一个周期内有有限个第一类间断点和有限个极值时，都可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦分量（即谐波分量），即可展开成傅里叶级数。实践中常用的非正弦周期电压或电流都满足狄里赫利条件。设f(t)为任一满足狄里赫利条件的非正弦周期函数，将其展开成傅里叶级数 1、非正弦量的谐波分析式中， ，T为f(t)的周期，k为正整数。同频率的正弦项和余弦项可以合并，因此上面的级数还可以写成式中, 1、非正弦量的谐波分析在傅里叶级数中，A0为其直流分量；Aksin(kt +k)是第 k 次谐波分量，k=1时，是与原非正弦周期函数同频率的正弦

40、波，称为基波或一次谐波，k=2时称为二次谐波，k2的谐波统称为高次谐波。从展开式中可以看出，谐波次数越高，其幅值越小，所以在工程上常取级数中的前几项之和而忽略其余的高次谐波项。当然，所取的谐波项越多，其和与原非正弦周期函数的值越接近。2、非正弦周期量的有效值和功率有效值根据交变电压和电流有效值的公式可以推出非正弦周期电压和电流的有效值分别为上两式表明，非正弦周期电压或电流的有效值等于其傅里叶级数中各个电压分量或电流分量有效值平方和的平方根值。2、非正弦周期量的有效值和功率功率根据能量守恒原理，一个非正弦周期电流既然可以分解为直流及各次谐波分量，那么其有功功率就应该等于直流及各次谐波分量所产生的

41、有功功率之和，即3、非正弦周期电流电路的计算 非正弦周期电压 u或电流i既然可以用傅里叶级数分解，那么它作用于线性电路时，电路中的各个响应就可以应用叠加原理进行计算。下面通过例题来说明计算的方法。例3-16 在图3-36所示电路中，已知R=10，L=0.05H，C=50F，电源电压为式中，=314rad / s 。试求电路中的电流i和I。图3-36 例3-16电路例3-16解：非正弦周期电压由三个分量组成，可以看作三个独立的电源u0，u1和u3串联起来共同作用于电路，如图3-36所示。其中电路中的各个响应可以根据叠加原理由各个电压单独作用时的响应来求得。对于三个分量分别进行计算。例3-16(1

42、)当直流分量u0单独作用时，其等效电路如图3-37所示，对于直流电压的作用，电感L相当于短路，电容C相当于断路。故电流i的直流分量为(2)当基波u1单独作用时，其等效电路如图3-37所示，用相量法进行计算。图3-37(3)当3次谐波u3单独作用时，其等效电路如图3-37所示，用相量法进行计算。注意由于与基波频率不同，所以电感和电容表现出来的阻抗与基波时不一样。(4)用叠加方法求电路的瞬时电流电流有效值I按式( 3-52)计算。3.9 三相交流电路生产及生活中普遍使用的交流电源是三相交流电源，简称三相电源，它可以提供三个幅值相等、频率相同而相位互不相同的正弦电压。由这种电源供电的电路称为三相交流

43、电路，简称三相电路。介绍三相电路的连接及其电压、电流的计算。 1、三相电源三相电压是由三相发电机产生的。发电机内部有三个线圈，或称三个绕组，它们的几何形状、尺寸和匝数都相同但空间位置不同，当发电机正常运转时，各个线圈中就会产生随时间按正弦规律变化的感应电压。这三个电压的有效值和频率均相等，但相位互差120，这样的一组电压称为对称三相电压，其中每个线圈的电压为一相电压。 1、三相电源图3-38 对称三相电压设三个线圈分别为AX，BY和CZ，A，B，C为它们的始端，X，Y，Z是末端，则对应线圈AX，BY和CZ的三个感应电压依次称为A相电压、B相电压和C相电压。uAuBuC1、三相电源如果选择A相电压作为参考，则三相对称电压的瞬时值可以表示为它们的相量形式为1、三相电源这三个电压的相量图和波形图分别示于图3-38中。三个相电压到达同一数值(例如到达正的最大值或零)的先后顺序称为相序。在图3-38所示的三相电压中，B相滞后于A相，C相滞后于 B 相，因此相序是A-B-C。2、三相电源的连接方式图3-39 三相电源星形接法的示意图2、三相电源的连接方式上图中忽略了线圈的直流电阻，每个线圈的感应电压用理想交