横截面上的应力课件

1、61 轴向拉伸和压缩的概念FFFF受力特点：杆件受与轴线重合的外力作用。变形特点：杆件发生轴线方向的伸长或缩短。 62 轴力与轴力图横截面上的内力轴力FFmm（a）FFNFFN（b）（c）按截面法求解步骤：可在此截面处假想将杆截断。保留左部分或右部分为脱离体。移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力为FN。列平衡方程。轴力FN符号规定：引起杆件纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力，引起杆件纵向缩短变形的轴力为负，称为压力， 轴力图 轴力图的作法： 以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值

2、绘在基线下方。 FFN1mmA（b）nmFF2FABC（a）mn例题：一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。解：假想用一平面沿m m处将杆截开，设取左段为脱离体 nnF2FFN2AB（c）FNx（d）FF在n n处将杆截开，仍取左段为脱离体 nmFF2FABC（a）mn例题61 一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。600300500400ABCDE40kN55kN25kN20kN（a）ABCDE40kN55kN20kNFR11FRFN1AFN2FRAB40kN22223344FN325kN20kND33（b）（c）（d）（e）1050520FN图（kN）（g）例题61图F

3、N420kN4411（f）用简便法求轴力：任一横截面上的轴力等于该截面一侧上所有轴向外力的代数和。背离该截面的外力取+号，指向该截面的外力取-号。63 横截面上的应力 1.由变形几何关系找出应变与所在位置的关系。推导应力公式的方法： 2.由物理关系既应力与应变的关系，找出应力与所在位置的关系。 3.由静力关系找出应力与内力的关系。横截面上的应力：mFFNFFN（a）（b）（c） FFmFFa b cdbacd（d） 变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。 拉压杆横截面上正应力计算公式： 拉压杆横截面上正应力计算公式: 考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表

4、及里地作出杆件内部变形情况的几何假设杆件的任一横截面上各点的变形是相同的。 根据力与变形间的物理关系，得到变形相同时，受力也相同。 通过静力学关系，得到以内力表示的应力计算公式。 拉应力为正，压应力为负。 例题63 图示为一简单托架，AB杆为钢板条，横截面面积300mm2，AC杆为10号槽钢，若F=65kN，试求各杆的应力。 F4m3mABCFFNABAFNAC例题24图解：(1)取节点A为脱离体，受力如图(2)AB杆的横截面面积为AAB=300 mm2，AC杆为10号槽钢，由型钢表(附表II，表3)查出横截面面积为AAC =12.7cm2 12.710-4m2。(3) 求出AB杆和AC杆的应

5、力分别为64 斜截面上的应力研究目的：找出过一点哪一截面上应力达到最大以作为强度计算的依据。 FFmm（a）（b）（c）nnnFFnFpnnnn截面的轴线方向的内力 斜截面面积 斜截面上的应力p为： 即斜截面上的正应力和切应力分别为：正应力的最大值发生在 = 0的截面，即横截面上，其值为当时对应的斜截面上，切应力取得最大值 分析：65 拉压杆的变形、胡克定律杆件的纵向伸长或缩短：FF（a）ll1dd1（b）FFll1dd1纵向线应变：拉应变为正，压应变为负。 l和d 伸长为正，缩短为负一.拉压杆的变形杆件的横向伸长或缩短：-=ddd1lll-=1横向线应变：引入比例常数， 又F = FN，得到

6、胡克定律：弹性模量E，其单位为Pa。其值与材料性质有关，是通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力。EA拉伸（压缩）刚度。二.胡克定律在弹性范围内泊松比-在弹性变形范围内，横向线应变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以代表它们的比值之绝对值。而横向线应变与纵向线应变正负号恒相反，故 例题64 图示一等直钢杆，材料的弹性模量E210GPa。试计算：(1) 每段的伸长；(2) 每段的线应变；(3) 全杆总伸长。 （b）5kN5kN5kNFN图（a）5kN10kN10kN5kN2m2m2mABCD10mm解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。 （b）5kN5kN5kNFN图BC 段的伸

7、长：（2）AB段的伸长CD 段的伸长：（3）AB段的线应变:BC段的线应变：CD段的线应变：（4）全杆总伸长：例题65 试求图示钢木组合三角架B点的位移。已知：F36kN；钢杆的直径d28mm，弹性模量E1200GPa；木杆的截面边长a =100mm，弹性模量E2=10GPa。解：(1)先求杆1和杆2的轴力。取节点B为脱离体，受力如图3m4mFBAC（a）FFN1FN2（b）由平衡条件Fy = 0得由平衡条件Fx = 0得由平衡条件Fx = 0，得所有B点的位移为（2）求两杆的伸长。根据胡克定律有B点的水平位移为:B点的竖向位移为:所以B点的位移为:（3）求节点B的位移。在小变形情况下，可用切

8、线代替圆弧来确定结点B的新位置。l2m4mBnstl1B2B1lVlH（c）例题66 一等截面砖柱，高度为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E；在柱顶作用有轴向荷载F。试求柱底横截面应力及柱的变形。lFxxmdx（a）mFNFF+Agl（b）x解： （1）内力求出距顶面为x处的任意横截面mm截面上的轴力FN (x) 为（2） 应力(x)（c）x最大压应力出现在柱的底面，其值为整个柱的变形为（3）变形微段的伸长量为lFxxmdx（a）m6-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 塑性材料低碳钢脆性材料灰口铸铁低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与

9、F成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。 (2) 阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。 此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的滑移线( ，当=45时a 的绝对值最大)。(3) 阶段强化阶段 卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则卸载过程中Fl关系为直线。可见在强化阶段中，l=le+lp。 卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至到初卸载的荷载冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。 (4) 阶段局部变形阶段 试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。 低碳钢的应力应变曲线(s

10、 e曲线)： 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原长。 低碳钢 se曲线上的特征点： 比例极限sp 弹性极限se屈服极限ss (屈服的低限) 强度极限sb(拉伸强度) Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa衡量材料塑性的指标： 伸长率： 断面收缩率：A1断口处最小横截面面积。 Q235钢：y60%Q235钢： (通常d 5%的材料称为塑性材料)sp0.2名义屈服极限用于无屈服阶段的塑性材料 割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强

11、度指标： sb铸铁拉伸时的应力应变曲线：金属材料在压缩时的力学性能： 低碳钢拉、压时的ss基本相同。 低碳钢压缩时s-e的曲线： 低碳钢材料轴向压缩时的试验现象铸铁压缩时的sb和d 均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的se曲线： 试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。 材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。 影响材料力学性质的主要因素： 1.温度2.变形速率3.荷载长时间作用的影响4.应力性质的影响6-7 强度条件安全因数许用应力. 拉(压)杆的强度条件 强度条件保证拉(

12、压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件： 其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。. 材料的拉、压许用应力塑性材料： 脆性材料：许用拉应力 其中，ns对应于屈服极限的安全因数其中，nb对应于拉、压强度的安全因数常用材料的许用应力约值(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆） 材料名称 牌号 许用应力 /MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034540.440.66.4170230160200710.310轴向拉伸轴向压缩. 强度计算的三种类型 (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件

13、求杆件横截面面积或尺寸。 (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。 (1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为 例题6-8 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 kN，s=120 MPa。2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。解：1. 由图中(b)所示分离体的平衡方程得 例题6-9 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC

14、由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，得平衡方程：(拉)（压）解得解得2. 计算各杆的许可轴力 先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件 得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积杆AB的横截面面积3. 求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载： 此例题中给出的许用应力s=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB 实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是

15、F1 和 F2中的小者，所以.关于超静定问题的概述(a)(b)6-8 拉伸与压缩的超静定问题 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。(a)(b)“多余” 约束：在超静定问题中，都存在多于维持平衡所必需的支座或杆件，习惯上称其为“多余”约束。多余未知力：与多余 约束相应的支反力或内力，习惯上称其为多余 未知力。超静定次数：未知力数超过独立平衡方程数的数目，称为超静定次数。求解超静定问题的方法：综合运用变形的几何相容条件、物理关系和静力学平衡条件求解超静定问题。 例 求图

16、a所示等直杆AB上,下端的约束力，并画轴力图。杆的拉压刚度为EA。 解：（一） 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0故为一次超静定问题。(a)balACBFFArFB(b)F2.几何方面 3物理方面 (c)得到补充方程： 1. 取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件B=BF+BB=0，参见图c，d。 2. 补充方程为 由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。（二） 得 FA=F-Fa/l=Fb/l。 3. 由平衡方程 FA+FB-F=0例题610 图示结构由刚性杆AB及两弹性钢制空心管EC

17、及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆由相同的材料组成，且长度相等、横截面面积相同，其面积为A，弹性模量为E。试求出两弹性杆的轴力。解：该结构为一次超静定，需要建立一个补充方程。 静力方面 取脱离体如图b所示 CDl/2llABECFDl/2l/2（a）几何方面 (3)物理方面 （b）FCEFDFFAxFAyF补充方程为： 解：该结构为一次超静定，需要建立一个补充方程。例题611 图a所示为三杆组成的结构，在节点A受力F作用。设杆和杆的刚度同为E1A1，杆的为E3A3。试求三杆的内力。(b)(1)静力方面，截取节点A为脱离体 (2)几何方面 (3)物理方面 由胡克定律，有 3F1ABCDAsl(a)FN2FFN3FN1A补充方程为： 6-9 应力集中的概念FFmaxnom这种由杆件截面骤