电磁场课件：第二章_静态电磁场I静电场

1、第2章 静电场 基本方程与场的特性 自由空间的电场 导体和电介质 电介质中的电场 边值问题 电容 部分电容 电场能量 第2章 静态电磁场I：静电场 静电场： 由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激发的电场。 本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，建立静电场基本方程并分析其物理意义，研究真空中、导体中及电介质中的静电场特性，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。 静电场知识结构框图第2章 静态电磁场I：静电场 演绎法（补充）：演绎法是与归纳法相反的一种研究方

2、法，是从既有的普遍性结论或一般性事理，推导出个别性结论的一种方法，即由较大范围，逐步缩小到所需的特定范围。它是从一般到特殊，由定义、根本规律等出发一步步递推，逻辑严密结论可靠，且能体现事物的特性。演绎法的基本形式是三段论式，它包括：（1）大前提，是已知的一般原理或一般性假设； （2）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前提应与大前提有关；（3）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场合或个别事实作出的新判断。由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激发的电场。 本章先验知识：整个这本书的脉络是演绎法，采用第1章（以数学物理方法为研究手段）给出的电磁场矢量分析

3、、场论的数学基础、麦克斯韦方程组等宏观电磁场分析基本理论，对电磁场分类中的最简单的一种类型-静态电场进行分析。2.1.1 静态电磁场2.1 静电场的基本方程和场的特性 电磁场中的源量不随时间而变化，这时场中的场量也将不随着时间而变化，而仅仅是空间坐标的函数。（按源量和场量的性质分类） 源量有哪些？场量有哪些？ 微分形式的麦克斯韦方程回顾：积分形式反映场量在某一大尺度空间的特性；微分形式能精确反映场量在空间任一点的特性，即反映细节。方程表明静态电磁场的电场和磁场没有相互耦合关系，因此可以在单一电场或磁场效应下分别进行分析和讨论。 时不变 其媒质的构成方程为:D = E D = 微分形式:积分形式

4、:显然，静电场是有散(有源)、无旋场。 2.1.2 静电场的基本方程在理想的真空状态介电常数=0 亥姆霍兹定理（回顾）：无界空间矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，因此场的散度和旋度是研究场特性的首要问题。（本书讨论的总体脉络就是分析场的散度和旋度特性！）2.1.3 真空中静电场的高斯定理1. 静电场的散度真空中静电场高斯定律的微分形式其物理意义表示为 高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。 静电场是有散(有源)场若场中某点 E0，则 0 (正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点 E0，则 d的远场情况） 。图 电偶极子

5、现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与d相重。应用叠加原理，任意点的电位为 当r很大时，r1、r2和r三者将近乎平行，此时r2 r1 dcos，r1r2 r2代入上式，得 E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若 是电力线的长度元，E 矢量将与 方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线 E 的方程。当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:2.2.4 电场线与等位线（面） 电场线与等位线（面）的性质： E线不能相交; E线起始于正电荷，终止于负电荷; E线愈密处，场强愈大;

6、E线与等位线（面）正交；图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线图 点电荷与接地导体的电场图 点电荷与不接地导体的电场例2-7 画出电偶极子的等位线和电场线 。图 均匀场中放进了介质球的电场图 均匀场中放进了导体球的电场图 点电荷位于一块介质上方的电场图 点电荷位于一块导平面上方的电场电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度E为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且图 静电场中的导体2.3 导体和电介质2.3.1静电场中导体的性质 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中 为体积

7、元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。无极性分子有极性分子图 电介质的极化用极化强度P表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度2.3.2 静电场中的电介质 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 一个电偶极子产生的电位： 极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：式中图1.2.15 电偶极子产生的电位矢量恒等式： 图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位散度

8、定理 令极化电荷体密度极化电荷面密度 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为1、高斯定律的微分形式（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（ Displacement）则有电介质中高斯定律的微分形式代入 ,得 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。2.4 电介质的电场2.4.1 电介质中的高斯定律( )( )( )qq D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。 D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的

9、 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。2、 高斯定律的积分形式散度定理图 点电荷q分别置于金属球壳的内外图 点电荷的电场中置入任意一块介质例 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点： D 线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等 r 处D 值相等；取长为L，半径为 r 的封闭圆柱面为高斯面。由 得图1.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体3. 高斯定律的应用计算技巧： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。图示平行板电容器中放入一块介质后，其

10、D 线、E 线和P 线的分布。 D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线图1.2.17 D、E与 P 三者之间的关系2.4.2 介电常数其中相对介电常数；介电常数，单位（F/m） 在各向同性介质中例2-9 同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。其间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？ 图 同轴电缆的电场图 同轴电缆的电场解：（1）设内、外导体沿轴

11、线方向线电荷密度分别为+ 和-。由应用高斯定理，得即 所以 (a b) 又因为 则得 (a b)(2)最大场强位于内导体表面( = a)，其值为例2-8 一理想的平板电容器由直流电压源U充电后又断开电源，然后在两极板间插入一厚度等于d的均匀介质板，其相对介电常数r = 6 忽略极板的边缘效应，试求：(1)插入介质板前后平行板间各点的电场强度E、电位移矢量D和电位以及极板上的电荷分布；(2)介质板表面和内部的极化电荷分布解(1)此问题是典型的平行平面场问题，故在插入介质板前的电场强度为：电位移矢量取负极板的电位为零，则板间任一点的电位为：根据高斯定理，做一圆柱形高斯面S，则：因而得插入介质板后，

12、电容器的电荷保持不变，则：得而电场强度为：则板间任一点的电位为：(2)介质极化，可得介质中的极化强度为：故可得介质板上下两端面上极化电荷面密度为：而介质板中极化电荷的体密度为：故合成电场是自由电荷与极化电荷共同在真空中产生效应的叠加，即 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。 2、电场强度E的衔接条件 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。 2.4.3 不同媒质分界面上的边界条件1、 电位移矢量D的衔接条件分界面两侧 E 的切向分量连续。 分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。图 在电介质分界面上应用环路定律则有 根据 根据 则有 图 在电介质分界面

13、上应用高斯定律 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 图1.3.3a 导体与电介质分界面在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。折射定律图1.3.3 分界面上E线的折射 介质分界面：由于介质分界面上E1t = E2t，显然可以得出 1=2即电位在介质分界面上是连续的。又由于D2n-D1n= 和 最后可以得出，边界条件的电位表示为1=2 ， 导体和电介质表面上的边界条件： = C ，式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。 3、边界条件的电位表

14、达图 平板电容器例2-10 图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为U0，试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。 解：(1)在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得 (2)极板A上的电荷面密度为 极板B上的电荷面密度为 = -D2n = -2E2 = - 2.5 静电场边值问题 唯一性定理2.5.1 泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例 列出求解区域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子图 三个不同媒质区域的静电场 为什么说

15、第二类边界条件与导体上给定电荷分布是等价的？已知场域边界上各点电位值图1.4.2 边值问题框图自然边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即2.5.2 静电场的边值问题边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图1.4.3 边值问题研究方法框图2.5.3 直接积分法 对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量

16、的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。例2-11：图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。设板间电压为U0，试求导电平板间电场。图 角形电极系统解：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量的函数，可以写出如下的第一类边值问题：由给定的两个边界条件，得 将泛定方程直接积分二次，得通解为 = C1 + C2 ， C2 = 0所以 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。证明： （反证法）2.5.4 唯一性定理设在建立带电系统电场的

17、某一瞬时，场中某一点的电位是(r)，引入增量电荷q需作功 W =(r)q式中q= v， q= S，对于电场建立的全过程，总电场能量可由上式积分得出。 2.6 电场能量 2.6.1 带电体系统中的电场能量 对于系统中无空间电荷，只有带电导体的情况： S1S2S图 电场能量enenq2enenq1V 不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例。设两导体携带的电量分别为q1和q2，其表面积对应为s1和s2，如图所示。该系统的总电场能量为由于导体表面的电荷面密度为 = D en = - D en 式中en 为导体表面的外法线方向的单位矢量；en为导体表面的内法线方向上的单位矢量。代入前式，得 2.7.2 电场能