3.1基本轨迹解析课件

1、第三章 基本轨迹 与几何作图 本章研究的主要内容： 一、基本轨迹 二、几何作图第三章 基本轨迹 与几何作图3.1 基本轨迹教学要求:1.了解轨迹的意义；2.了解轨迹得基本类型；3.掌握基本轨迹定理；4.掌握轨迹问题求解的基本步骤. 3.1.1 轨迹的意义 1轨迹与图形 轨迹 性质图形 形状2轨迹的定义 定义：若满足如下条件 (1) 适合条件C的任何一点都在图形F上； (2) 图形F上的任何一点都适合条件C.那么，图形F就是适合条件C的点的轨迹. 条件(1)称为完备性(或充分性)；条件(2)称为纯粹性(或必要性) ；即P点P具有性质C(轨迹)11对应(完备性)(纯粹性)图形F即要求“不重不漏”.

2、3轨迹与曲线的异同 3.1.2 轨迹的类型 第一类轨迹问题：命题结论中明确说明了轨迹图形的形状, 位置和大小. 例1 设不共线3直线a, b, c两两相交，则到此3直线距离皆相等的点的轨迹，是由内心、旁心所组成的点集.bacBACI 第一类轨迹问题的解题步骤：只需证明(完备性, 纯粹性)即可. 解 如图, 证明略. 第二类轨迹问题：命题结论中说出了轨迹图形的形状, 但位置和大小或缺, 或叙述不全. 例2 设 A, B是二定点, d是给定的正数, 试求满足条件 的点P的轨迹是一条直线.lABHP 解 探求：设P是合乎条件的任一点(如图), 自P作PHAB于H , 则有 因d, AB是常量,故H是

3、AB上的定点, 因而过H垂直AB的直线l也是定直线. 此探求亦即证明了完备性.lABHP 纯粹性：(证明略) 第二类轨迹问题的解题步骤： 1. 探求； 2. 证明(完备性, 纯粹性). 第三类轨迹问题：命题结论中只求适合某条件的轨迹, 对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息. 例3 已知AB是定弦， 是张在AB上且视角为 (90)的圆弧，当C在 上移动时, 求ABC之垂心的轨迹.HAEDCB 解 1.探求：设C是 上任一点, 自A作ADBC于D, 自B作BEAC于E, 则AD, BE的交点H即为ABC之垂心, 就是合乎轨迹条件的任一点. 易知H, D, C, E共圆.(定值). 第三

4、类轨迹问题的解题步骤： 1. 探求； 2. 证明(完备性, 纯粹性). 2. 证明(纯粹性)：HAEDCB 故, 合乎条件的任一点都在以AB为弦视角为定值 的一条弧 上. 再连接HC交AB于F, 则HFAB, 显然垂足F只能在A, B之间 ,因而H也只能在A, B两端的垂线之间, 因 故 也有位于两垂线之外的点, 从而可知合乎条件的点的轨迹应为 (不包括端点), 如图. 如上亦为完备性证明. 3.1.3 基本轨迹定理(P102) 定理1 与一个定点的距离等于定长的点的轨迹, 是以定点为圆心, 定长为半径的圆周. 定理2 与两个定点距离相等的点的轨迹, 是连结这两定点的线段的中垂线. 定理3 与

5、一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹, 是平行于已知直线且位于此直线两侧, 并和这直线的距离等于定长的两条平行直线. 定理4 与两条平行线距离相等的点的轨迹, 是和这两条平行线距离相等的一条平行线. 定理5 与相交两直线距离相等的点的轨迹是, 分别平分两已知直线交角的互相垂直的两直线. 定理6 对已知线段的视角等于定角的点的轨迹, 是以已知线段为弦, 所含圆周角等于定角的两段弓形. 推论 对已知线段视角为直角的点的轨迹, 是以已知线段为直径的一个圆. 3.1.4 轨迹命题及证明研究 1. 阿波罗尼斯(Apollonius)圆 例4 到两定点A, B之比为常数k (不等于1 的正数)之点的轨迹是

6、一圆周. 称为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆.PAB 解 1. 探求 首先, 易知轨迹关于AB对称, 圆心在AB上. 其次, 为确定圆心, 还应在AB上找出合条件的特殊点, 故在AB上, 以定比 k 作出它的内、外分点 , 即有在AB内；在AB外.PAB于是所求阿氏圆可能是以 为直径的圆. 2. 证明 完备性：设P是不在AB上而合条件的任一点, 即故由角平分线逆定理： 平分APB.同理 平分APB的外角. 故合乎条件的任一点P在以 为直径的圆周上. 纯粹性： 2. 等幂轴(根轴) (1) 圆幂的概念OPDCBAAODCBP(定值)P在O外；P在O上；P在O内. 称p为定点对O的幂. (2) 等幂轴

7、 例5 对于非同的心圆二圆有有等幂之点的轨迹是垂直于连心线且过连心线上一定点的一条直线, 此线常被称作等幂轴或根轴. 解 转化法 . 设非同心的两圆半径分别为 , 则有 P点合乎条件 由此问题转化为：“到两定点的距离的平方差为定值的点的轨迹”. (3) 等幂轴的作法 3. 转化之例 例6 长为h和k的两根旗杆树立在一个平面上, 且两杆相隔2a单位, 求此水平面上对旗杆仰角相等之点的轨迹.(加拿大第三届(1971年)数学竞赛题)khPDCBA 例7 设A, B是O上的二定点, 而M是O上的动点, 从线段MB的中点K作KPMA于P. (1) 证明：所有直线KP都过同一个点； (2) 求点P的轨迹. (前苏联第三届(1963年)数学竞赛题)AKOBPM 例8 设AB是圆的直径, C是直径 AB 内上的一定点, Q是圆上的变动点, 设P在由Q和C所确定的直线上, 且AC:CBQC:CP, 描述并证明P点的轨迹.(加拿大第八届(1976年)数学竞赛题)AQPCOB 4. 轨迹的探求与检查 轨迹探求的一般方法 (1) 考察对称性 (2) 考察范围 (3) 考察特殊点、极限点 探索之例 例9 在长为a的线段AB上选一内点M, 然后在AB的同一侧分别以AM、MB为边作正方形AMCD、和MBEF, 分别是这两个正方形的中心, 当M