《风险理论及非寿险精算》期末复习课件

1、期 末 复 习风险理论与非寿险精算主要内容第一章 风险与精算第二章 损失分布第三章 损失分布的贝叶斯方法第四章 随机模拟第五章 短期个体风险模型第六章 短期聚合风险模型第七章 长期聚合风险模型第八章 效用理论与保险决策第九章 费率厘定第十章 经验费率第十一章 准备金第十二章 再保险第一章 风险与精算1.1 风险的含义1.2 保险经营中的风险和风险因素1.3 保险精算问题1.4 本书的基本内容1.2 保险经营中的风险和风险因素保险公司的收支收入支出保费收入赔付投资收入营运费用分保和再保险佣金再保险费新投入资本红利、税务其他收入其他杂费保险公司面临的不确定因素（非寿险公司经营中的风险因素）保费计算

2、与实际相差较大；准备金的提取不充分；赔付过早发生；营运成本扩大；佣金的提高；投资失利；巨灾事故频繁发生；风险聚合估计不周；意外责任事故的赔付；市场条件发生不利的变化；保单责任文字界定不清晰；宏观经济环境的不利变化；法律法规的改变；公司管理人员的贪污渎职行为；保险精算的四个问题：（1）厘订费率（2）准备金计提及其分配（3）再保险形式的选择及自留额的确定问题（4）资产负债配比与偿付能力问题1.3 保险精算问题第二章 损失分布2.1 引言2.2 获得损失分布的一般过程2.3 损失分布的数学工具2.4 拟合损失分布损失与赔付损失：承保标的的可能发生的实际损失大小。赔付：保险人按承保合同规定的保险责任所

3、支付的实际费用。赔付实际损失2.1 引言2.2 获得损失分布的一般过程获得随机变量概率分布的方法：数理统计方法 又称为频率学派方法，主要依靠样本信息来估计未知参数，从而获得概率分布。贝叶斯方法又称为主观贝叶斯方法，通过采用“先验概率”、“损失函数”等主观信息，在不具备样本信息的情况下估计未知参数，获得损失分布。随机模拟方法利用现代计算机技术，用机器的高速运算结果来模拟实际过程，以获得对实际过程的了解。2.3 损失分布的数学工具矩母函数定义矩母函数性质矩母函数性质矩母函数定义矩母函数性质2.4 拟合损失分布整理记录数据频率直方图频率折线图密度函数累积频率曲线图分布函数分布参数的估计矩估计法、极大

4、似然估计法、分位点法常用分布二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布、伽玛分布、贝塔分布期望、方差第三章 损失分布的贝叶斯方法3.1 贝叶斯方法的基本过程3.2 先验概率的估计3.3 先验概率与后验概率3.4 损失函数与贝叶斯估计量3.5 贝叶斯方法的理论基础主观概率3.1 贝叶斯方法的基本过程估计参数的贝叶斯方法步骤：步骤1：选择随机变量的先验分布步骤2：确定似然函数 假设所获得的观察值为x1,x2,xn，构造似然函数 记为步骤3：确定参数的后验分布 由贝叶斯公式求得关于参数的后验分布：步骤4：选择损失函数步骤5：估计参数 通过求损失函数期望值的最小值，作为参数的贝叶斯估计值。 3.

5、1 贝叶斯方法的基本过程从先验概率到后验概率的过程是直接应用贝叶斯公式，即3.3 先验概率与后验概率其中 是与无关的常数。可以把贝叶斯公式简化为 表示“成比例关系”。3.4 损失函数与贝叶斯估计量常用的三种损失函数形式及其贝叶斯估计第四章 随机模拟4.1 引 言4.2 均匀分布的随机数与伪随机数4.3 服从各种分布的随机数4.4 模拟应用举例4.5 模拟样本的容量4.2 均匀分布的随机数与伪随机数产生均匀分布随机数的方法：1、检表法2、物理方法（可获得真正的随机数）3、数学方法（伪随机数）自然取中法（平方取中法）倍积取中法乘同余法（Skellam一阶线性同余法）随机数生成方法： 1) 反函数法

6、 2) 取舍法 3) Box-Muller法 4) 极方法标准正态分布：1) 检表法2) 中心极限定理法标准正态分布 正态分布N(,2) 对数正态分布 u v =+u exp(v)4.3 服从各种分布的随机数标准正态分布随机数生成方法泊松分布的随机数泊松分布随机数生成方法：1) 一般的离散型随机变量生成方法2) 分数乘积法 (适用于较小时)步骤： 1)首先从0点开始，若e-u1，则令x=0; 2)否则，若e-u1u2，则令x=1; 3)依此方法继续，直至存在某个k 首次满足 ，则令x=k。3) 中心极限定理法 (适用于较大时)一般地，对估计值的精确度要求越高，对样本容量的要求就越大。4.5 模

7、拟样本的容量第五章 短期个体风险模型5.1 引 言5.2 个别保单的理赔分布5.3 独立和分布的卷积5.4 求理赔分布的矩母函数法5.5 中心极限定理与正态分布逼近5.6 应用举例5.1 引 言假定第i 张保单可能的理赔为Xi，则Xi为非负随机变量(i=1,2,n)。进而保险人在这个时间段内的理赔或赔付总量为： 称之为短期个体风险模型。短期个体风险模型的四个假设条件假设1 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独立的，即Xi是相互独立的随机变量。假设2 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量I表示每张保单可能发生理赔的次数，则 ，其中q表示发生理赔的概率。假设3 保单组合中的风险均为同质风险

8、，即每张保单的理赔额变量Xi具有相同的概率分布。假设4 保单总数n是事先确定的正整数。因此又称个体风险模型为封闭模型。5.2 个别保单的理赔分布一般地，若随机变量X可表示为两个随机变量I和B的乘积 X =I B ，则有两项卷积离散型随机变量的两项卷积5.3 独立和分布的卷积5.4 求理赔分布的矩母函数法对于独立的随机变量和 ，由于X1,X2,Xn相互独立，因此有：若X1,X2,Xn同分布，设其共同的矩母函数为MX(t) ，则有：5.5 中心极限定理与正态分布逼近利用中心极限定理求保单数很多时保单组合的总理赔分布，基本步骤为：1、利用个体理赔的分布计算总理赔S的均值 和方差 。2、对S的分布进行

9、标准化处理：3、利用中心极限定理近似计算：5.5 中心极限定理与正态分布逼近令 ，称E(S)为保单组合的安全附加保费，称为相对附加安全系数（或安全附加保费率）。第六章 短期聚合风险模型6.1 引 言6.2 理赔次数和理赔额的分布6.3 理赔总量模型6.4 复合泊松分布及其性质6.5 聚合理赔量的近似模型6.1 引 言用N表示某类保单在单位时间内的理赔次数，用Ci表示该类保单第i次理赔金额，则理赔总量S为： 称为短期聚合风险模型，其中：N取值为非负整数，称为理赔数变量。Ci是取值于正数（连续或离散）称为理赔额变量。命题6.3 设若短期聚合风险模型中的N和C的数学期望和方差都存在，则有6.3 理赔

10、总量模型6.4 复合泊松分布及其性质复合泊松分布S的分布函数和密度函数：S的均值和方差：S的矩母函数：6.4 复合泊松分布及其性质定理6.4.1 若S1,S2,Sm是相互独立的随机变量，且Si是服从参数为i的复合泊松分布，理赔额的分布函数为Pi(x), i=,1,2,m，则S= S1+S2+Sm服从参数为 的复合泊松分布， S的理赔额的分布函数为：1、求和的封闭性6.4 复合泊松分布及其性质定理6.4.2 假设S服从复合泊松分布，参数0，个别理赔额为离散型概率分布，记i=P(C=xi)，其中x1,x2,xm表示个别理赔额的取值；记Ni为S中取值为xi的次数，i=1,2,m，则有 ，且 则以下结

11、论成立：a) N1,N2,Nm相互独立；b) Ni服从参数i =i的泊松分布， i=1,2,m 。2、可分解性6.4 复合泊松分布及其性质推论6.4.1 假设S服从复合泊松分布，若理赔额C仅取值为正整数，则有如下迭代公式：3、分布计算的递推性第七章 长期聚合风险模型 （破产理论）7.1 盈余过程与破产概率7.2 理赔过程7.3 破产概率7.4 破产概率与调节系数7.1 盈余过程与破产概率盈余过程模型为：其中S(t)称为理赔过程，表示从0到t时刻发生的所有理赔之和。7.1 盈余过程与破产概率性质7.1.1 对于u1u2及0t1t2，有以下结论成立：第八章 效用理论与保险决策问题8.1 引言8.2

12、 效用与期望效用原理8.3 效用函数与风险态度8.4 效用原理与保险定价问题8.5 期望效用的计算8.6 效用理论的应用8.2 效用与期望效用原理最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值，而不是为了获得最大期望金额值。风险和不确定情形下的一般决策准则：人们将追求效用的期望值尽可能地达到最大。8.3 效用函数与风险态度决策者的三类风险态度：1、u(w)为线性函数，即u(w)=0，称决策者为风险中立型。2、u(w)为凸函数（上凸），即u(w)0时，称决策者为风险偏好型。8.4 效用原理与保险定价问题对投保人来说，若选择投保，则效用不低于直接面

13、临风险的期望效用，则保费H应满足：当H达到使不等号成立的最大值时，是否投保就无所谓了，这就是该投保人可接受的最高保费H*。8.4 效用原理与保险定价问题对保险人来说，承保保费G应该满足：当G 降至使不等号成立的最小值时，达到了承保人可接受的最低保费G* 。第九章 费率厘订9.1 基本概念9.2 费率厘定与保险定价9.3 理论保费9.4 费率厘订方法纯保费：每个风险单位的平均赔款金额。计算公式：PL/E 其中：P为纯保费，L为赔款总额，E为风险单位数。纯保费也可表示为： PN/EL/NFS 即纯保费等于索赔频率与索赔强度的乘积。9.1 基本概念9.1 基本概念保险费率：简称费率，是一个风险单位的

14、保费。保险费：由保险费率可以计算出一份保单的保险费。由纯保费和附加保费两部分构成。承保保费（written premium）承担保费/已赚保费（earned premium）有效保费（in-force premium）保险费（毛保费） 纯保费 + 附加保费9.2 费率厘定方法毛费率厘定方法纯保费法赔付率法均衡保费的计算：平行四边形法最终赔款的预测：损失进展法纯保费法纯保费法：在纯保费上附加各种必要的费用和利润。不仅能弥补期望索赔与费用支出，而且能提供期望利润。计算公式：其中：R每风险单位的费率； P纯保费； F每风险单位的固定费用； V可变费用因子； Q利润因子。从而有： 其中：RV为可变费用

15、，RQ为利润。平行四边形法平行四边形法（parallelogram method）：假设风险单位在经验期内均匀分布，根据简单的几何关系，将各日历年的已赚保费调整到当前费率水平。优点：计算简单、省时，尤其适用于满期风险单位不易得到时。缺点：前提假设是签单业务和保费收入是均匀的。若不符合假设，则计算结果不正确。损失进展法损失发展法的基本假设：过去损失经验会重复发生在未来，因此可从过去损失经验预测未来的损失。其计算过程如下：(1)将过去损失资料按事故年度、保单年度或报告年度整理成流量三角形；(2)求各期之间的损失进展因子；(3)求各期至最终的损失进展因子；(4)求各年度的最终赔款金额。第十章 经验费

16、率（信度理论）10.1 信度理论10.2 贝叶斯方法在信度理论中的应用10.3 有限波动信度10.4 最小平方信度10.5 奖惩系统（BMS）10.1 信度理论设 表示对特定风险抽样数据的期望，用表示与特定风险相似的风险进行抽样的数据期望。信度公式可表示为：当Z1时，称为完全信度。当Z0时，则只能基于相似风险的数据。当0Z1时，称为部分信度。10.1 信度理论信度理论有两种方法：古典信度模型：也称有限波动信度模型，试图控制数据中的随机波动对估计值的影响。最精确信度模型：也称为最小二乘信度模型，试图使估计误差尽可能的小。分为：Bhlmann信度模型Bhlmann-Straub信度模型10.6 奖

17、惩系统（BMS）一个完整的奖惩系统必须包括三个要素：保费等级起始级别转移规则，即依据上一年的赔案记录决定在折扣组别间转移的规则。奖惩系统可描述为一个马尔可夫链，转移规则可用转移概率来描述。设保险公司的奖惩系统中共设了n个保费等级。(t)表示时刻t各个级别保单持有人的分布状况；M表示转移矩阵(aij)nn，其中aij表示在时刻t，级别i的保单持有人于时刻t+1在级别j的概率。则有：若t，则有一定条件下有： 此时为稳定状况下的保单持有人的分布状况。第十一章 准备金11.1 非寿险准备金概述11.2 链梯法11.3 案均赔款法11.4 准备金进展法11.5 B-F法（修正IBNR法）我国的非寿险准备金分类我国保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）第五条规定，保险公司非寿险业务准备金包括三类：未到期责任准备金；未决赔款准备金；中国保监会规定的其他责任准备金。11.1 非寿险准备金概述11.1 非寿险准备金概述未到期责任准备金的计提比例法二分法假设保险公司年度保费在全年内均匀流入，年末应提余50%作为未到期责任准备金。八分法二十四分法三百六十五分法11.2 链梯法基本思想：各事故年的赔案支出延迟大体是相同的，从而可以根据过去各事故年不同的延迟阶段的累计赔款之间的平均比率和迄今为止的累计赔款数据估计