金融工程学课件：10-4 互换定价原理

1、第三节 互换定价原理一、利率互换定价 1. 互换定价概念 利率互换定价就是要决定互换合约中固定利率水平，称之为互换利率(Swap Rate)。 由前所述，互换看作是一固定利率债券和一浮动利率债券的组合，或看成一系列远期利率协议。既然在互换合约签订之日时没有现金流支付(即为零)，那么互换合约此时价值应为零，也就是说决定互换合约签订日的价格就是要决定固定利率使该合约有零初始价值。 设ABC公司与XYZ公司达成一个互换合约： ABC公司以年利率为 9.9% 的固定利率向XYZ公司支付利息； XYZ每年以LIBOR 的浮动利率向ABC公司支付利息； 假定名义本金为 1000 万美元。 如图7-3-1所

2、示。ABC借款 or 卖空固定利率债券ABC贷放 or 买入浮动利率债券ABC公司XYZ公司9.9%LIBOR图7-3-1 对于ABC公司而言，签订该合约与下列三种行为是等效的： （1）ABC向XYZ借入1000万美元（支付 9.9% 利率）资金的同时，向XYZ贷出1000万美元（收取LIBOR利率）的资金。 （2）ABC公司在卖空一份面值为1000万美元、利率为9.9% 的债券合约的同时，购入一份面值为1000万美元、利率为LIBOR的债券合约。 （3）ABC公司做一系列远期利率协议多头。 由此可见，可以用债券组合或远期合约定价原理来对互换合约进行定价。 2.浮动利率债券与固定利率债券价值

3、如果浮动利率债券息票率持续不断地随市场利率水平调整为一致水平，该债券的价格应总保持为面值。若当债券息票率没有及时调整，但只要在两个息票支付日之间市场利率不剧烈变动，该债券价格与面值差距不大，而且到每一支付日支付票息后债券价格会回归到面值。所以在每一个利率支付日： 浮动利率债券价值浮动利息面值 固定利率债券价值： 3.运用债券组合对互换定价 （1）签约时互换合约（价值0）定价基本假设 假设市场是完全的，不存在无风险套利；假设投资者可进行实现其意愿的买空或卖空；不存在交易费用；不存在违约风险。 假设两公司：ABC的公司与XYZ的公司签订 2 年有效期的互换协议： ABCXYZ支付利息： 固定利率，

4、名义本金为1 000万美元； XYZABC支付利率: LIBOR，名义本金为1000万美元； 表7-3-1所列举的是XYZ公司向ABC公司支付利息时的利率标准。那么ABC公司应该向XYZ公司支付一个何种水平的固定利率呢？这也是前面我们所定义的互换价格。 LIBOR以每六个月开始时的标准计算。每半年支付一次（假设半年为180天，一年为360天）；利率（LIBOR）的期限结构如 表7-3-1所示：表 7-3-1市场年利率换算成一年支付两次的利率 假定ABC公司：在向XYZ公司发行了1000万美元固定利率债券后，又用这1000万美元的发行收入购买XYZ公司所发行的浮动利率债券。 因此有固定利率债券融

5、资现值=浮动利率债券融资现值=10000000 其中 C 代表的是债券的票息（设为常数）。由上式可知： C = 522500 美元因此，固定年利率为 这就是我们所要求的互换合约的价格。 （2）存续期间互换合约的价值 例1 假设有一W公司签订了一互换合约，支付10.67固定利率，接受LIBOR，名义本金为20 000 000美元，每6个月支付一次，共2年。我们仍设6个月实际天数均为180天。若现在是合约已履行了1.25年时，固定利率没变但浮动利率已变，设上次支付日(1年时)LIBOR为9.42，所以下次支付日(1.5年时)收到的浮动利息将是： $20 000 0000.0942 / 2 = $

6、942 000固定利息仍是： $20 000 0000.1067 / 2 = $ l 067 000 我们将该合约看作是一固定利率债券与一浮动利率债券的组合。那么在剩余的存续期内，W公司固定利率债券现金流出： 1.5年时现金流出 $ 1 067 000， 2年时现金流出为 $ 21 067 000。浮动利息流入： 1.5年时现金流入为 $ 942 000， 2年时现金流入不确定。 在1.5年利息支付后一刻，浮动债券价格应为其面值。因为浮动利率调整为贴现率。故此时现金流入(本息之和)为 $942 000 $20 000 000 贴现后得到现值。现金流量图如下： 这时互换合约定价就是先求出此时固定

7、利率债券和浮动利率债券的价格，二者之差即为此时合约的价值，那么求债券的价格所用的折现值可以求助于欧洲美元市场上3个月和9个月的美元存款即期利率，假设为9.12和9.23。 固定利率债券价格为：浮动利率债券价格为： 20 761 216 - 20 490 005 271 211 即W公司有一固定利率债券价值为$20 761 216的负债，拥有一浮动利率债券价值为$20 490 005的资产，所以合约的价值应为$271 211。一般方法： 设：ti距第i次现金流交换的时间(1in)； L：利率互换合约中的名义本金额； ri：到期日为ti的LIBOR零息票利率； k：支付日支付的固定利息额。固定利率

8、债券价值为：浮动利率债券价值为：互换价值为：下一支付日应支付的浮动利息额；：距下一次利息支付日还有 的时间。下一次利息支付日前一刻浮动利息债券的价值 例2 假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8的年利率(半年计一次复利)，名义本金为1亿美元。互换还有1.25 年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR(连续复利率)分别为10、10.5和11。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2(半年计一次复利)。在这个例子中k = 400万美元， k* = 510万美元，因此：利率互换价值为：即利率互换价值为：4.运用远期组合对利率互换定价 远期利率协议（FRA）是

9、事先确定将来某一时间一笔借款的利率。在FRA执行的时候，支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。如果市场利率高于协定利率，贷款人支付给借款人利差，反之由借款人支付给贷款人利差。 FRA可以看成一个将用事先确定的利率来交换市场利率的合约。很明显，利率互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。只要我们知道组成利率互换的每笔FRA的价值，就计算出利率互换的价值。 因此，只要知道利率的期限结构，我们就可以计算出FRA对应的远期利率和FRA的价值，因此运用FRA给利率互换定价的步骤如下： 1.计算远期利率 2.确定现金流 3.将现金流贴现 例1 我们再看上例中的情形。3个月后要交换的现金

10、流是已知的，金融机构是用10.2的年利率换入8年利率。所以这笔交换对金融机构的价值是 为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始3个月到9个月的远期利率。根据远期利率的计算公式，3个月到9个月的远期利率。10.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为所以，9个月后那笔现金流交换的价值为 同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。11.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 所以，15个月后那笔现金流交换的价值为 那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。二

11、、货币互换定价 1. 运用债券组合给货币互换定价 在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债券的组合。 例1 假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货币互换协议。如图所示，合约规定A公司每年向B公司支付11的英镑利息并向B公司收取8的美元利息。本金分别是1500万美元和1000万英镑。A公司的现金流如表所示。A公司持有的互换头寸可以看成是一份年利率为8的美元债券多头头寸和一份年利率为11的英镑债券空头头寸的组合。A公司B公司11%的英镑利息8%的美元利息图 A公司和B公司的货币互换流程图

12、日期美元现金流英镑现金流2003.10.115.0010.002004.10.1+1.201.102005.10.1+1.201.102006.10.1+1.201.102007.10.1+1.201.102008.10.1+16.2011.10表 货币互换中A公司的现金流量表（百万）买进美元债券：1500卖出英镑债券：1000用美元换英镑 如果我们定义 为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币的那一方： 其中 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值； 是从互换中分解出来的本币债券的价值； 是即期汇率（直接标价法）。 对付出本币、收入外币的那一方：例2 假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是4而在美国是9（都是连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5，同时付出美元，利率为8。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元110日元。如果以美元为本币（计算单位：百万），那么万美元万日元货币互换的价值为154.3万美元 如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的价值为154.3百万美元。2.运用远期组合给货币互换定价 货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够