金融工程学课件：10-1 衍生产品定价

1、第十章 衍生产品定价第一节 金融工程定价方法一、无套利定价法 1.无套利定价概念 如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。 根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。 1例1假设 6个月即期年利率为10%（连续复利，下同）， 1年期的即期利率是12%。 如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。2套利过程是： 第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）。并将这笔资金按12%的利率贷出1

2、年期。 第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5），用于偿还上一步的借款1000万元本息。 第三步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还远期利率协议半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。 3：10：协议6个月后以11的利率借入资金1051万，到期归还 1110万1051e0.110.5：11：以10的利率借入6个月资金1000万，到期归还 1051万1000e0.100.5：12：将借

3、入的资金以12利率贷出资金1000万一年，到期收回 1127万1000e0.121借1000借远1051还1051贷1000还1110收11271051无套利均衡：13.33%4 2.无套利定价方法的主要特征： 无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。 无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。 无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合 （自融资组合）。3.无套利定价方式(1) 用金融工具模仿定价 即通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。 5例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权来模仿股票的盈亏。6(

4、2) 用金融工具的合成定价金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同价值。例如：合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头和无风险债券。 SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S = c- p+Xe-r(T-t) 7例2 如何将无套利定价法运用到期权定价中 ？假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 8为了找出该期权的价值， 可构建一个组合

5、 一单位看涨期权空头 N单位的标的股票多头为了使该组合在期权到期时无风险，即无论3个月后股票是上涨还是下跌，其组合价值都相同。N必须满足下式： 11 N （1110.5）=9 N 0N=0.25即该组合无套利的均衡价值为2.25(90.25)9该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 期权定价为：10General case假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为 S，基于该股票的某个期权的价值是 f ，期权的有效期是 T，在这个有效期内，股票价格或者上升到 Su，或者下降到 Sd。当股票价格上升到 Su 时，我们假设

6、期权的收益为 fu，如果股票的价格下降到 Sd 时，期权的收益为 fd。 11SSuSdffufd12首先，构造一个由N股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的N值。无风险证券组合应满足 即有13如果无风险利率用 r 表示，则该无风险组合的现值一定是 而构造该组合的成本是 SNf ，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 再将 N 代入上式，容易化简得出：所以14二、风险中性定价法 1.风险中性定价法概念 在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是

7、风险中性定价原理。 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 152. 例 假设一种不支付红利股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 16在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。 P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以得出该期权的价值： 股票现金流期望期权现金流期望173.风险中性定价的思路假定风险中性世

8、界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得： 求得 同理，期权未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该期权目前的价格18三、状态价格定价技术状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。 19例A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q

9、）和下降状态（概率是1-q）。构造两个基本证券：基本证券1：价格上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2：价格上升时价值为0，下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d。 20uPAdPAPAq1q21 购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2 组成一个假想的证券组合。该组合在 T 时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流。则必有假想证券组合与证券A现在的市场价格应该相同: 又因为由单位基本证券组成的组合在 T 时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r 或22 所以只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们

10、就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。 23状态价格定价法的应用 假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是S0，期末价值是S1，这里S1只可能取两个值： S1 = Su =uS0, u1, S1= Sd = dS0, d1。 我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？ 24 我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是 N S0-B到了期末，该组合的价值 VN S1-RB R是利率因子对应于S1的两种可能，V有两个取值： 如果S1=Su, 则 V = Vu = N Su - RB， 如果S1=Sd, 则 V = Vd = N Sd - RB。 25由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有 把N和B 代入本式中，得到看涨期权的价