量子力学典型题分析解答

1、量子力学例题一.求解一位定态薛定谓方程i .试求在不对称势井中的粒子能级和波函数（E匕）解薛定调方程：”下 物（，- 4dx2ft29好卬=0 X 0苏 1,中 dm a A丁 + k 里=。0 x adx2 2I当故,WtO故有-T（j）二、L利用波函数在x-O,x-a处的连续条件由x二0处连续条件：句二船侬由二a处连续条件：后二一上喻脑+3）.sin J = sinFlL ? 2掰优矶片二P2 2mE k二-L V、加（6-0扁- 7& exp（京）: 04sinkx+ 5）.,.O x a（如+引=-5卜 .S . s：.ka-nn- arcsin -arcsin 悦 忆 ”123给定一

2、个n值，可解一个 & ,4为分离能级.2.粒子在一维5势井中的运动，（幻=一仪占（X）（40）求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定调方程为L2%i _当武0时-二典2 组 dx2叫绊田二0对束缚态T（-oa）= T（oo）= 0解为叫卅:x。L.在x=0 处连续性要求叫0+）=中）将守卜）代入得A= B5o hl 阳s#.x 0后3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为/=8 X 0监0 Wx W偿-匕df x。工 8求束缚态的能级所满足的方程解束缚态下粒子能量的取值范围为心 0当工0时，卜）T8 甲16）=0 当0白&时薛定调方程为+却一砒=0呼号伊-心0 令

3、n解为巴5)=4* +尔%当ax（b时/卜）二/%+$（+匕仰广。令小祭出心0解为T3jt)=& sin + & gsk/薛定谓方程为0时系统的波函数（4） I 0时能量的可能值相应的概率及平均值 TOC o 1-5 h z x ,叭砌归一化，H,5 * 卯1-fifl?科二一2,5 ；11312豆Nic/鼻M&L V%，（3）2。时，材几。二% aw所以：吼*孤工。h +2) 0时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（4.设氢原子处于状态次，仇0）二;出为-日&】几网前求氢原子的能量，角动量平方以及角动量 z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量 的平均值。E 二解能量本征值* 2/

4、能量本征态二二当n=2M =一片时;的=.+1 一pr10 = i（i+i）ft3 = 2fe2【附一】=2必W9二2力勺今本征值为的_：产二加出现的几率为100%人11工可能值为0,一方出现的几率分别为：4,4E = E2 =5 .在轨道角动量 g和 L共同的本征态 W) 下，试求下列期望值= 0 = 4 江二 L* 二 0，Iy - 0三测不准关系1.粒子处于状态V测不准关系式中g为常数，求粒子的动量的平均值，并计算解先归一化(1)动量平均值2A-so二3厨包店二生斗吟打包-,JL卜伍*刷1_L+工_端_照，油制心、矶！1 21智h3可/2 . S3+E(3)月2谑rg-X- /二LJyI

5、矛, a 2砧2=4.2二亿工二一7帚南：附：他常用积分式：0| # dx -瓜11) -0/kdx=近。2仆产金=2(3) 文第四章 例题=0依=dx孩近才何用r%二无2 -22常(血寸匚/二.郎二仗-尸/二声-2而+露=广-产1至.(2吟1)尼2% Va1.力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢 尸）及动量算符构造成算符6和试分别：D .求0和在态IH下的期望值；2）,给出6和2的物理意义【解】（1）.设态矢阳已归一化州与二1歹二同巧=（冗网冷=/阴何巧,二联（暝/”忸砰二曲）（粒子位置几率密度）(2)J仅忖巧二卜制叩网+促同尸即同（利用“四二1化到坐标表象）=W（l啊节即师怜+#W#即

6、XHDd尸旷（尸X股以广-产油（尸）+ #嗖夕h闪声俨-尸业网就即）=挤，才叫力声（尸-广胜俨）+J #呼，俨*俨-加（广）7 fe f一旷(rRT(r) + Kr)VN.试证明：由任意一对以归一化的共腕右矢和左矢构成的投影算符/ =阴R（1）,是厄密算符，（2）.有/:/ , （3） . P的本征值为0和1【证】（1）.厄密算符的定义触阴但为厄密算符网已归一化 俚忸卜1南二忸胫忸灯上悝准卜/A3）.由力的本征值方程又：P二嗣4）=/任）即：尤2）-%根）=0（-?）|力二0（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（

7、宽度 态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）【解】所描述的状态，基态波函数 恒）（1）.在x表象:2 .版。惧）=当卜）=他知一（2）.动量表象:悝】）二1吻忸上阳）%=1与卜以份切团与二切币*怛1）3叼）=J尔咐卜阳（3）.能量表象叼卜）=&*仙）/二；卜瞰=自邠小则双串J% = L 的=1同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述 的.八A A A. A4.取月和4的共同表象，在/二1角动量空间中写出 丹，4, 4All+上的矩 阵（本题主要考查算符矩阵的求法心二（幽必町）【解】江。的共同本征函数为 TOC o 1-5 h z 鼻(3屈在/二1

8、空间444.1,三V %=/+1)6 244=峭部= 哨=1 即+1)=2#，1 0 0g 02* 0 1 0： I。b同样(1-l|Z2|l-l)=-fe(1,011,11,0)=0b%|L+l”方,1 0 0工=力o o o10 0 -V AAAi F-利用：|-) = J。+附W 土海+ 1M1)利用正交归一条件: ,，J , ,，J :,(1,0圉卜1=仲眄)=方8%1助=傍泡)=用0 应 0 + =A 0 0 显0 0017同样,00 0工0方正 0 01 0收03AA(3)LjLyA虫x 虫利用：4二44.争 1 ?- 4 矩阵:矩阵：(0 C:出砰除佛山而=2力讥=扬F人A *

9、r人A ,4+L=-L-L需 2 4 +- fy 方+ $也0 +争1 o 0=或小o 10 1 ojto 1 0j01 L (o 0 0 L10 1 0、孚】o 0 = -1 0 1 oj 工o 1 oj 1 10 -10；.5区y；梢二方掰能/m+1)2e 0 e、0 2e 05.已知体系的哈密顿量(e 0 23,试求出.体系能量本征值及相应的在 点所在的表象的正交归一化的本征矢组A.将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】 TOC o 1-5 h z 2e- E 0 I0 2s-E0 =0.久期方程e 2e-E解之-_, 上，设正交归一的本征矢v/对应于用对应归一本征矢01自4 即为

10、H的本征函数集A.月对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为13。+O 1 O1VTO1 一V2证明：将算符矩阵f对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函 数矢量ffi成算符的本征矢:则F算符在自身表象中为一对角矩阵： 现二例班卜见黑对另一表象力学量的本征矢 % =州用小朋?十尺=W冏=Z伽卜乂诽网8卜） 哥F的本征矢及为厄密算符。不二炉二1 AB +锵0 求算 符AJ的本征值，在A表象下求算符 解的矩阵表示。解:： 十二二1设4的本征值为1,本征函数为一,A 屋二观我二1a*中二中2 = +1同理算符2。的本征值也为二.为本征值，即在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵利用八八八AB+BA=O

11、。 瓦1 %、+ %电1 %)si瓦)%)%丫1 0=隗%人。-11 0b为厄密算符B+ = 8oj向0人% 。；;。M J二 kil =1 取： 砥二1二邑b ：=二 U oj第五章例题重点：微扰论1. 一根长为I,无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的朋质点P ,在重力作用卜，质点在竖直平曲内摆动。 的基态能量的一级修正。解：i )势能：系统的哈密顿量分。等+，1 * d 丫=r 一诚一2mr d8)在小角近似下：了二,育。4+12m dr ；(n瓦二鹿+我由=1 2Jii ) 若不考虑小角近似i)在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生-=/幽=那加-8矶日T。一

12、洲煤炉2.+ -超g1j xJr 一法一+溶g/(l C05日) TOC o 1-5 h z 2切巴dQ)H = H -=科g/(l - costf)-m62/I1 i=wg/ 1- 1_ 铲 +$ 6I214!) 2又刘巴卜）二呼”町洲.即二伸忡=（0卜*1。）u 1乙 F V=-1詈仲W利用公式iA ( tt7X = 口+1I加田)石器）=词._“ a*|；s）=7+l|+ljl同样(0|/|0) = (0|ia|o)=，方 力?so)(0| + 72(2|)(|0)+|2)Q)二：24 P(0 町 ) = -国二_书32咸力32ml2. 一维谐振子的哈密顿量为2加dr 2，假设它处于基态

13、，若在加上一个弹力，对能量的一级修正，并与严格解比较。作用 2,使用微扰论计算呼二然平怛平宗明小.又根工枷6+惇国J,图中噌）w值噌=4汕=2_（方+ a2 22也由碍） = 2L+ 1）碍：Ammii） 严格解嘉/ /121、R =- + -ix2+-i? =2 洲 dx1 220发生了变化（1 瓦二 川+ Ao?f r 2jf 肝y kr 八（.g 3 = r ! = 1 1 H二田 1 Hm 掰 k k） I kf（b u2 =fl 1 + 1-彳 +1 2上“J（n （ b u3已妙二用 十 1 + w -* 1 2J 2k 8t2l r 1 hb 1 hb2稣二一碗+丁万十24 ma

14、 16 nrnf3. 已知体系的能量算符为 凡=+t 量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）+用稣）用嵋）+片吧q；防4冽*4+4+旧2加 dx2 21j、一./i i iAA色比工+九其中上，的%0, 为轨道的角动视1项为微扰项，求能级至二级近似值。解:i）精确解X令L_tg6一,并在一胃平面上取方向差：cos 占二日与z轴的夹角为8,则. qjLs + 万y = 7 + 炉（7 cos + L riFA值与4相互对易，它们的本征值分别为1 - 0,1,2/体系能级为4 =/Q+1）方+ 港向+/尸=IQ +1）加 + 赭鬲（1+二2出ii）微扰法A a A. aA力。二出十必-CH二弭R

15、O的精确解为本征能量以高按微扰论现）=伽用肠）=0梆力帆= 0利用了公式八网 =立,Q+冽）（? 一洲+1）,那一1）一也）。+泓+1）,加+1） 1L.I2能量二级修正为4苏14M1与环双匚方锚射田一我一幽W+幽+i）%q*碌）二L（与K?+网Q _阳+D _ （1 _。+僧+N=L洸&匕. ufi 22 由; 在二级近似下见速+碘+明=/ + 1）力生+曜商+ 1痴”2 由收 1百。二乙+与/（/+/+/）4.三维谐振子，能量算符为2幽 2,试写出能级和能量本征函H = moxy hl 1数。如这振子又受到微扰2,I51的作用，求最低的两个能级的微扰修正。并和精确值比较。解:（1设曾 的能

16、量本征函数为= 但下代入方程炉甲（XJZ）二双（几乂2）RUE- +5+乒I r (X) +A&2X24(X) H 单q(x) 2k 2*2 - g Q) + qb e 岩gH Mzg 2k 2m2 1lrg-(z)+l-182z2(z)nm%(z) 2k 2ml &(3+3) m2 2玲(3+w) 3 HHA3+3) brn3w吸弓 Nun :cK 、 z 47 (xw)u28产产包Ay。 4 y *2 W (X)七七(Z) + 虎 X) 0 Q)七(Z) + 七(X)七七.2 K+1me2R+y +)七七g七(Z7E 七(x)虎z)0(x)1 2 21*2 021 2 21 *2 qsl

17、2 T- 4+ile2x2+t - -+13a 2R +13心N 2k七S2 2七七2 2大七(Z)(2).基态的微绕修正对基态波函数基态能级的零级能量的二级修正：唯一不等于零的矩阵元为但睁1嚅=叫忡辟町咐U.第一激发态E = -ho)2三度简理上与与写 蝴二中*当3与3 曙=卜与0当0)计算既不为零的矩阵元为h久期方程可求出能量的一级修正(4).精确解令KOIO - 511100 =（乎 1 皿 H 乎QW）-1阳/（100 屈 010）22二5活由Qy1Q Zj二4C?40 与W 04H = Ao?004 000建0-?m 留 1）0=000摩砂）=0跳=3砂=-；的H = -F+y* +

18、z3） 2洲2合（彳+月?二（彳一切八八/+/孙二匆V）必小3八+一加由2 J2阳小2 TOC o 1-5 h z i方i2 t十 船曲 l J + （-y + 活田2=）+（ HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 2加州2 2加沏？2筑厘丛=国+：）方出产氏+；）方出+（% +由 ZjCmU1? 11; 1= （%+/0+尸+（%+洲砚-夕，+&+ HYPERLINK l bookmark155 o Current Document = fiU（+l）（l + - + 24 32）+ （用p + ；）方印（1-5一* +）+ （勺+矣X+忖一石

19、方田。+/+，） + 冉卬（%一%） J Cj一一一基态第一激发态5.设粒子的势能函数 “工7 是坐标的n次齐次函数,/南初=加（称Z） 试用变分法证明，在束缚态下，动能 T及势能V的平均值满足下列关系 27二 / （维里定理）证设粒子所用的态用归一化波函数 nw） 描写则7 =须-/）叫元吊办办2叫工（209（逐）也3=7+7取试态波函数为一）=W-期由归一化条件cJ旷（我加初K执&，初期办龙=1|明/ &,益,沏 jd(Q)d CW a) j = 1TW = f $ (Z)(-小d祕泌2纯（Ax, Ay, Az）-尢 舐，屹）dxdydz= （祝从上）卜下（- + - + -）J2 d（i

20、x）2 ay a（M CU 双 M d （温 d （3d （小）( 二W xtytz)dxdydz二.旷&,以词;T，(Q,加间网幻?或初一 无=工 联(Q,曲，均，8,仪晚评GU&,劝d(Q)d(&)d(4=rr百/+(二#+片/型皂=24-上甲=Q也7当二1时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。：.h(3)应在a=1时，取极值27-=06,氢原子处于基态，加上交变电场 二及F” +L 力由电离能，用微扰论一级 近似计算氢原子每秒离几率。解:解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元H献？1 -100 = fg 4口 /初态：氢原子基态二:末态： 自由状态成治）二（3微地瓦

21、2就为能量为31ft,在单位立体角的末态密度。微扰二俎/C。利产+/煲）二网产+修与郎年p（线M端纥.限专|%限外-由）F V1 f-1卜7睡叫叱岑稣疝分，例训尸媪户一 32 疝 Em歌二 4 丝 327口第/丁 1炉 鬲 0工2或八2点 即为+ =）7.转动惯量为I,电偶极矩为D的平面转子，置于均匀场强EQ& x方向）中，总能量算符成2 j jH = -y - DE cos为 21时,4为旋转角（从x轴算起）如果电场很强，/很小，:基态能量近似值。的二酰2. j=L 史+。/甲二（+。）乎21城 2ti j J 1与一位谐振子的能量本征方程rT + -a?iz1T = 有 ：，m-1加山-De方法二 用变分法，取归一化的试探波函数JJ5(尤) =* (一茫 0时3的平均值。解设自旋函数在表象中0)=2（0体系的哈密顿算符可表示为 则自旋态所满足的薛定谓方程为ih /)=Hx(f) dt（0di1丫的、 。八=Am幽= r“) dt典Q) dia (。二 T延(。=