11-平稳随机过程课件

1、第11章 平稳随机过程11.1 平稳过程的概念 11.2 平稳过程相关函数的性质 11.3 各态历经性11.4 随机过程的功率谱密度引言 平稳过程是应用广泛的一类随机过程，工程领域中所遇到的许多过程可以认为是平稳的，因此，平稳过程是随机过程的重要内容之一。本章主要讨论在相关理论范围内平稳过程的数字特征、各态历经性、相关函数的性质、功率谱密度和随机过程通过线性系统分析等。11.1 平稳过程的概念 11.1.1 严平稳随机过程及其数字特征 11.1.2 宽平稳随机过程11.1 平稳过程的概念 在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有着很强的影响

2、.如果过程的统计特性不随时间的推移而变化, 则称之为平稳随机过程.用数学语言描述即为：11.1.1 严平稳过程及其数字特征 严平稳的含义：过程的统计特性与所选取的时间起点无关。换句话说，整个过程的统计特征不随时间的推移而变化。平稳过程的参数集 T, 一般为:说明(1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重要的实际意义。 过程若是平稳的可使问题的分析尤为简化。(2) 平稳过程的数字特征有很好的性质。下面来考虑严平稳过程的数字特征即均值函数，均方值函数和方差函数为常数。 于是 下面考虑平稳过程的自相关函数和自协方差函数 严平稳过程的自相关函数及协方差函数只依赖于参数间距 而与起点无关。协方差函

3、数可以表示为 平稳过程数字特征的特点:(即不随时间的推移而变化).(3)协方差函数可以表示为 说明 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中不易办到. 要确定一个随机过程的概率分布函数族，并且判定严平稳条件式对一切 n 成立，这在实际上是很困难的，而了解它的某些数字特却是可能的，因而工程上根据实际需要往往通过研究随机过程一、二阶矩的理论而考虑平稳过程问题。11.1.2 宽平稳随机过程仅依赖，而与 t 无关；顺便指出：今后凡是提到“平稳过程”除特别指明外，通常都是指宽平稳过程。仅依赖，而与 n 无关。 但正态过程例外，因为它的概率密度函数可由均值和协方差矩阵完全确定。 由于宽平

4、稳过程的定义只涉及到一、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要均方值有界，就是宽平稳的。但反之则不一定。 所以，如果均值，自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移而变化。因此，宽平稳的正态过程也一定是严平稳的。 例11.1 设Xn,n=0,1, 2, 是实的互不相关的随机变量序列，且E(Xn)=0, D(Xn)=2. 讨论随机序列的平稳性。解 由于E(Xn)=0, D(Xn)=2，而相关函数其中为整数，随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳过程。证明 由于其密度函数为：（常数）例11.3解X(t) 的均值函数为 而自相关函数 因为RX()仅与 有关，

5、所以随机相位周期过程是平稳的。 特别, 随机相位正弦波是平稳的。11.2 平稳过程相关函数的性质 11.2.1 自相关函数的性质11.2.2 互相关函数的性质 前面已经指出，作为随机过程的基本数字特征是均值函数和相关函数。对平稳过程而言，由于它的均值函数是常数，经中心化后为零，所以基本特征实际就是相关函数。 下面我们专门研究一下平稳过程相关函数的性质。假设 X(t) 平稳过程, RX( )是它们的自相关函数. 即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令 0得到，后面我们将指出RX(0)代表了平稳过程的“平均功率”。自相关函数的性质这是因为相关函数具有对称性。 依据这个性质，在实际问题中只需计算或测

6、量RX( ) 在 0 的值.性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式 对于平稳过程X(t)，有代入上述不等式得：或对协方差函数，不难得到相同的结论：证明根据自相关函数的定义和均值运算性质有 说明 由于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那么该函数必是某平衡过程的自相关函数。所以对于平稳过程而言, 自相关函数的非负定性是最本质的。性质5 如果平稳过程 X(t) 满足条件 则称它为周期是T0的平稳过程。 周期平稳过程的自相关函数RX()必是周期函数,且其周期也是T0 .证明必要性即自相关函数RX()必是周期函数, 且其周期也是T0 .充分性性质6 设平稳过程X(t)，若当| |时，过程的状态X

7、(t)与X(t )互不相关，则有： 这是因为：从物理意义上说，当 增大时X(t)与X(t +)之间相关性会减弱，在 | 的极限情况下，两者互不相关。于是有：若则 这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数RX() ，只要知道在 0处连续，就可以得出对任意 处都连续，这对于一般连续函数是不具备这样的性质的。解 由性质6得：例11.4 已知平稳过程X(t)，当 的绝对值充分大时，过程的状态X(t)与X(t+) 相互独立，其相关函数为：求X(t)的均值。11.3 各态历经性 11.3.1 时间平均的概念11.3.2 平稳过程各态历经的定义11.3.3 平稳过程各态历经性的条件 随机过程的各态历经性，可以

8、理解为随机过程的各样本函数都同样的经历了随机过程 的各种可能状态。 因此，从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以代表整个随机过程的特性。11.3.1 时间平均的概念1、 积分 说明对于随机过程的所有样本函数来说, a, b上的积分未必全都存在。 在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在 a,b 上的积分未必全都存在，此时可引入所谓均方意义下的积分，即考虑 a,b 内的一组分点： 我们就称 Y 为a, b上的均方积分。2、均方积分自相关函数的二重积分2、 时间均值和时间相关函数11.3.1 时间平均的概念例11.5 解结论 对于随机相位

9、正弦波, 用时间平均和集平均（均值函数）分别算得的均值和自相关函数是相等的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。11.3.2 各态历经性的概念 说明(1) “以概率 1 成立”是对 X(t) 的所有样本函数而言。(2) 各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity)。(3) 并不是任意一个平稳过程都是各态历经的。 例11.6 设平稳过程 X(t)=Y，其中 Y是随机变量，D(Y)0 研究它的各态历经性。解 E(X(t)=E(Y)=常数于是不是常数所以均值不具有各态历经性。证明（常数）11.3.3 各态历经性的条件定理11.3 (均值各态历经定理 )得的方差证明先计算 的均值和

10、方差。交换运算顺序, 并且 积分区域 由的平稳性,积分区域 以概率1成立的充要条件是 但现已算得 故 因此以概率 1 成立的充要条件即 推论定理11.2 (自相关函数各态历经定理 )说明(2)在实际应用中通常只考虑定义在0 t 上的 平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以 0 t上的时间平均来代替。相应的各态历经定理可表示为下述形式: 定理11.3以概率 1 成立的充要条件是定理11.4以概率1成立的充要条件是各态历经定理的重要价值 从理论上给出了如下保证: 一个平稳过程X(t), 只要它满足定理11.3和定理11.4, 便可以根据“以概率1成立”的含义, 从一次试验所得到的样本函数x(t)来

11、确定出该过程的均值和自相关函数,即和 说明1说明2如果试验记录x(t)只在时间区间0,T给出,则有下以无偏估计式 在实际中一般不可能给出x(t)表达式, 因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式的值。11.4 平稳随机过程的功率谱密度11.4.1 平稳过程的功率谱密度概念 11.4.2 功率谱密度的性质 11.4.3 白噪声过程 在很多理论和应用问题中，常利用傅立叶变换这一有效工具来确定时间函数的频率结构。 本节主要讨论如何运用傅立叶变换这一有效工具来确立平稳过程的频率结构功率谱密度。11.4 功率谱密度的概念11.4.1 确定性信号函数的功率谱密度同时有傅立叶逆变换一般是复数量, 其

12、共轭函数x(t)的傅立叶变换等式:称为x(t)的能量谱密度帕塞伐等式又可理解为总能量的谱表示式。对随机过程 X(t) 作截尾随机过程则存在傅里叶变换其傅里叶反变换为另有11.4.2 平稳随机过程的平均功率与功率谱密度代入傅里叶反变换代入傅里叶变换性质交换积分次序得到Parseval等式我们得到： 因为X(t) 是随机过程，故上式两边都是随机变量，要求取平均值，这时不仅要对时间区间T,T 取平均，还要求概率意义下的统计平均，于是有： 上式就是随机过程 X(t) 的平均功率和功率谱密度关系的表达式。我们称为 X(t)的平均功率。而称为 X(t)的功率谱密度，简称自谱密度或谱密度。即 当 X(t)

13、是平稳过程时，由于 EX 2(t) 是与 t 无关的常数。此时平均功率可简化为： 平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或等于它的谱密度在频域上的积分。上式是平稳过程 X(t) 的平均功率的谱表示式。即：11.4.2 随机信号过程的功率谱密度 11.4.3 平稳随机过程X(t)的平均功率与功率谱密度 它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征。 交换积分与均值的运算次序，注意到平稳过程的均方值函数是常数，于是称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式。解 (1) 由前面例可知，此随机过程是平稳过程，且相关函数为： 于是得X(t)的平均功率为：(2) 因为故此时 X(t) 为非平稳过

14、程。X(t) 的平均功率为：11.4.3 平稳随机过程X(t) 功率谱密度的性质事实上，在式中，是的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限也必是实的，非负的偶函数。由于(2)SX()和自相关函数 RX() 是一傅立叶变换对.维纳辛钦公式当X(t)是平稳过程时，由于 RX()和 SX () 均为偶函数，维纳-辛钦公式还可以写成如下形式：它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和从频率角度描述平稳过程的统计规律之间的联系。1234567表11.1 自相关函数与谱密度对应表解 00例11.10解 先将 SX () 表示成部分分式由傅里叶逆变换得： 由RX()求SX(), 或反过来由SX()求

15、RX(),也可以直接利用傅立叶变换的性质，查傅立叶变换表得. 书中表(11.1)列出几个常见的平稳过程的相关函数及相应的功率谱密度. 在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, 它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变换或逆变换不存在, 此时如果允许谱密度和自相关函数含有 函数, 有关实际问题仍能得到圆满解决。 在这种情况下, 自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程, 其谱密度都是离散的。 11.4.4 白噪声定义11.4 均值X (t)为零, 谱密度SX ()为正常数, 即 的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声。 由于白噪声过程类似于白光的性质，其能量谱在各种频率上均匀分布，故

16、有“白”噪声之称，又由于它的主要统计特性不随时间的推移而改变，故它是平稳过程。 但是,它的相关函数在通常的意义下的傅氏反变换不存在。所以，为了对白噪声过程进行频谱分析，下面引进 -函数的傅氏变换概念。 具有下列性质的函数称为 函数 函数有一个非常重要的运算性质，即对任何连续函数 f (x) , 有：筛选性所以 函数的傅立叶变换为： 由傅立叶反变换，可得 函数的傅立叶积分表达式为：或这说明 () 函数与 1 构成一傅立叶变换对.0110说明1与2 () 构成一傅立叶变换对。即100同理可得：或相应地有：解 由于1与2 () 构成一傅立叶变换对。00解 这说明，当自相关函数为常数或正弦型函数的平稳

17、过程，其谱密度都是离散的。(1) 证明 X(t) 是平稳过程；(2) 证明 X(t) 具有均值各态历经性；(4) 求 X(t) 的谱密度。(3) 求 X(t) 的平均功率；解（仅与 有关）故X(t) 是平稳过程。所以平稳过程X(t)具有均值各态历经性。所以平均功率白噪声的自相关函数说明(2)白噪声是一种理想化的数学模型。 它的平均功率是无限的。 白噪声在数学处理上具有简单、方便优点。 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理。 第11章 平稳随机过程习题课二、主要内容三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点1

18、、重点2、难点平稳性、平稳相关性、各态历经性的判断谱密度、互谱密度的计算平稳随机过程二、主要内容功率谱密度 互谱密度 相关函数狭义平稳过程广义平稳过程关系关系各态历经性平稳随机过程 如果过程的统计特性不随时间的推移而变化, 则称之为平稳随机过程。狭义平稳过程广义平稳过程狭义平稳过程与广义平稳过程的关系 1、严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也是宽平稳的。 反之不成立。 2、宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。相关函数相关函数的性质假设 X(t) 和 Y(t) 是平稳相关过程, 分别是它们的自相关函数 和互相关函数.自相关函数的性质性质1性质2性质3性质4性质5周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也为T0。性质6 设平稳过程X(t)，若当|时，过程的状态X(t)与X(t)相互独立，则有：互相关函数的性质各态历经性说明(1) “以概率1成立”是对 X(t) 的所有样本函数而言。