多目标优化问题的研究综述

1、多目标优化问题的研究概述摘要:本文在查阅相关资料的基础上对多目标优化冋题进行了一般性描述，详细 介绍了实际生活中存在的多目标优化冋题以及解决多目标优化题的几种典型算 法，讨论了各个算法存在的优缺点。词：多目标优化；进化算法；粒子群算法；蚁群算法；模拟退火生活中，许多冋题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。人们会经常遇到 使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化冋题，也就是多目标优化冋题。优 化问题春在的优化目标超过一个并需要同时处理，就成为多目标优化冋题 (mult i-object ive opt imizat ion-problem, MOP)。多目标优化问题在工程应用 等现实生活中非常普

2、遍并且处于非常重要的地位，这些实际问题通常非常复杂、 困难,是主要研究领域之一。自20世纪60年代早期以来多目标优化冋题吸引了 越来越多不同背景研究入员的注意力。因此,解决多目标优化问题具有非常重要 的科研价值和实际意义。实际中优化冋题大多数是多目标优化问题，一般情况下，多目标优化冋题的各个 子目标之间是矛管的，一个子目标的改善有可能会引起号一个或者另几个子目标 的性能降低，也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的，而只能 在它们中间逬行协调和折中处理，使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单 目标优化冋题的本质区别在于，它的解并非唯一，而是存在一组由众多Pareto 最优解组成的最优

3、解集合，集合中的各个元素称为Pareto最优解或非劣最优解。1多目标优化冋题的描述多目标优化I可题用文字描述为D个决策变量参数、N个目标函数、m+n个约束 条件组成一个优化冋题，决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。在非劣解 集中决策者只能根据具体冋题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。多目 标优化冋题的数学形式可以如下描述：min y=f (x) =fl (x), f2(x), , fn(x)n=l, 2, , NstgO 0 i = 1,2, .,m彳（兀）=0 J = l,2t.fkx= xltx2fxdf.fxDd_min d_max其中：x为D维决策向量，y为目标向量,N为优化

4、目标总数;(%)0为第i 个不等式约束,y%) = 0为第j个等式约束，fn(x)为第n个目标函数;X是决策 向量形成的决定空间,Y是目标向量形成的目标空间。S 0和乡(%) = 0确定 了解的可行域，m加和兀d max为每维向量搜索的上下限。对于多目标优化冋题中最优解或非劣最优解可逬行如下定义:定义1对任意的d e 1, D满足坊xds.存在do 1,D有坊。%do,贝u向量* =珀 x2 坊支配向X = Xi,X2,Xdt .,%pof(*)支配f(x)必须满足一下两个条件：Vn,(x*) fnM n = 1,2,.,N如盂。X) fn0 (x) 1 S 5 S Nf(x)的支配关系与X的

5、支配关系是一致的。定义2 Paret。最优解是不被可行解集中肉任何解支配的解.若疋是搜索空 间中的一点，说疋为非劣最优解，当且仅当不存在x (在搜索空间可行性域中) 使得/(%)f(j)-xp(-十)f( i丿 f( j)I 2 ，ID I其中，f(i)为第j个状态下的目标函数值 陆=(/)-口)。模拟退火算法在迭代搜索过程以Metropolis接受准则接受目标，所以具有 跳出局部最优的能力，通用、灵活性高。但是模拟退火算法对初女台温度和退温系 数这两个参数的依赖性较强，这两个参数选择恰当与否将直接关系到算法性能。 模拟退火算法是一个有效的全局优化算法，这类算法的最大优点是对搜索空间 (目标函

6、数的性质)不加任何限制，可以是不连续的、不可微的，并且也能求得 Pareto边界上多个不同方向的Pareto最优解;但是其需要大量的迭代次数，因 而收敛速度慢、优化效率较低。在解决多目标冋题时仍将其转换为单目标冋题, 采用单目标技术求解。由于单目标冋题与多目标问题的不同，在求解时,往往得 不到分布更广的Pareto最优解集，即将丢失一部分Pareto解。2. 3多目标蚁群优化算法蚁群算法(ant colony algorithm, ACA)是通过模拟自然界蚂蚁搜索食物的 行为提出的仿生优化算法。仿生学家经过大量细致观察研究发现，蚂蚁个体之间 是通过一种称之为信息素的物质逬行信息传递的。蚂蚁在运

7、动过程中，能够在它 所经过的路径上留下该种物质，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以 此指导自己的运动方向。因此，由大量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信 息正反馈现象:某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来的蚂蚁选择该路径的概率就 越大。蚁群算法的基本原理描述如下:基于对自然界真实蚁群的集体觅食行为的 研究,模拟真实的蚁群协作过程。算法由若干个蚂蚁共同构造解路径，通过在解路径上遗留并交换信息素的方法反馈信息提高解的质量，逬而找到最短路径，达到优化的目的。蚁群算法是一种本质上并行的算法，可以看做是一个分布式的多agent系统，它在冋题空间的多点同时开始逬行独立的解搜索，不仅增加了算法的可靠性

8、，也使得算法具有较强的全局搜索能力。其正反馈的过程不仅能够使得 初始值不断地扩大，同时又可以引导整个系统向最优解的方向逬化。同时，蚁群 算法的求解结果不依赖于初始路线的选择，而且在搜索过程中不需要进行人工 的调整。但是蚁群算法需要较长的搜索时间，易于出现早熟停滞现象。2. 4多目标粒子群算法粒子群优化算法（PSO）是一种源于对鸟群捕食行为的研究而发明的逬化计 算技术，最先由Barnhart博士和Kennedy博士于1995年提出。它是一种基于迭 代的优化工具，系统初始化一组随机解，通过迭代搜寻最优值，不但具有全局寻 优能力，而且具有较强的局部寻优能力。在基卞粒子群算法中，粒子群由n个粒 子组成

9、，每个粒子的位置xi代表优化冋题在D维搜索空间中潜在的解。粒子在 搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行 经验来动态调整下一步飞行方向和距离。所有的粒子都有一个被目标函数决定的 适应值，并且知道自己到目前为止发现的最好位置（个体极值Pi）和当前的位置 （xi）。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位 置（全局极值Pg）,是所有最好位置中的最优值。粒子群算法的数学描述如下：每个粒子i包含为一个D维的位置向量 Xi =怖无2,5d,，粗D和速度向量粒子“=可1, “2, %,粒子i搜索解 空间时，保存其搜索到的最优经历位置口 = Pa.PPt

10、d，,Pido在每次迭代开 始时，粒子根据自身惯性和经验及群体最优经历位置P沪来调整自己的速度向 量以调整自身位置。cl. c2是正常数，称之为加速因子；rl. r2为0, 1中 均匀分布的随机数，d为D维中的维数；3是惯性权重因子。其中，每个粒子的 位置和速度更新按下式进行Vd 二 +C22（；d_ 兔丿这个式子由三部分组成，第一部分是粒子原来的速度，其值越大，趣利于全局搜 索，其值小则利于局部搜索能力,具有平衡全局和局部搜索的能力；第二部分是 粒子本身的思考，表明粒子自身经验对当前搜索倾向的吸引程度，受到Cl rl 的随机调整，是对粒子所积累经验的利用，使粒子有了足够强的全局搜索能力, 避

11、免局部极小；第三部分是粒子学习其他粒子经验的过程，表明粒子间信息的 共享和社会协作，受到c2r2的随机调整，并与Pg的位置和种群的领域拓扑结 构直接相关。在这三部分的共同作用下，粒子根据自己的经验并利用信息共享机 制不断调整自己的速度与位置,从而有效地到达最好位置。粒子位置在每一代的上述更新方式可用下图来描述。群体的影响粒犷自我记忆的影响X-当询速度的勒响图2粒子位鞄史新示意图由于粒子群算法具有高效的搜索能力，有利于得到多目标意义下的最优解; 通过代表整个解集种群，按并行方式同时搜索多个非劣解，也即搜索到多个 Pareto最优解;同旳，粒子群算法的通用性比较好，适合处理多种类型的目标函 数和约

12、束,并且容易与传统的优化方法结合，从而改进自身的局限性，更高效地 解决问题。因此，将粒子群算法应用于解决多目标优化问题上具有很大的优势。 其具体步骤如下：图3多目标粒子群算法的具体步骤粒子群算法是一种新兴起的优化算法，其每个粒子根据自身的最优位置和群 体全局的最优位置更新自己的速度和位置，各粒子由于群体全局的最优位置的影 响，很快收敛到全局最优位置附近，这己显示出它的快速性、有效性和鲁棒性等 多和优点。目前，多目标粒子群优化算法也己成功用于函数优化.神经网络训练. 模式分类、模糊系统控制以及其他的应用领域参考文献：1钱伟懿，李阿军，杨宁宁.基于混沌的多目标粒子群优化算法J.计算机工程与设计，2008, 29(18): 47944800.KUNDUPK, ZHANGyan, RAYAK. Mult iobject iveopt imizat ionof simulated countercurrent moving bed chromatographic reactor foroxidat ive coupling of methane J. Chemical Engineering Sci ence, 2009, 64(19): 413741493马清亮，胡昌华.多目标