2.1.2数列的递推公式（选学） (3)

1、课程名称: 2.1.2数列的递推公式(选学) 年级：高一下学期必修五 人教B版 鞍山台安县高级中学 主讲教师：邹向志 2.1.2数列的递推公式(选学)目标导航 课标要求理解数列递推公式的概念,并能由递推公式求出数列的前几项,进而求出数列的通项公式. 素养达成通过由递推公式求通项公式的学习过程,体会函数思想的应用,而通过数列递推公式求数列的特定项体现了由特殊到一般的数学思想. 新知探求课堂探究新知探求素养养成知识探究点击进入 【情境导学】1.数列递推公式如果已知数列的 ,且从第二项(或某一项)开始的任一项an与 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.第1项(或前几项

2、)它的前一项an-1(或前几项)2.数列的通项公式与递推公式的联系与区别相同点不同点通项公式均可确定一个数列,求出数列中的任意一项给出n的值,可求出数列中的第n项an递推公式由前一项(或前几项)的值,通过一次(或多次)运算,可求出第n项an【拓展延伸】1.数列的递推公式(1)递推公式是给出数列的一种方法,反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,通项公式反映的是项与项的序号之间的关系.(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.2.由递推公式求通项公式由递推公式求通项公式时,需根据递推公式的形式特点选择合适的方法进行化简.常见的方法有:(1)形如an+1-an=d的递推

3、公式,求通项公式时可用累加法.a2-a1=da3-a2=dan-an-1=d上式累加可得:an=a1+(n-1)d.自我检测1.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1(nN*),则a4的值为( )(A)31 (B)30(C)15 (D)63C解析:因为an+1=2an+1(nN*),又a1=1,所以a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15.故选C.B 2.已知an+1-an-2=0,则数列an是( )(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列 (D)先递增后递减的数列答案:由an+1-an=20,知数列为递增数列.3.在数列an中,a1=2,a2=3,an+2=

4、3an+1-2an,则a5=.解析:a3=3a2-2a1=5,a4=3a3-2a2=9,a5=3a4-2a3=17.答案:17A类型一 由递推公式求数列的项课堂探究素养提升【例1】 在数列an中,a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(nN+),写出它的前4项.思路点拨:通过已知条件,可以先化简an与an+1的递推关系式,再通过递推关系式求出这个数列的前4项.方法技巧 在求数列的前4项时,很容易直接利用递推关系式4an+1-anan+1+2an=9(nN+)来求,这样计算量大,且易出错.遇到较复杂的关系式,要先化简,设法找出简便的递推关系式,再代入数值计算,以达到减少运算的目的.变式训

5、练1-1:若数列an中a1=0,an+1= ,写出数列的前类型二 求数列的递推关系思路点拨:结合图形找出相邻点的关系,即Q1与P2的纵坐标相等,而P2与Q2的横坐标相等,列式求解.【例2】 设a0,如图,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0a10),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An-2An-1的中点,写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n3);(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式.类型三 叠加法求通项公式【例3】 已知数列an,满足a1=1,an=an-1+ (n2),求数列的通

6、项公式.方法技巧 本题采用了n-1个等式相加消项的方法求an,有时也用法二的形式代入.若递推公式不是直接给出an+1-an=d的形式需通过变形化简.变式训练3-1:在数列an中,已知a1=2,an+1=an+n,求an的表达式.解:由an+1=an+n,得an+1-an=n,则有an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,an-2-an-3=n-3,a2-a1=1,将以上(n-1)个等式两边对应相加,整理可得an-a1= ,则有an= +2 ,所以an的表达式为an= +2类型四叠乘法求通项公式方法技巧变式训练4-1:在数列an中,已知a1=1,(n+1)an+1=nan,求an的表达式.类型五 周期数列问题思路点拨:根据数列递推关系式,寻找数列项的规律.方法技巧 若由数列的递推关系式不能求出数列的通项公式,且数列的项满足am+T=am,则可利用数列的周期性求其